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5.4.3　正切函数的性质与图象
学习目标　1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
导语
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究．请同学们思考学案上的几个问题．
一、正切函数的定义域、周期性与奇偶性
问题1　请同学们回忆角的正切是如何定义的？
提示　＝tan α.
问题2　由以上，你能定义正切函数吗？
提示　y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z.
问题3　你还记得诱导公式二、三中和正切有关的公式吗？
提示　tan(π＋α)＝tan α，tan(－α)＝－tan α.
知识梳理
1．周期性：由诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函数是周期函数，周期是π.
2．奇偶性：由诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函数是奇函数．
注意点：
注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式为：T＝.
例1　(1)函数y＝tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠kπ＋，k∈Z.
(2)函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
答案　A
解析　方法一　T＝＝＝.
方法二　f(x)＝tan
＝tan
＝tan＝f，
∴T＝.
反思感悟　(1)判断函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
①一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
跟踪训练1　函数f(x)＝cos＋tan x为(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
答案　A
解析　因为f(x)＝sin x＋tan x，
，定义域关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝
－f(x)，故函数为奇函数．
二、正切函数的图象
问题4　你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
提示　可以先考察函数y＝tan x，x∈的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．
问题5　如何画出函数y＝tan x的图象？
提示　如图，先画出y＝tan x，x∈内的图象，然后根据正切函数是奇函数，得到关于原点对称的y＝tan x，x∈的图象，再根据函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线．
知识梳理
正切函数的对称中心为(k∈Z)．
注意点：
正切函数只有对称中心，没有对称轴，
例2　函数y＝tan的一个对称中心是(　　)
A．(0,0) B. C. D．(π，0)
答案　C
解析　令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
所以函数y＝tan的对称中心是，k∈Z.令k＝2，可得函数的一个对称中心为.
反思感悟　正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键．
跟踪训练2　(1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为(　　)
A．π B. C. D.π
答案　C
解析　y＝tan 3x的周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为.
(2)与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　)
A．x＝ B．y＝ C．x＝ D．y＝
答案　C
解析　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
令k＝0，得x＝.
三、正切函数的单调性与最值
知识梳理
1．单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增．
2．值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R.
例3　已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f 的大小．
解　(1)因为f(x)＝3tan
＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－<－得4kπ－因为y＝3tan在(k∈Z)上单调递增，
所以f(x)＝－3tan在
(k∈Z)上单调递减．且原函数的最小正周期为4π.
单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，
f ＝3tan＝3tan＝－3tan ，
因为0<<<，
且y＝tan x 在上单调递增，
所以tan f .
反思感悟　(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
跟踪训练3　比较下列各组数的大小：
(1)tan 与tan ；
(2)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4.
解　(1)tan ＝tan ，tan ＝tan ，
又0<<<，y＝tan x在上单调递增，
∴tan (2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
tan 4＝tan(4－π)．
又∵－<2－π<3－π<4－π<1<且y＝tan x在上单调递增，
∴tan(2－π)即tan 2四、正切函数图象与性质的综合应用
例4　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
解　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，
得x≠＋2kπ(k∈Z)，
所以f(x)的定义域是.
因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.
由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间．
由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集是
.
反思感悟　解答正切函数图象与性质问题的注意点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增．
跟踪训练4　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
解　由y＝|tan x|，
得y＝
其图象如图，
由图象可知，函数
y＝|tan x|的定义域为，
值域为[0，＋∞)，是偶函数．
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
1．知识清单：
(1)正切函数图象的画法．
(2)正切函数的性质．
2．方法归纳：整体代换、换元法．
3．常见误区：最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z)．
1．函数y＝tan的最小正周期为(　　)
A．2π B．π
C. D.
答案　C
解析　根据周期公式计算得T＝＝.
2．函数y＝－2＋tan的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　A
解析　由－＋kπ得－＋2kπ3．函数y＝tan的图象(　　)
A．关于原点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称
D．关于点对称
答案　D
解析　函数y＝tan，令2x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z；
令k＝1，得x＝，所以y＝tan的图象关于点对称，D正确．
代入验证知A，B，C错误．
4．比较大小：tan ________tan .
答案　>
解析　因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，
又0<<<，
y＝tan x在内单调递增，
所以tan 1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
∴函数f(x)＝－2tan的定义域是.
2．函数y＝的值域为(　　)
A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
答案　B
解析　因为－≤x≤，且x≠0，所以－1≤tan x<0或03．由正切函数的图象可知，“tan x＞0”是“x＞0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　由正切函数的图象可知，当tan x＞0时，不一定有x＞0；
当x＞0时，不一定有tan x＞0，
所以“tan x＞0”是“x＞0”的既不充分也不必要条件．
4．tan x≥1的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　∵tan x≥1，由图象知，＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z.
5．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
答案　C
解析　由题意可得f(x)的最小正周期为，则＝，又∵ω>0，∴ω＝4.
6．(多选)下列关于函数y＝tan的说法不正确的是(　　)
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点对称
D．图象关于直线x＝对称
答案　ACD
解析　令kπ－7．函数y＝tan2x－2tan x＋2的最小值为________．
答案　1
解析　y＝(tan x－1)2＋1，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值1.
8．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为且|φ|<，则φ＝________.
答案　－或
解析　由题意得＋φ＝(k∈Z)，即φ＝－(k∈Z)，
又|φ|<，
所以φ＝或φ＝－.
9．求函数y＝tan 2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
解　由2x≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
即函数的定义域为，
值域为(－∞，＋∞)，最小正周期为T＝，对应图象如图所示．
10．求函数y＝3tan的单调递减区间．
解　y＝3tan可化为
y＝－3tan，
由kπ－得2kπ－故单调递减区间为，k∈Z.
11．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；
③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
答案　D
解析　y＝tan(－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③.
12．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　A
解析　因为函数的图象过点，
所以tan＝0，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.
结合选项，令k＝0，可得φ＝－.
13．已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则(　　)
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
答案　B
解析　∵y＝tan ωx在内单调递减，
∴ω<0且T＝≥π，
∴－1≤ω<0.
14．比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：
(1)tan ________tan ；
(2)tan ________tan.
答案　(1)<　(2)<
解析　(1)tan ＝tan ，且0<<<，
又y＝tan x在上单调递增，
所以tan (2)tan ＝tan ，tan＝tan ，
因为0<<<，
又y＝tan x在上单调递增，
所以tan 15．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)
答案　D
解析　当当x＝π时，y＝0；
当πsin x，y＝2sin x，且－216．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．
解　(1)由题意可得f(x)的周期为
T＝－＝＝，因为ω>0，所以ω＝，
则f(x)＝Atan，又它的图象过点，
所以tan＝0，即tan＝0，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝－，
则f(x)＝Atan，
又它的图象过点(0，－3)，
所以Atan＝－3，得A＝3.
所以f(x)＝3tan.
(2)因为3tan≥，
所以tan≥，
则kπ＋≤x－解得＋≤x<＋，k∈Z，
所以满足f(x)≥的x的取值范围是
，k∈Z.

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