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第3课时　公式的综合应用
学习目标　1.熟练掌握六组诱导公式的结构特征.2.会利用六组诱导公式求值、证明．
导语
同学们，经过前两节课的学习，我们掌握了三角函数的诱导公式一～六，你掌握记忆的技巧了吗？其实，它们可以统一概括为α＋k·(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值，前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号，简称为“奇变偶不变，符号看象限”．
一、利用诱导公式证明恒等式
例1　求证：＝.
证明　∵右边＝
＝
＝
＝
＝＝
＝左边，∴原等式成立．
反思感悟　三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
跟踪训练1　求证：＋＝.
证明　∵左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边，
∴原等式成立．
二、诱导公式在实际问题中的应用
问题1　三角形中其中一个角与另外两角的和是什么关系？
提示　互补．
问题2　直角三角形中，两锐角是什么关系？
提示　互余．
例2　在△ABC中，sin ＝sin ，试判断△ABC的形状．
解　因为A＋B＋C＝π，
所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
又因为sin ＝sin ，
所以sin ＝sin ，
所以sin＝sin，
所以cos C＝cos B.
又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，
所以△ABC为等腰三角形．
反思感悟　利用诱导公式解决实际问题时，需注意公式四和公式五中的互补和互余，是广义上的互补和互余．在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和A＋B＋C＝π以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值．
跟踪训练2　在△ABC中，下列各表达式为常数的是(　　)
A．sin(A＋B)＋sin C B．cos(B＋C)－cos A
C．sin2＋sin2 D．sin sin
答案　C
解析　在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A项，sin(A＋B)＋sin C＝2sin C，不为常数；
B项，cos(B＋C)－cos A＝－2cos A，不为常数；
C项，sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1为常数；
D项，sin sin ＝cos sin ，不为常数．
三、三角函数的综合应用
例3　已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到的，求5sin β－5cos β＋3tan β的值．
解　(1)根据题意，得sin α＝＝，
cos α＝＝，tan α＝＝，
∴sin(α＋π)＝－sin α＝－.
(2)根据题意，得β＝α－，
∴5sin β－5cos β＋3tan β
＝5sin－5cos＋3tan
＝5cos α＋5sin α－
＝5×＋5×－3×＝－.
反思感悟　用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
跟踪训练3　若角α的终边上有一点P(m，－8)，且cos α＝－.
(1)求m的值；
(2)求的值．
解　(1)由勾股定理得，点P到原点的距离为r＝＝，
根据三角函数的定义可得cos α＝＝－，
解得m＝－6，m＝6(舍去)．
(2)原式＝＝－sin α，
由(1)可得r＝＝10，
所以sin α＝＝－，
所以原式＝－sin α＝.
1．知识清单：
(1)识记诱导公式．
(2)三角形角的特点．
(3)结合三角函数定义进行化简、求值、证明．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：实际问题中角的范围．
1．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于(　　)
A．cos C B．－cos C
C．sin C D．－sin C
答案　B
解析　由于A＋B＋C＝π，
所以A＋B＝π－C.
所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C.
2．已知sin 40°＝a，则cos 130°等于(　　)
A．a B．－a
C. D．－
答案　B
3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则等于(　　)
A. B．1 C. D．－
答案　A
解析　由题意知，sin α＝，cos α＝－，
原式＝
＝
＝.
4．计算：sin211°＋sin279°＝________.
答案　1
解析　因为sin 79°＝sin(90°－11°)＝cos 11°，
所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.
1．sin 75°＋cos 195°的值为(　　)
A．－1 B．0
C. D．1
答案　B
解析　sin 75°＋cos 195°＝sin(90°－15°)＋cos(180°＋15°)＝cos 15°－cos 15°＝0.
2．已知角θ的终边过点(－3,4)，则cos(π－θ)等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　D
解析　因为角θ的终边过点(－3,4)，
所以cos θ＝－，所以cos(π－θ)＝－cos θ＝.
3．若cos 57°＝m，则cos 213°等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－m
答案　C
解析　cos 213°＝cos(180°＋33°)＝－cos 33°
＝－sin 57°＝－.
4．若角7π－α的终边与单位圆的交点坐标是，则cos(α－2 022π)等于(　　)
A．± B．± C. D．－
答案　A
解析　依题意知，sin(7π－α)＝，即sin α＝，
则cos α＝±，
故cos(α－2 022π)＝cos α＝±.
5．(多选)已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是(　　)
A．tan＝tan
B．sin＝cos
C．tan2αsin2α＝tan2α－sin2α
D．sin4α－cos4α＝2sin2α－1
答案　BCD
解析　对于A，tan＝tan＝－tan，故A错误；
对于B，sin＝sin
＝cos，故B正确；
对于C，tan2αsin2α＝sin2α＝·sin2α
＝sin2α＝－sin2α＝tan2α－sin2α，故C正确；
对于D，sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1，故D正确．
6．角α的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点，则tan α等于(　　)
A. B．－ C．± D．±
答案　B
解析　角α的终边绕原点逆时针旋转后得到角α＋，
由题意可知cos＝－，sin＝－，化简得－sin α＝－，cos α＝－，
即sin α＝，cos α＝－，则tan α＝＝＝－.
7．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 022)＝2，则f(2 023)＝________.
答案　－2
解析　∵f(2 022)＝asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)＝asin α＋bcos β＝2，
∴f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－(asin α＋bcos β)＝－2.
8．已知sin＝，则sin＋sin2＝________.
答案　
解析　因为sin＝，
所以sin＋sin2
＝sin＋sin2
＝sin＋cos2
＝sin＋1－sin2
＝＋1－2
＝.
9．求证：＝cos α.
证明　因为左边＝
＝＝cos α＝右边，
所以等式成立．
10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解　由题意得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
两边平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又因为A∈(0，π)，所以A＝或.
当A＝时，cos B＝－<0，
所以B∈，所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去．
所以A＝，cos B＝，
所以B＝，所以C＝.
综上所述，A＝，B＝，C＝.
11.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝，根据这些信息，可得cos 144°等于(　　)
A. B．－ C．－ D．－
答案　C
解析　∵∠ABC＝108°，
∴∠BAC＝×(180°－108°)＝36°，
∵cos 36°＝＝×＝，
∴cos 144°＝－cos 36°＝－.
12．(多选)已知sin＝，则角α的终边可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．x轴的负半轴上
答案　BCD
解析　原等式可化为－cos α＝，
∴－cos α＝，
∴|cos α|＝－cos α，
∴cos α≤0，
∴α的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上．
13．已知cos＝，且－π＜α＜－，那么
cos等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　A
解析　∵－＝，∴α－＝－，
又∵－π＜α＜－，∴－＜＋α＜－，
∵cos＝，
∴sin＝－＝－，
∴cos＝cos＝sin＝－.
14．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°等于(　　)
A．89 B．90 C. D．45
答案　C
解析　∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，
∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.
15．对于函数f(x)＝asin(π－x)＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D．1和2
答案　D
解析　 ∵sin(π－x)＝sin x，
∴f(x)＝asin x＋bx＋c，
则f(1)＝asin 1＋b＋c，
f(－1)＝asin(－1)＋b×(－1)＋c＝－asin 1－b＋c，
∴f(－1)＝－f(1)＋2c.①
把f(1)＝4，f(－1)＝6代入①式，得c＝5∈Z，故排除A；
把f(1)＝3，f(－1)＝1代入①式，得c＝2∈Z，故排除B；
把f(1)＝2，f(－1)＝4代入①式，得c＝3∈Z，故排除C；
把f(1)＝1，f(－1)＝2代入①式，得c＝ Z，故选D.
16．化简：，其中k∈Z.
解　当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝
＝＝＝1.
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，则
原式＝
＝
＝＝1，
故原式＝1.第2课时　诱导公式(二)
学习目标　1.理解公式五、六的推导过程并熟记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简．
导语
回顾前面的学习，我们利用单位圆定义了三角函数，利用单位圆推出了一组神奇的公式，利用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘．
一、公式五、六
问题1　回顾上节课我们推导公式二的过程．
提示　利用了单位圆的对称性，作了点P1关于原点对称的点．
问题2　观察下图，我们作了点P1关于直线y＝x的对称点P5，你能发现这两点有什么关系吗？
提示　如图，过点P1向x轴作垂线，垂足为A，过点P5向y轴作垂线，垂足为B，由图象的对称性可知，∠AOP1＝∠BOP5＝α，故OP5为－α的终边，以OP5为终边的角γ可以表示为γ＝2kπ＋(k∈Z)，在Rt△AOP1和Rt△BOP5中，OP1＝OP5，故△AOP1≌△BOP5，即P1的横坐标与P5的纵坐标相同，P1的纵坐标与P5的横坐标相同，若点P1的坐标为(x，y)，则点P5的坐标为(y，x)(同学们还记得我们当初学习对数函数时，提到过反函数是关于y＝x对称的，定义域和值域的范围互换，是不是和此处有相似之处)，现在我们知道了两角的终边与单位圆的交点，根据三角函数的定义，于是我们可以得到sin α＝y，cos α＝x；cos＝y，sin＝x.大家自己动手，如果我们作P5关于y轴的对称点P6，此时它和P1，P5这两点有什么关系？
知识梳理
1．公式五
sin＝cos α，
cos＝sin α.
2．公式六
sin＝cos α，
cos＝－sin α.
注意点：
(1)名称发生了变化，实现了正弦和余弦的相互转化．
(2)运用公式时，把α“看成”锐角．
(3)符号的变化要看把α看成锐角时所在的象限．
二、化简求值
例1　(教材193页例4改编)已知f(α)＝
，化简f(α)．
解　由题意得f(α)
＝
＝＝－cos α，
故f(α)＝－cos α.
反思感悟　利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等．
跟踪训练1　化简：等于(　　)
A．－sin θ B．sin θ
C．cos θ D．－cos θ
答案　A
解析　原式＝
＝＝－sin θ.
三、诱导公式的综合应用
例2　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　B
解析　sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)
＝－cos 31°(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.
(2)(教材193页例5改编)已知sin＝，则cos的值为________．
答案　
解析　cos＝cos
＝sin＝.
延伸探究
1．将本例(2)的条件改为sin＝，求cos的值．
解　cos＝cos
＝－sin＝－.
2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin的值．
解　因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，
又sin＝，
所以－α是第二象限角，
所以cos＝－，
所以sin＝sin
＝－sin＝－cos＝.
反思感悟　诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．
跟踪训练2　(1)已知cos＝，求sin的值．
解　∵α＋＝＋，
∴sin＝sin＝cos
＝.
(2)已知cos＝，求下列各式的值：
①sin；②sin.
解　①sin＝sin
＝cos＝.
②sin＝sin
＝－sin＝－cos＝－.
1.知识清单：利用诱导公式进行化简、求值与证明．
2．方法归纳：公式法、角的构造．
3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造．
1．已知sin α＝，则cos等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　C
解析　cos＝－sin α＝－.
2．已知sin＝，则cos等于(　　)
A．－ B．－
C. D．±
答案　D
解析　sin＝cos α＝，而cos＝sin α＝±.
3．已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　∵sin
＝－sin
＝－sin
＝－cos
＝，
∴cos＝－.
4．化简：＝______.
答案　－tan θ
解析　原式＝
＝
＝
＝－tan θ.
1．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于(　　)
A．a B．－a C．a2 D.
答案　A
解析　cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a.
2．已知sin(π＋α)＝，则cos等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　B
解析　∵sin(π＋α)＝－sin α＝，
∴cos＝－sin α＝.
3．若sin＝，则cos等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　因为＋＝，
所以＝－，
所以cos＝cos
＝sin＝.
4．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
解析　∵sin＝cos θ<0，
cos＝－sin θ>0，
∴sin θ<0，
∴角θ是第三象限角．
5．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　B
解析　∵cos＝－sin φ＝，
∴sin φ＝－<0，
∵|φ|<，∴－<φ<0，
∴cos φ＝＝，
∴tan φ＝＝－.
6．(多选)设α是三角形的一个内角，则下列哪些值可能为负值(　　)
A．sin α B．cos α
C．tan α D．sin
答案　BC
解析　因为α是三角形的一个内角，
所以α∈(0，π)，所以sin α＞0恒成立，故A错误；
当α∈时，cos α＜0，tan α＜0，故BC正确；
∈，所以sin ＝sin＝cos ＞0，故D错误．
所以可能为负值的为cos α，tan α.
7．已知cos(π－α)＝，则sin＝________.
答案　－
解析　∵cos(π－α)＝，
∴－cos α＝，sin＝cos α＝－.
8．化简：＝________.
答案　cos α
解析　＝
＝＝cos α.
9．已知＝2，计算下列各式的值：
(1)cos2α－2sin αcos α－1；
(2).
解　∵＝2，
∴＝2，
解得tan α＝3.
(1)原式＝
＝
＝＝－.
(2)原式＝
＝－tan α＝－3.
10．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求：
的值．
解　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2(舍)或x＝－，
所以sin α＝－，
又因为α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－.
所以tan α＝.
原式＝
＝tan α＝.
11．函数y＝loga(x＋4)＋4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则cos等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　令x＋4＝1，所以x＝－3，所以函数y＝loga(x＋4)＋4的图象过定点A(－3,4)．因为点A在角θ的终边上，所以sin θ＝＝，即cos＝－sin θ＝－.
12．若θ为第二象限角，且tan(θ－π)＝－，则－的值是(　　)
A．4 B．－4 C. D．－
答案　B
解析　由tan(θ－π)＝－得tan θ＝－，而θ为第二象限角，则有sin θ＞0，
因此，－
＝－＝－＝－＝＝＝－4.
13．已知sin(x＋φ)＝sin(－x＋φ)，则φ可能是(　　)
A．0 B. C．π D．2π
答案　B
解析　对于A，当φ＝0时，左边＝sin x，
右边＝sin(－x)＝－sin x，不满足条件；
对于B，当φ＝时，左边＝sin＝cos x，右边＝sin＝cos x，满足条件；
对于C，当φ＝π时，左边＝sin(x＋π)＝－sin x，右边＝sin(－x＋π)＝sin x，不满足条件；
对于D，当φ＝2π时，左边＝sin(x＋2π)＝sin x，右边＝sin(－x＋2π)＝－sin x，不满足条件．
14．已知sin＝，且－π＜α＜－，则sin＝________.
答案　－
解析　由－π＜α＜－，可得＜－α＜，所以cos＜0，
所以cos＝－＝－.
由sin＝sin＝cos＝－.
15．在平面直角坐标系中，已知点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为－，现将点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的坐标为________．
答案　
解析　设点A是角α的终边与单位圆的交点，
因为点A在单位圆上且位于第三象限，点A的纵坐标为－，
所以sin α＝－，cos α＝－＝－，
因为点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，
所以∠AOB＝＝，
所以点B的横坐标为cos＝－sin α＝，
纵坐标为sin＝cos α＝－，
即点B的坐标为.
16．已知f(α)＝.
(1)若α∈(0,2π)，且f(α)＝－，求α的值；
(2)若f(α)－f ＝，且α∈，求tan α的值．
解　(1)f(α)＝
＝
＝＝sin α.
所以f(α)＝sin α＝－，因为α∈(0,2π)，则α＝，或α＝.
(2)由(1)知，f(α)＝sin α，
所以f(α)－f ＝sin α－sin＝sin α＋cos α＝，
所以sin α＝－cos α，
所以cos2α＋2＝1，即(5cos α－4)(10cos α＋6)＝0，
可得cos α＝或cos α＝－.
因为α∈，则cos α＝－，所以sin α＝－cos α＝－＝.
所以tan α＝＝×＝－.第1课时　诱导公式(一)
学习目标　1.理解诱导公式二～四的推导过程，识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简．
导语
在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要学习的内容．
一、诱导公式二～四
问题1　请同学们写出公式一．
提示　sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
问题2　观察下图，思考我们是如何定义三角函数的？
提示　三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等．由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β＝(π＋α)＋2kπ，k∈Z.
问题3　知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗？
提示　设P1(x，y)，则P2(－x，－y)，根据三角函数的定义可知，y＝sin α，x＝cos α，＝
tan α(x≠0)，sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，tan(π＋α)＝.显然，我们可以根据相同的方法找出点P1关于x轴和y轴的对称点，大家试一试吧．
知识梳理
1．公式二
sin(π＋α)＝－sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.
2．公式三
sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.
3．公式四
sin(π－α)＝sin α，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.
注意点：
(1)函数名称不变．
(2)运用公式时把α“看成”锐角．
(3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
二、给角求值
例1　利用公式求下列三角函数值：
(1)cos(－480°)＋sin 210°；
(2)sin·cos ·tan .
解　(1)原式＝cos 480°＋sin(180°＋30°)
＝cos(360°＋120°)－sin 30°
＝cos 120°－
＝cos(180°－60°)－
＝－cos 60°－＝－－＝－1.
(2)原式＝sin·cos·tan
＝sin ·cos·tan
＝sin·cos ·tan
＝－sin ·cos ·tan
＝－××＝－.
反思感悟　利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值．
跟踪训练1　sin ＋tan －cos＝ .
答案　0
解析　原式＝sin＋tan－cos
＝sin ＋tan－cos
＝sin －tan ＋cos
＝－1＋＝0.
三、给值(式)求值
例2　已知cos＝，则cos＝ .
答案　－
解析　cos
＝cos
＝－cos＝－.
延伸探究
1．若本例中的条件不变，如何求cos？
解　cos＝cos
＝cos
＝cos＝.
2．若本例中的条件不变，求cos－sin2的值．
解　因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝1－cos2
＝1－2＝，
所以cos－sin2＝－－
＝－.
反思感悟　解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练2　(1)已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　)
A．－ B. C．± D.
答案　B
解析　由sin(π＋α)＝，得sin α＝－，
因为cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，
所以cos α＝＝.
(2)已知sin＝－，且θ∈，则cos＝ .
答案　－
解析　cos＝cos
＝－cos，
∵θ∈，∴θ－∈，
∴cos>0，
即cos＝＝，
∴cos＝－.
四、利用公式进行化简
例3　化简：(1)；
(2).
解　(1)原式＝
＝＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
反思感悟　三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
跟踪训练3　tan(5π＋α)＝m，则
的值为(　　)
A. B.
C．－1 D．1
答案　A
解析　因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，
所以原式＝＝＝＝＝.
1．知识清单：
(1)特殊关系角的终边对称性．
(2)诱导公式二～四．
2．方法归纳：数形结合、公式法．
3．常见误区：符号的确定．
1．sin 2 022°等于(　　)
A．sin 42° B．－sin 42°
C．sin 48° D．－sin 48°
答案　B
2．log2的值为(　　)
A．－1 B．－ C. D.
答案　B
3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　)
A. B．－ C．± D.
答案　B
解析　因为sin(π＋α)＝－sin α＝，
所以sin α＝－.
又α是第四象限角，
所以cos α＝，
所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.
4．化简：·tan(π＋α)＝ .
答案　－1
解析　原式＝·tan α＝·＝－1.
1．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的结果为(　　)
A．1 B．2sin2α C．0 D．2
答案　D
解析　原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.
2．若cos(π－α)＝－，则cos(－2π－α)的值为(　　)
A. B．± C．－ D．±
答案　A
解析　∵cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，∴cos(－2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝.
3．已知tan(5π＋x)＝－2，则的值为(　　)
A．4 B．3 C．－3 D．－4
答案　B
解析　由tan(5π＋x)＝－2可得tan x＝－2，
所以＝＝＝3.
4．已知a＝，b＝log4 3，c＝sin 210°，则(　　)
A．c＜a＜b B．c＜b＜a
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
答案　A
解析　c＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－，
a＝＝＜＝log4 2＜log4 3＝b，
所以c＜a＜b.
5．(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　)
A．sin(B＋C)＝sin A
B．cos(B＋C)＝cos A
C．tan(B＋C)＝tan A
D．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
答案　AD
解析　依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；
cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B错误；tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－tan A，C错误；因为a2＋b2＝c2，由勾股定理可知，△ABC为直角三角形，D正确．
6．(多选)已知sin(π－α)＝，则cos(α－2 023π)的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　AB
解析　∵sin(π－α)＝，∴sin α＝，
cos(α－2 023π)＝－cos α＝±＝±.
7．化简：·tan(2π－α)＝ .
答案　－1
解析　原式＝·tan(－α)
＝·(－tan α)
＝－·tan α
＝－1.
8．已知sin(45°＋α)＝，则sin(135°－α)＝ .
答案　
解析　sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)]
＝sin(45°＋α)＝.
9．求值：.
解　原式＝
＝
＝－＝－＝－.
10．化简：(1)；
(2).
解　(1)
＝
＝＝－cos2α.
(2)
＝＝－cos α.
11．已知cos α＝，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于(　　)
A．± B．± C. D.
答案　D
解析　原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α)
＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin2α，
由cos α＝，得sin2α＝1－cos2α＝.
12．已知tan＝，则tan等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　因为tan＝tan
＝－tan，又tan＝，
所以tan＝－.
13．若cos＝－，θ∈，则sin的值为(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　D
解析　因为θ∈，所以－θ∈，
又因为cos＝－，所以sin＝，
所以sin＝sin
＝sin＝.
14．化简：＝ .
答案　cos 6－sin 6
解析　原式＝
＝＝|cos 6－sin 6|.
因为<6<2π，所以cos 6>0，sin 6<0，
因此cos 6－sin 6>0，
所以原式＝cos 6－sin 6.
15．已知α为第四象限角，化简＋＝ .
答案　
解析　依题意知α为第四象限角，所以
＋＝＋＝＋
＝＋＝＝.
16．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解　(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－.又α是第三象限角，
∴cos α＝－.∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f ＝－cos
＝－cos ＝－cos ＝－.

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