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第2课时　三角函数的应用(二)
学习目标　1.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
一、三角函数图象类问题
例1　如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
答案　C
解析　设所对的圆心角为α，则α＝l，
弦AP的长d＝2·|OA|·sin ，
即有d＝f(l)＝2sin .
反思感悟　解决函数图象与实际问题对应问题的策略：一般方法是根据已知所反映出来的性质解决，充分利用图象中的几何关系．此外特殊点也可以作为判断的好方法．
跟踪训练1　如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1 rad/s，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)
答案　C
二、三角函数在生活中的应用
例2　(教材245页例1改编)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0,24]．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解　(1)因为f(t)＝10－2sin，
t∈[0,24]，
所以≤t＋≤，－1≤sin≤1，
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1，
所以f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，得当f(t)>11时实验室需要降温．
f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－ .
又0≤t≤24，因此，即10故在10时至18时实验室需要降温．
反思感悟　解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练2　健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝25sin 160πt＋115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
解　(1)T＝＝＝(min)．
(2)f＝＝80.
即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，
p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．
三、三角函数在几何中的应用
例3　甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形ABCD，记其最大面积为S甲，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形EFGH，记其最大面积为S乙，试问r和R满足什么关系时，S甲＝S乙？说明理由．
解　如图所示，甲图中，O是半圆圆心，设∠COD＝θ，
则CD＝rsin θ，OC＝rcos θ，
S矩形ABCD＝2OC·CD＝2rcos θ·rsin θ＝r2sin 2θ，
当θ＝时，S甲＝(S矩形ABCD)max＝r2，
乙图中，设∠EGF＝α，则EF＝2Rsin α，则FG＝2Rcos α，
S矩形EFGH＝EF·FG＝2Rcos α·2Rsin α＝2R2sin 2α，
当α＝时，S乙＝(S矩形EFGH)max＝2R2，
若S甲＝S乙，则r2＝2R2，所以r＝R.
反思感悟　利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去．
跟踪训练3　如图，在矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为________．
答案　6－2
解析　连接BP(图略)，设∠CBP＝α，其中0≤α<，
则PM＝1－sin α，PN＝2－cos α，
周长C＝6－2(sin α＋cos α)，
因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α，
所以要让周长最小，即让sin α＋cos α最大，
即sin 2α最大，
因为sin 2α在α＝时取到最大值1，
所以当α＝时，周长有最小值6－2.
1．知识清单：
(1)三角函数在生活中的应用．
(2)三角函数在几何中的应用．
2．方法归纳：数学建模、数形结合．
3．常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题．
1．函数y＝x＋sin |x|，x∈[－π，π]的大致图象是(　　)
答案　C
2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
答案　C
解析　根据图象得函数的最小值为2，
有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
3．某艺术展览馆在开馆时间段(9：00－16：00)的参观人数(单位：千)随时间t(单位：时)的变化近似满足函数f(t)＝Asin＋5(A>0,9≤t≤16)，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为(　　)
A．1万 B．9千
C．8千 D．7千
答案　B
解析　由题意知当t＝14时，f(t)＝7.
即Asin ＋5＝7，∴A＝4，
∵当9≤t≤16时，t－∈，
∴当t－＝时，f(t)取得最大值，且最大值为4＋5＝9.
4．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为_________．
答案　y＝0.2sin＋3.8
解析　设所求函数为y＝Asin(ωt＋φ)＋b，
由题意得T＝10，即ω＝，A＝0.2，b＝3.8，
故y＝0.2sin＋3.8.
1.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点M(，－)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点N(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则函数f(t)的解析式为(　　)
A．f(t)＝2sin B．f(t)＝sin
C．f(t)＝2sin D．f(t)＝2sin
答案　A
解析　由题意，知R＝＝2，
∵旋转一周用时60秒，∴T＝60＝，
∴ω＝.
又由题意知f(0)＝－，
∴2sin φ＝－.
又|φ|<，
∴φ＝－，
∴ f(t)＝2sin.
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
答案　C
解析　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，得函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，又[10,15] [3π，5π]，故选C.
3.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(　　)
答案　B
解析　如图，过点M作MD⊥OP于点D，则由题意可得PM＝sin x，OM＝|cos x|，
在Rt△OMP中，S△OMP＝MD·OP＝OM·PM，
∴MD＝＝＝|cos xsin x|＝|sin 2x|，即f(x)＝|sin 2x|(0≤x≤π)．结合正弦函数的图象可知选B.
4.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　)
A．y＝sin，t∈[0，＋∞)
B．y＝sin，t∈[0，＋∞)
C．y＝sin，t∈[0，＋∞)
D．y＝sin，t∈[0，＋∞)
答案　C
解析　由题意可得函数初相为，排除B，D，又T＝60且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.
5.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则(　　)
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
答案　B
解析　由题意知A＝3，ω＝＝.
6.(多选)如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(3)＝9
B．f(1)＝f(7)
C．若f(t)≥6，则t∈[2＋12k，5＋12k](k∈N)
D．不论t为何值，f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)是定值
答案　BD
解析　如图，以水轮所在平面为坐标平面，以水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得，OP在t(s)内所转过的弧度数为t，
则∠POx＝t－，
则点P的纵坐标为y＝6sin，
所以点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数为
f(t)＝6sin＋3.
f(3)＝6sin＋3＝3＋3，选项A错误；
因为f(1)＝6sin＋3＝3，
f(7)＝6sin＋3＝3，
所以f(1)＝f(7)，选项B正确；
由f(t)≥6，得sin≥，解得t∈[2＋12k，6＋12k](k∈N)，选项C错误；
由f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝6sin＋3
＋6sin＋3＋6sin＋3，
展开整理得f(t)＋f(t＋4)＋f(t＋8)＝9为定值，选项D正确．
7．如图是电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω>0)的图象，则当t＝秒时，电流强度是________安．
答案　5
解析　由图象可知，A＝10，
周期T＝2×＝，
所以ω＝＝100π，
所以I＝10sin.
当t＝秒时，I＝10sin＝5(安)．
8．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为______________．
答案　h＝－6sin t(0≤t≤24)
解析　设h＝Asin(ωt＋φ)，
由图象知A＝6，T＝12，
∴＝12，即ω＝＝.
点(6,0)为五点法作图中的第一点，
故×6＋φ＝0，得φ＝－π，
∴h＝6sin＝－6sin t(0≤t≤24)．
9．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的解析式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
解　(1)由题意知解得
易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝＝，
因为当x＝2时，y＝－2，所以8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)因为当x＝9时，y＝8sin＋6
＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10，
所以届时学校后勤应该开空调．
10．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
解　(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，
当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，
所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin＋20＝15，
得sin＝－，
又x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
得sin＝，
又x∈[4,16]，所以x＝.
当x∈时，x－∈，
所以该函数在上单调递增．
故该细菌能存活的最长时间为－＝(小时)．
11．在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y1＝sin t，y2＝sin和y3＝sin描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是(　　)
A．仍保持平静
B．不断波动
C．周期性保持平静
D．周期性保持波动
答案　A
解析　∵sin t＋sin＋sin
＝sin t＋sin t·cos ＋cos t·sin ＋sin t·cos ＋cos t·sin
＝sin t－sin t＋cos t－sin t－cos t
＝sin t－sin t＝0，
∴三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静．
12.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM＝BP＝2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于(　　)
A．30sin＋30 B．30sin＋30
C．30sin＋32 D．30sin
答案　B
解析　如图，过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，点A在圆O上逆时针运动的角速度是＝，所以t分钟转过的弧度数为t.
设θ＝t，当θ>时，∠BON＝θ－，
h＝OA＋BN＝30＋30sin，
当0<θ<时，上述关系式也适合．
故h＝30＋30sin＝30sin＋30.
13．从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为正弦型曲线)：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)．它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5 860，那么今日同学甲(　　)
A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷
B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷
D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝
答案　D
解析　由图中数据可知体力的周期为T1＝23，情绪的周期为T2＝28，智力的周期为T3＝33.
从同学甲出生到今日的天数为5 860，
故对于体力，有5 860＝23×254＋18，处于低潮期，疲倦乏力；
对于情绪，有5 860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快；
对于智力，有5 860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝；
故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝．
故选D.
14．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
答案　
解析　因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，
所以A＝20.
当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，
得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝.
故ω的最小值为.
15．海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行．某船吃水深度(船底与水面距离)为4米，安全间隙(船底与海底距离)为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以0.3米/时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y＝Asin(ωx＋φ)＋K(A>0，ω>0)拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在(要考虑船只驶出港口需要一定时间)(　　)
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
A.5：00至5：30 B．5：30至6：00
C．6：00至6：30 D．6：30至7：00
答案　C
解析　由表格可得T＝12＝，则ω＝，又A＋K＝7.5①，－A＋K＝2.5②，联立①②，解得A＝2.5，K＝5，∴y＝f(x)＝2.5sin＋5，由f(3)＝2.5sin＋5＝7.5，得cos φ＝1，取φ＝0，∴y＝f(x)＝2.5sin x＋5.设在时刻x时货船的安全水深为y米，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在6：00～6：30之间．
16．据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
解　(1)由题意可知＝7－3＝4，∴T＝8，
∴ω＝＝.
又∴
即f(x)＝2sin＋7.(*)
又f(x)过点(3,9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，
∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
(2)令f(x)＝2sin＋7>8，
∴sin>，
∴＋2kπ可得＋8k又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2,3,4,10,11,12.
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．第1课时　三角函数的应用(一)
学习目标　1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象.2.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题．
导语
现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题．
一、简谐运动
问题1　现实生活中存在大量周而复始、循环往复特点的周期运动的变化现象，你能举出哪些例子？
提示　弹簧振子的运动，钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，日出日落，潮涨潮落，一天温度的变化，一天人员流动的变化等等．很显然，三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以更好的“拟合”这种周期性的变化．
问题2　某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0
t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0
提示　振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画．
根据已知数据作出散点图，如图所示．
由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A＝20；振子振动的周期为T＝0.6 s，即＝0.6，解得ω＝；再由初始状态(t＝0)振子的位移为－20，可得sin φ＝－1，因此φ＝－.所以振子的位移关于时间的函数解析式为y＝20sin，t∈[0，＋∞)．
知识梳理
1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.
2．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
这个简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．
注意点：如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相．比如y＝－sin，应先变成y＝sin＝sin.
例1　振动量函数y＝sin(ωx＋φ)
(ω>0)的初相和频率分别为－π和，则它的运动周期为________，相位是________．
答案　　3πx－π
解析　因为频率f＝，所以T＝＝，
所以ω＝＝3π，
所以相位ωx＋φ＝3πx－π.
反思感悟　若y＝Asin(ωx＋φ)是一个简谐运动的解析式，则A>0，ω>0，若A，ω不满足条件，则利用诱导公式变形，使之满足，再根据概念求值．
跟踪训练1　弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的(　　)
A．频率为1.5 Hz B．周期为1.5 s
C．周期为6 s D．频率为6 Hz
答案　B
解析　振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s，频率f＝＝＝ Hz.
二、三角函数“拟合”模型的应用
例2　下表所示的是某地2000～2021年的月平均气温(华氏度)．
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系．
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)这个函数的周期是多少？
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①＝cos ；②＝cos ；③＝cos ；④＝sin .
解　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．
(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知＝7－1＝6，∴T＝12.
(3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(4)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得＝>1≠cos ，∴①不适合．
代入②，得＝<0≠cos ，
∴②不适合，同理④不适合，∴③最适合．
反思感悟　处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤
(1)根据原始数据绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式．
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
跟踪训练2　下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：
时间(时) 0 2 4 6 8 10 12
温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2
时间(时) 14 16 18 20 22 24
温度(℃) 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8
(1)作出这些数据的散点图；
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据．
解　(1)散点图如图所示．
(2)设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋c，
由表知ymax＝37.4，ymin＝36.6，则c＝＝37，A＝＝0.4，ω＝＝＝.
由0.4sin＋37＝37.4，
得sin＝1，
即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z，取φ＝－，
故可用函数y＝0.4sin＋37来近似描述这些数据．
三、三角函数在物理中的应用
例3　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解　(1)由题图可知A＝300，
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝，
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，
即sin＝0，
又|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
反思感悟　处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练3　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
解　列表如下：
2t＋ 0 π 2π
t －
s 0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
1．知识清单：
(1)简谐运动．
(2)函数的“拟合”．
(3)三角函数在物理中的应用．
2．方法归纳：数学建模、数形结合．
3．常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题．
1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
答案　B
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　)
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
答案　C
解析　当t＝时，s1＝5sin＝－5，
s2＝5cos＝－5，∴s1＝s2.
3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是(　　)
A.， B．2，
C.，π D．2，π
答案　A
解析　当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.
4.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________ s往返一次．
答案　0.8
1．简谐运动y＝4sin的相位与初相分别是(　　)
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
答案　C
解析　相位是5x－，当x＝0时的相位为初相，即－.
2．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　)
A．200 B．400 C．200π D．400π
答案　D
解析　由图象可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.
3．函数s＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)表示一个振动量，振幅是2，频率是，初相是，则这个函数为(　　)
A．s＝2sin(t≥0)
B．s＝sin(t≥0)
C．s＝2sin(t≥0)
D．s＝(t≥0)
答案　C
4．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为(　　)
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
答案　B
解析　将t＝代入I＝5sin，
得I＝2.5 A.
5.如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式可以是(　　)
A．I＝300sin
B．I＝300sin
C．I＝300sin
D．I＝300sin
答案　C
解析　由图象得A＝300，T＝2＝，
∴ω＝＝100π，
∴I＝300sin(100πt＋φ)．
代入点，得sin＝0，
取φ＝，∴I＝300sin.
6．(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
答案　ABD
解析　由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在
0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.
7．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是
1 s时，线长l＝ ________cm.
答案　
解析　由已知得＝1，
所以＝2π，＝4π2，l＝.
8．函数y＝sin＋cos的振幅是 ________.
答案　2
解析　因为y＝sin＋cos
＝＋
＝sin 2x＋cos 2x
＝2
＝2sin，
所以函数y＝sin＋cos的振幅是2.
9．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s (单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝6sin.
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解　(1)周期T＝＝1(s)．
列表：
2πt＋ π 2π 2π＋
t 0 1
6sin 3 6 0 －6 0 3
描点、连线，画图如下．
(2)①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
10．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根据表中近似数据画出散点图．观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)，②y＝Acos(ωt＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
解　(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示．
依题意，选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，
∴A＝＝，b＝＝，T＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝cos＋，
又∵函数图象过点(3,2.4)，
即2.4＝cos＋，
∴cos＝1，∴sin φ＝－1，
又∵－π<φ<0，∴φ＝－，
∴y＝cos＋＝sin t＋ .
(2)由(1)知，y＝sin t＋，
令y≥1.05，即sin t＋≥1.05，
∴sin t≥－，
∴2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k－1≤t≤12k＋7，
又∵5≤t≤18，
∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全．
11．初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为(　　)
A．y＝v0t B．y＝v0tsin θ
C．y＝v0tsin θ－gt2 D．y＝v0tcos θ
答案　C
解析　由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ，故炮弹上升的高度y＝v0tsin θ－gt2.
12.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置与图中哪个点相同(　　)
A．甲 B．戊 C．丙 D．丁
答案　D
解析　与乙点的位置相差周期的点为丁点．
13．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为
15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　)
A．y＝3sin t＋12 B．y＝－3sin t＋12
C．y＝3sin t＋12 D．y＝3cos t＋12
答案　A
解析　由相邻两次高潮的时间间隔为12 h，知T＝12，且T＝12＝(ω＞0)，得ω＝，又由高潮时水深15 m和低潮时水深9 m，得A＝3，k＝12.由题意知当t＝3时，y＝15，故将t＝3，y＝15代入解析式y＝3sin＋12中，得3sin＋12＝15，得×3＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)，所以该函数的解析式可以是y＝3sin＋12＝3sin t＋12.
14．如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．
时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
水深(m) 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为______m.
答案　4
解析　由题意得函数y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)的周期为T＝12，
解得
∴ω＝＝，∴y＝2sin t＋5，
∴该港口在11：00的水深为y＝2sin π＋5＝4(m)．
15．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
答案　C
解析　因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，
所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
所以ω可取，φ可取π，
即y＝500sin＋9 500，
所以当x＝3时，y＝9 000.
16．在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如下表所示：
日期 1月 1日 2月 28日 3月 21日 4月 27日 5月 6日 6月 21日 8月 13日 9月 20日 10月 25日 12月 21日
日期位置 序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355
存活时间 y小时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
(1)试选用一个形如y＝Asin(ωx＋φ)＋t的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式；
(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时．
解　(1)细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足y＝Asin(ωx＋φ)＋t，由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，∴19.4－5.4＝14，故A＝7.
又19.4＋5.4＝24.8，故t＝12.4.
又T＝365，∴ω＝.当x＝172时，＋φ＝，∴φ＝－，
∴y＝7sin＋12.4(1≤x≤365，x∈N)．
(2)由y>15.9得sin>，
∴∴这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时．

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