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第08讲 导数的计算
【学习目标】
1．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.
【备考指南】
题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题.
【考点总结】
1．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
2.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
【考点解析】
【考点】一、导数的运算
方向1：已知函数解析式求函数的导数
【例1】　求下列各函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝tanx；
(3)y＝2sin2－1；(4)y＝ln(1－2x)。
解　
(2)先变形：y＝，再求导：
y′＝′＝＝。
(3)先变形：y＝－cosx，
再求导：y′＝－(cosx)′＝－(－sinx)＝sinx。
(4)设u＝1－2x，y＝lnu，则y＝ln(1－2x)是由y＝lnu与u＝1－2x复合而成，
所以y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(1－2x)′＝·(－2)＝＝。
1．正确运用导数公式。
2．求导之前先对函数进行化简，减小运算量。
方向2：抽象函数求导
【例2】　已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)＝________。
解析　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－。
答案　－
先对函数求导，再赋值，如本题先求导，再令x＝2，即可求f′(2)。
【变式】1．(方向1)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________。
解析　由题意得f′(x)＝exlnx＋ex·，则f′(1)＝e。
答案　e
【变式】2．(方向2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝(　　)
A．－e B．－1
C．1 D．e
解析　由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋。所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1。故选B。
答案　B
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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