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第13讲 利用导数研究方程的根
【学习目标】
1、研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.
2、根据题目要求,画出函数图像的走势规律,标明函数极(最)值的位置.
3、利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
【备考指南】
研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
1.利用导数研究方程根(函数零点)的技巧
(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.
(2)根据题目要求,画出函数图像的走势规律,标明函数极(最)值的位置.
(3)利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
2.已知函数零点个数求参数的常用方法
(1)分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分类讨论法:结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围.
3.处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法
(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;
(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,通过构造函数y=f(x)-g(x),利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.
4.判断函数零点个数的常用方法
(1)直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．
(2)分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．
【解题方法】
(1) 根据题意构造函数f(x),其中f ' (x)=0可解;；
(2利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；
(3)结合f(x)的图象(或草图)及零点存在性定理得f(x)=0的根的个数
根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题. 进而得到参数应满足的不等式(组),从而得解
在利用分离参数法的时候要特别注意参数前面的系数的符号问题，一般情况下在确保系数恒为正或者负的时候适宜分离，否则需要分类讨论.
【考点解析】
【考点】一、判断函数的零点个数
【例1】设函数f(x)=ln x+,m∈R,讨论函数，g(x)=f'(x)-零点的个数.
解　（1）函数g(x)=f'(x)-(x>0).
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).
设h(x)=-x3+x(x≥0),∴h'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).
当x∈(0,1)时,h'(x)>0,此时h(x)在(0,1)内单调递增;
当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,此时h(x)在(1,+∞)内单调递减.
∴当x=1时,h(x)取得极大值h(1)=-+1=.
令h(x)=0,即-x3+x=0,解得x=0或x=.函数h(x)的图象如图所示.由图可知:
①当m>时,函数y=m和函数y=g(x)的图象无交点;
②当m=时,函数y=m和函数y=g(x)的图象有且仅有一个交点;
③当0④当m≤0时,函数y=m和函数y=g(x)的图象有且仅有一个交点.
综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且仅有一个零点;当0【考点】二、根据函数的零点求解参数范围
【例2】已知a∈R，函数f(x)＝ex－ax(e＝2.718 28…
是自然对数的底数).若函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2ln x＋a)在区间内无零点，求实数a的最大值.
解　（2）法一　由已知得F(x)＝a(x－1)－2ln x，且F(1)＝0，
则F′(x)＝a－＝＝，x>0.
①当a≤0时，F′(x)<0，F(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，
结合F(1)＝0知，当x∈时，F(x)>0.
所以F(x)在内无零点.
②当a>0时，令F′(x)＝0，得x＝.
若≥时，即a∈(0，4]时，F(x)在上是减函数.
又x→0时，F(x)→＋∞.
要使F(x)在内无零点，只需F＝－－2ln≥0，则0若<时，即a>4时，则F(x)在上是减函数，在上是增函数.
∴F(x)min＝F＝2－a－2ln，
令φ(a)＝2－a－2ln，则φ′(a)＝－1＋＝<0.
∴φ(a)在(4，＋∞)上是减函数，则φ(a)<φ(4)＝2ln 2－2<0.
因此F<0，所以F(x)在x∈内一定有零点，不合题意，舍去.
综上，函数F(x)在内无零点，应有a≤4ln 2，所以实数a的最大值为4ln 2.
法二　当a≤0时，同法一.
当a>0时，x∈，F′(x)<0；x∈，
F′(x)>0.
所以F(x)在上单调递减，在上单调递增.
因此F(x)min＝F.
①若≥1，即0因此，当x∈时，F(x)>F(1)＝0，所以F(x)在内无零点.
②若<1，即a>2时，F(x)min＝F≤F(1)＝0.
要使函数F(x)在内无零点，
只需F＝－－2ln≥0，
则2综上，函数F(x)在内无零点，应有a≤4ln 2，所以实数a的最大值是4ln 2.
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