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第02讲 常用逻辑用语
【学习目标】
1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否
【备考指南】
1．求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，或已知充要条件求参数的取值范围等
2．全称命题或特称命题的否定．
3．常以不等式、函数为载体判断命题真假，或已知命题真假
【考点总结】
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
【常用结论】
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A?B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
【易错总结】
(1)命题的条件与结论不明确；
(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；
(3)对充分必要条件判断错误．
【考点解析】
【考点】一、四种命题的相互关系及真假判断
例1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1例2．有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A B”的逆否命题．
其中真命题是(　　)
A．①②　　　　　　 B．②③
C．④ D．①②③
解析：选D.①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．
例3．已知集合P＝，Q＝，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C.因为P＝＝
{k∈Z}，Q＝，
所以P?Q，
所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，
则原命题的逆否命题为真命题．
原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，
则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
[提醒]　四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
(2)判断命题真假的2种方法
①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；
②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．　
【考点】二、充分条件、必要条件的判断
例1、(1)(2020·烟台模拟)已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“>”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2020·佛山模拟)已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　(1)若>，则－＝>0.当0成立；当a>0，b<0时，满足>，但0a>0”是“>”的充分不必要条件，故选A.
(2)当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C.
【答案】　(1)A　(2)C
判断充要条件的3种常用方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：利用A B与﹁B ﹁A，B A与﹁A ﹁B，A B与﹁B ﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
[提醒]　判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么．
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
【变式】1．(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由x2－5x<0可得0【变式】2．(2020·安徽淮南二模)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.
【考点】三、充分条件、必要条件的探求及应用
例1、(1)设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x B”成立的充要条件是(　　)
A．－1C．x>－1 D．－1(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．
【解析】　(1)因为集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，又因为“x∈A且x B”，所以－1(2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
【答案】　(1)D　(2)[0，3]
【迁移探究】　(变问法)本例(2)条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，
所以P S且S ?P.
所以[－2，10]?[1－m，1＋m]．
所以或
所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．　
【变式】1．命题“ x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥9 B．a≤9
C．a≥10 D．a≤10
解析：选C.命题“ x∈[1，3]，x2－a≤0” “ x∈[1，3]，x2≤a” 9≤a.则a≥10是命题“ x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.
【变式】2．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．
解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.
因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.
答案：3
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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