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第07讲 导数的概念和几何意义
【学习目标】
1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．
2．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数．
【备考指南】
1.导数的概念及几何意义是热点问题，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质．
2．导数几何意义的应用是热点问题，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题.
【考点总结】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
【考点解析】
【考点】一、导数的几何意义
角度一　求切线方程
例1、 (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．
【解析】　(1)因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.
(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
所以由解得x0＝1，y0＝0.
所以直线l的方程为y＝x－1，
即x－y－1＝0.
【答案】　(1)y＝3x　(2)x－y－1＝0
角度二　求切点坐标
例2、(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
【解析】　设A(x0，ln x0)，又y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝(－e－x0)，化简得ln x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．
【答案】　(e，1)
角度三　求参数
例3、(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x＋y＋1＝0相切，则实数a的值为________．
【解析】　(1)因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)·(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得
(2)设直线x＋y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝－a，所以由题意，得，解得.
【答案】　(1)D　(2)2
角度四　导数与函数的图象
例4、 (1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．
【解析】　(1)不妨设导函数y＝f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x1<00，排除B，故选D.
(2)由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，所以f′(3)＝－.
因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
所以g′(3)＝1＋3×＝0.
【答案】　(1)D　(2)0
导数几何意义的应用类型及求解思路
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
(3)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．　
【变式】1．曲线y＝ex－1＋x的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为________．
解析：设切点坐标为(x0，ex0－1＋x0)，因为y′＝ex－1＋1，所以切线的斜率k＝e x0－1＋1，故切线方程为y－ex0－1－x0＝(ex0－1＋1)(x－x0)．因为切线过原点，所以0－ex0－1－x0＝(ex0－1＋1)(0－x0)，解得x0＝1，将x0＝1代入y－ex0－1－x0＝(ex0－1＋1)(x－x0)，可得切线方程为y＝2x，故答案为y＝2x.
答案：y＝2x
【变式】2．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________．
解析：因为y′＝，所以y′|x＝＝－1.
由条件知＝－1，所以a＝－1.
答案：－1
【针对训练】
一、单选题
1．若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则等于（ ）
A．f ′(x0) B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0
【答案】B
【分析】
转化为 ，然后根据导数的定义得解.
【详解】
故选B.
2．如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为（ ）
A． B． C．2 D．－2
【答案】B
【分析】
根据平均变化率的定义计算即得.
【详解】
.
故选B.
3．若函数可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据导函数的定义得，根据，即可求出结果.
【详解】
．
故选：C.
4．已知曲线，若，则（ ）
A． B．e C． D．
【答案】B
【分析】
先求出函数的导数，根据已知即可求出.
【详解】
由可得，
则，解得.
故选：B.
5．已知函数，若，则（ ）
A．36 B．12 C．4 D．2
【答案】C
【分析】
根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.
【详解】
解：根据题意，，则，则，
若，则
，
则有，即，
故选：C.
6．若函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
由切点在切线上可得，可得，根据导数的几何意义，导数值就是该点处的切线的斜率，即可得解.
【详解】
函数的图象在点处的切线方程是，
可得，，
则.
故选：B.
7．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求得函数的导数，得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
可得，
所以曲线在点处切线的斜率为,
所以切线方程为，即.
故选：B.
8．函数图像的切线斜率为k，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】
根据导数的几何意义，结合配方法进行求解即可.
【详解】
，
当时，即当时，有最小值，最小值为，
故选：B
9．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求导可得，代入x=0，可求得切线斜率k，又，代入点斜式方程，即可求得答案.
【详解】
由题意得：，
所以切线的斜率，又，
所以切线方程为：，即．
故选：D
10．若直线是函数的一条切线，则函数不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由导数的几何意义知：若切点为则，结合各选项的导数确定是否存在切点.
【详解】
由题设知：若切点为，则，
A：，有；
B：，有；
C：，有；
D：，显然无解.
故选：D.
11．函数f(x)=x3-7x2+sin(x-4)的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
【答案】C
【分析】
根据导数的几何意义进行求解即可.
【详解】
因为f＇(x)=3x2-14x+cos(x-4)，所以所求切线的斜率为f＇（4）=3×16-14×4+1=﹣7.
故选：C
12．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据切点和斜率求得切线方程.
【详解】
因为，所以，当时，，所以曲线在点处的切线的斜率，所以所求切线方程为，即.
故选：D
13．已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断与、与，及其与0的大小关系.
【详解】
由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：，而，
故选：B.
14．某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移(单位：)关于时间：(单位：)的函数关系式为，则的实际意义是（ ）
A．汽车刹车后1内的位移 B．汽车刹车后1内的平均速度
C．汽车刹车后1时的瞬时速度 D．汽车刹车后1时的瞬时加速度
【答案】C
【分析】
根据导数的物理意义判断．
【详解】
由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．
故选：C.
15．函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）．
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】
利用导数的几何意义求解即可
【详解】
解：由，得，则，
所以函数的图象在点处的切线的斜率为，
故选：A
16．设直线是曲线在点处的切线，则直线与x轴，y轴围成的三角形面积为（ ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】A
【分析】
利用导数的几何意义求出切线方程，再求出直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式可得结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以直线的方程为，即，
令，得，令，得，
所以直线与x轴，y轴围成的三角形面积为.
故选：A
17．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法-用“做切线”的方法求方程的近似解．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值处的切线与x轴的交点为，在的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
【答案】B
【分析】
利用切点和斜率求得切线方程，结合牛顿法求得.
【详解】
，
，，在点的切线方程为，令解得，
，，在点的切线方程为，
令解得.
故选：B
18．函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用导数求得切线的斜率.
【详解】
因为，所以所求切线的斜率为.
故选：A
19．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用切点和斜率求得切线方程.
【详解】
时，，故切点为，
，当时，，
所以切线方程为，即.
故选：A
20．一质点的运动方程为，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（ ）
A．4米/秒 B．6米/秒 C．8米/秒 D．10米/秒
【答案】C
【分析】
根据导数求瞬时速度.
【详解】
，当时，，即物体在4秒末的瞬时速度是8米/秒.
故选：C
21．已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围．
【详解】
，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，
由题知，∴，，
两点处的切线方程分别为和，
故，即.
故选：D.
22．已知点是曲线C：y＝+1上的点，曲线C在点P处的切线平行于直线6x﹣3y﹣7＝0，则实数a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2
【答案】A
【分析】
求出导函数并把代入令其值等于2可求得可得答案.
【详解】
∵y＝+1，
∴，
∵曲线C在点P处的切线平行于直线6x﹣3y﹣7＝0，
结合题意得：，
解得：a＝2或，
当时，，
切点坐标为，代入，所以不合题意，舍去，
当时，，
切点坐标为，代入，
故选：A．
23．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.
【详解】
当时,
所以在点处的切线方程,由点斜式可得
化简可得
故选:D
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,属于基础题.
24．设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用导数的几何意义可知，可求得；根据为两曲线公共点可构造方程求得，代入可得结果.
【详解】
，，，，，
又为与公共点，，，解得：，
.
故选：D.
25．己知，设函数的图象在点处的切线为l，则l过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解
【详解】
由，，，故过处的切线方程为：，故l过定点
故选：A
【点睛】
本题考查由导数的几何意义求解切线方程，直线过定点问题，属于简单题
26．若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设函数图象上切点为，求出函数的导函数，根据求出切点坐标与切线方程，设函数的图象上的切点为，根据，得到，再由，即可求出，从而得解；
【详解】
解：设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．
故选：A
27．曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】
求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得的方程，解方程可得所求值．
【详解】
解：的导数为，
可得在点处的切线的斜率为，
由切线与直线垂直，可得，
解得，
故选：．
28．已知定义在上的函数满足，若曲线在点处的切线斜率为2，则（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】
先由换元法求出的解析式，然后求导，利用导数的几何意义先求出的值，然后可得出的值.
【详解】
设，则，．
由，解得，从而，
故选: C．
29．设函数，则在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．1
【答案】B
【分析】
先求解出，然后计算出的值即为在处的切线斜率.
【详解】
因为在图象上且，所以，
所以在处的切线斜率为，
故选：B.
30．抛物线的焦点为F，准线为l，斜率为2的直线m与抛物线C切于一点A，与准线l交于点B，则的面积为（ ）
A．15 B．
C． D．
【答案】C
【分析】
结合导数求得切线方程，进而求得点坐标，从而求得三角形的面积.
【详解】
设切点，则，，，可求切线为，
则由得，切线与轴的交点为，故.
故选：C
31．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
求导，进而得到，然后根据在点处的切线与直线平行求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
因为在点处的切线与直线平行，
所以，
解得，
故选：A
32．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程的3个实数根为，，，则，，.已知函数，直线与的图象相切于点，且交的图象于另一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据导数的几何意义求切线的斜率，再由切线上的两点求斜率，建立方程求解即可.
【详解】
，
，
又直线过点，
，
化简得，
即，
，
，
故选：D
33．函数的图象的切线斜率可能为（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】D
【分析】
对函数求导可得，进而可得结果.
【详解】
因为(当时等号成立)，
所以切线的斜率可能为，
故选：D.
34．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据切点处导数的几何含义，结合直线垂直可得，即可求参数a，进而写出.
【详解】
由题设知，，
∵函数的图象在处的切线与直线垂直，
∴，解得，
∴.
故选：C.
35．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由函数解析式可得、，进而求，即可写出处的切线方程.
【详解】
由解析式知：，则，
而，
∴在处的切线方程为，
即.
故选：A.
36．已知函数，若曲线在点处与直线相切，则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-1或1
【答案】C
【分析】
求出，由题意可得，，解方程即可求解.
【详解】
由，
则，
曲线在点处与直线相切，
则，即，
所以，
两边同时取以为底的对数，可得，
即，
所以，
设，，
函数在上单调递增，
所以，即，
又，所以，
解得.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了导数的几何意义，解题的关键是通过构造函数得出，考查了数学运算能力.
37．飞轮在制动后的秒钟时间内转过的角的大小(弧度)可由函数来模拟，则飞轮从开始制动到完全停止转动所需的时间(单位：秒)为（ ）(注：瞬时角速度)
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】A
【分析】
根据瞬时速度即可得结果.
【详解】
由，得完全停止转动即瞬时速度，解得，
即轮从开始制动到完全停止转动所需的时间为6秒，
故选：A.
38．已知直线l与曲线相切，则下列直线不可能与l平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用曲线在某点的导函数值为曲线在该点的切线方程的斜率.对曲线求导，根据导函数的取值范围即可得出切线斜率的取值范围.即可选出答案.
【详解】
，即直线l的斜率，故直线不可能与l平行，故选C.
【点睛】
本题考查曲线的切线方程.属于基础题.熟练掌握函数的求导公式是解本题的基础.
39．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）
A．是的极值点 B．导函数在处取得极小值
C．函数在区间上单调递减 D．导函数在处的切线斜率大于零
【答案】A
【分析】
由图象知在上单调递减，知A错误；
在上单调递减，在上单调递增，由极值的定义知B正确；
由在上恒成立可知C正确；
由的单调性和在处切线斜率不等于零可知D正确.
【详解】
对于A，由图象可知：当时，恒成立，在上单调递减，
不是的极值点，A错误；
对于B，由图象可知：在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，B正确；
对于C，由图象可知：当时，恒成立，在上单调递减，
在上单调递减，C正确；
对于D，在上单调递增，在上恒成立；
又由图象可知：在处的切线斜率不等于零，即，
在处的切线斜率大于零，D正确.
故选：A.
40．已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由函数的图象，判断出它的单调性，再根据函数图象切线斜率的变化情况，判断的增减性，最后根据函数的凸凹性进行判断，从而得出结论．
【详解】
解：由函数的图象知，当时，单调递增，
，
函数图象切线斜率逐渐增大，
单调递增，
，
，
，
，
故选：A．
二、多选题
41．已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在处取得极大值
C．当时， D．的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【分析】
A由导数的几何意义即可求参数a；B利用导数研究函数的单调性，进而确定是否存在极大值；C根据B判断区间内的端点值、极值，进而确定区间值域；D令，则，即可确定对称中心.
【详解】
A：，由题意，得，正确；
B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；
C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；
D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；
故选：ABD.
42．直线y=2x+m能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
分别求得各个函数的导数，若有解，则直线y=2x+m能作为该函数图象的切线，若无解，则不满足题意，即可得答案.
【详解】
对于A：，故无论x取何值，不可能等于2，故A错误；
对于B：，令，解得，所以直线y=2x+m能作为该函数图象的切线；
对于C：，故无论x取何值，不可能等于2，故C错误；
对于D：，令，解得，所以直线y=2x+m能作为该函数图象的切线；
故选：BD
43．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的n+1次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（ ）
A．若取初始近似值为1，则该方程解的二次近似值为
B．若取初始近似值为2，则该方程解的二次近似值为
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
构造函数，并求得导数，然后按照题干的定义依次代值计算结合排除法可得结果.
【详解】
构造函数，则，
取初始近似值，则，
，则A正确；
取初始近似值，则，，则B正确；
根据题意，可知，，，，上述四式相加，得，
则D不正确，C正确，
故选：ABC.
44．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数是奇函数
C．函数有两个零点
D．曲线在原点处的切线方程为
【答案】AD
【分析】
通过导数与0的关系，可判断A；直接根据奇函数的定义即可判断B；通过函数图象的大致形状可判断C；根据导数的几何意义可判断D.
【详解】
，令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以选项A正确；
，所以函数不是奇函数，选项B错误；
当时，；当时，；当时，，又，画出函数的大致图象如图，可知函数只有一个零点，所以选项C错误；
易知，所以曲线在原点处的切线方程为，选项D正确.
故选：AD.
45．直线可以作为下列函数图象的切线的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据导数的几何意义，判断选项中的导数是否有解，即可判断选项.
【详解】
因为的斜率为1，根据导数的几何意义，判断选项中的导数值能否为1.
A.，无解，故A不正确；
B.，解得：，故B正确；
C.，即，，无解，故C不正确；
D.，解得：，故D正确.
故选：BD
三、填空题
46．曲线在处的切线在轴上的截距为___________.
【答案】
【分析】
求得函数在导数，即切线斜率，即可求得方程，令可得所求.
【详解】
，当时，，即切线斜率为2，
又当时，，
所以切线方程为，即，
令得，即切线在轴上的截距为.
47．若函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为________．
【答案】－5
【分析】
求出导函数，由f′（2）＝0，可得求出c＝－4，再由导数的几何意义即可求解.
【详解】
∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，
令f′（2）＝0，∴(c＋4)＋(2－2)×2×2＝0，∴c＝－4，∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x．
∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为f′（1）＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5．
故答案为：－5
48．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f（1）)处的切线斜率为3，且是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________．
【答案】－2
【分析】
先求导，根据曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为3，有，又x是y＝f（x）的极值点，得到，两式联立求解．
【详解】
依题意得，
又因为在点(1，f（1）)处的切线斜率为3，所以
由于是y＝f(x)的极值点，所以
解得，则
故答案为：
49．已知f(x)＝lnx且，则x0＝________．
【答案】1
【分析】
先求导，再联立解方程即可
【详解】
因为f(x)＝lnx(x>0)，所以，所以，所以x0＝1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查由导数值求自变量，属于基础题
50．已知，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】
求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线的方程.
【详解】
由得，
可得曲线在点处的切线的斜率为，切点为，
则切线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.
四、双空题
51．我国魏晋时期的数学家刘徽形容他创立的“割圆术”说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”即用正边形进行内外夹逼，可以求得圆周率的精确度较高的近似值.借用这种“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线，再进行相关计算.若函数，则曲线在点处的切线方程为___________；用此结论计算：___________.
【答案】
【分析】
利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据题意得出，由此可求得结果.
【详解】
由题意知的定义域为，，
故曲线在点处的切线的斜率为，
所以切线的方程为.
因为非常接近，所以有，
则.
故答案为：；.
52．已知函数在点处的切线与曲线相切，且该切线经过点，则________，________．
【答案】
【分析】
依题意求出的导函数，即可求出切线方程，由切线过点，即可求出，再设上的切点坐标为，依题意得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，所以，所以函数在点处的切线为，
由因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为，因为，
所以，设切点为，则，解得
故答案为：；
53．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______，_____．
【答案】2
【分析】
求出两条曲线的导数，设出切点，根据斜率相等和切点在曲线上建立关系即可求解.
【详解】
由可得，由可得，
设直线与和的切点分别为，
则由导数的意义可得，得，
又切点也在两条曲线上，则，
两式相减得，即，则.
故答案为：2；.
54．设函数，则曲线在点处的切线方程为________；函数的极大值点为________.
【答案】
【分析】
首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点；
【详解】
解：因为，所以，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
，则 ，所以函数在上是减函数，
，解得或，所以在和上是增函数，所以函数的极大值点是 ；
故答案为：；
55．已知曲线，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．
【答案】
【分析】
先利用已知条件得到两曲线的交点坐标，再利用导数的定义得到，利用导数的几何意义以及点斜式写直线方程即可.
【详解】
由，
得，
∴两曲线的交点坐标为．
由，
得＝，
∴在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，
即．
故答案为：；.
五、解答题
56．已知曲线C：y＝x3.
（1）求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
（2）求曲线C过点(1，1)的切线方程.
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）先利用导数求出切线的斜率，再利用直线的点斜式求出切线方程；
（2）设切点为Q(x0，y0)，由题意可知kPQ＝，从而可得，求出点Q的坐标，进而可求出切线方程
【详解】
（1）将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1).
y′|x＝1＝＝
＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即.
（2）设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知，由题意可知kPQ＝，
即，又，所以，即，解得x0＝1或x0＝－.
①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，则切线的斜率为3，所以切线方程为.
②当x0＝－时，切点坐标为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，即，
综上所求切线方程为或.
57．求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程.
【答案】2，y＝2x
【分析】
先判定点在曲线上，根据导数的几何意义，求割线的斜率的极限，得到切线的斜率，进而求得切线的方程.
【详解】
显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为
k＝
＝＝ ＝2.
故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
58．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切，求a，b的值．
【答案】a＝0；b＝－1．
【分析】
由题意可得b＝－1，利用导数的几何意义可得＋a＝，即可求解.
【详解】
由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1．
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．
由题意，得＋a＝，故a＝0．
59．设函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）利用求导公式求解即可；
（2）首先将代入切线方程得到切点为，从而得到，再解方程组即可.
【详解】
（1）由，
得
.
（2）由题意得，切点既在曲线上，又在切线上，
将代入切线方程，得，切点为.
所以，解得.
60．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
【答案】（1）a＝1，b＝－8；（2）7x＋y－3＝0．
【分析】
（1）求导对比已知条件即可求得a，b的值；
（2）根据导数的几何意义通过求导函数得出切线斜率，再求得切点，结合点斜式求得切线方程．
【详解】
（1）因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以，
又，所以a＝1，b＝－8．
（2）由（1）可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以，
所以．
又g(0)＝3，所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0．
61．已知函数．
（1）求曲线的斜率等于1的切线方程；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）；（2）极小值，无极大值．
【分析】
（1）首先求函数的导数，根据，求切点坐标，再求切线方程；（2）根据极值的定义，利用导数求极值.
【详解】
（1）设切点为，因为，
所以，，，
所以切线方程为，即．
（2）的定义域为．
令即，，
令，得，
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以存在极小值， 无极大值．
62．已知函数在处的切线为．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数在上的最值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为，最小值为.
【分析】
（Ⅰ）由导数的几何意义以及切点在切线上也在曲线上联立方程可解.
（Ⅱ）利用导数求出单调区间，再根据单调性可求最值.
【详解】
解：（Ⅰ），
，
由题意，有，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
，
令，得；令，得.
在上单调递增，在上单调递减.
，
.
63．设函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值．
【答案】(1) x +y=0；(2) 的极大值为，极小值为.
【分析】
(1)对求导得，求出，由直线点斜式方程写出切线方程即得；
(2)求出方程＝0的根，并讨论大于或小于0的x取值区间，由此判断极值情况，再求解而得.
【详解】
(1)由得，，
过点(0,0)，斜率为-1的直线为y=-x，
所以函数在处的切线方程为x +y=0；
(2)由(1)知，＝0时，，
或时，时，，
所以x=-1时，取得极大值，x=ln2时，取得极小值，
故的极大值为，极小值为.
【点睛】
可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.
64．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2），．
【分析】
（1）求导，由导数的几何意义可求得切线斜率，从而可求得切线方程；
（2）利用导数求得函数的单调区间，从而可求得最值．
【详解】
（1）因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）令，，，解得（舍或，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
，，，
故，．
65．已知函数的图象在点处的切线为．
（1）求函数的解析式；
（2）设，求证：；
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由切点坐标求得参数，得解析式；
（2）利用导数求得的最小值，从而证明不等式成立．
【详解】
（1）在切线方程中，时，，所以切点为，所以，，
；
（2）由（1），则，
时，，递减，时，，递增，
所以，所以．
66．已知函数在处的切线与轴平行.
（1）求常数的值；
（2）求函数在的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）由题意可知，求常数的值；（2）首先求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，再判断函数的最值.
【详解】
（1），，
由于图像在处的切线与轴平行，所以，
解得，经验证，满足题意
所以.
（2）由(1)知，，.
令，得或，所以，在上为增函数；
令，得，所以，在上为减函数.
所以，在上为减函数，在上为增函数.
.
又，所以.
67．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在的最小值.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据导数的几何意义得出切线方程；
（2）由导数得出，令，利用导数得出在恒成立，再讨论时函数的单调性，进而得出最值.
【详解】
解：（1）当时，，∴，
又得切点，∴，
所以切线方程为，即；
（2），∴，
令，∴
由，得，所以在上为单调增函数
又，
所以在上恒成立
即在恒成立
当时，，知在上为减函数，从而
当时，，知在上为增函数，从而；
综上，当时，；当时.
【点睛】
关键点睛：解决问题二的关键在于利用导数得出其单调性，进而得出最值.
68．已知函数f(x)＝．
（1）求函数f(x)在x=1处的切线方程；
（2）求证：．
【答案】（1）y=5x－1；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求切线方程．
（2）不等式化简为．设，求出导函数，判断函数的单调性求解函数的最值，然后证明即可．
【详解】
解：（1）的定义域为，的导数．
由（1）可得，则切点坐标为，
所求切线方程为．
（2）证明：．
即证．设，则，
由，得．
当时，；当时，．
在上单调递增，在上单调递减，（1）．
，即不等式成立，则原不等式成立．
69．已知曲线．求：
（1）曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
（2）（1）中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
【答案】（1）；（2）切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的公共点．
【分析】
（1）由导数的定义得出，再由导数的几何意义求出切线方程；
（2）由求出该切线与曲线C的其他公共点.
【详解】
（1）将代入曲线的方程，得
切点为
过点的切线方程为，
即；
（2）由，可得
解得
从而求得公共点为(1，1)和(-2，-8)．
说明切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的公共点
70．已知函数
（1）求；
（2）求在处的导数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求出，，再由得出；
（2）由导数的几何意义得出.
【详解】
（1）
．
（2）
71．已知曲线.
（1）求曲线在点P(1，3)处的切线方程;
（2）求曲线过点P(1，3)的切线方程.
【答案】（1）；（2）和.
【分析】
（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程；
（2）设过点P的切线与曲线相切于点R，然后根据曲线在点R处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果．
【详解】
（1），则切线的斜率为，
所以曲线在点P处的切线方程为，
即.
（2）设过点的切线与曲线相切于点，
∴曲线在点R处切线斜率为，
故切线方程为，
又因为切线过点，∴，
解得或，
故切点R分别为和，
所以过点P的切线方程为或，
所以过点Q的切线方程为：和.
72．已知函数，，函数在处与直线相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数在上的单调性．
【答案】（1）；（2）增区间是，减区间是．
【分析】
（1）由函数得，根据曲线切点处导数的几何意义，列方程求参数a，b的值；
（2）由（1）知，结合给定区间讨论的符号，进而确定的单调性.
【详解】
（1）由题意，得：，
∴，得.
（2）由（1），得，
∴，
∴当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．
∴函数的增区间是，减区间是．
73．已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间和极值.
【答案】（1）；（2）函数的增区间为，该函数无极值.
【分析】
（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）利用导数分析函数的单调性，由此可得出结论.
【详解】
（1）当时，，则，所以，，.
所以，函数在处的切线方程，
因此，所求切线的方程为；
（2）当时，，该函数的定义域为，，
所以，函数的增区间为，该函数无极值.
74．已知点在函数的图象上．
（1）求函数在点A处的切线方程；
（2）求过点A且与函数的图象相切，切点异于点A的直线方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）点在函数的图象上可得，求出可得切线的斜率为，由点斜式方程可得答案；
（2）设过点A且与函数的图象相切的切点为，可得，且可得点的坐标，由点斜式方程可得答案
【详解】
（1）点在函数的图象上，所以，
所以，，所以切线的斜率为，
所以函数在点A处的切线方程为，即；
（2）设过点A且与函数的图象相切的切点为，
所以①，且②，由①②解得
，或舍去，所以，即，
所以过点的直线方程为，整理得
.
【点睛】
本题考查了求函数在与过点求切线方程的问题，关键点是利用求出切线的斜率和点的坐标，考查了销售分析问题、解决问题的能力.
75．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值为8，最小值为．
【分析】
（1）先对函数求导，然后利用导数的几何意义可得从而可求出的值，进而可得的解析式；
（2）先对函数求导，然后令导数等于零，求出极值点，再求出极值和端点处的函数值，比较可得函数的最值
【详解】
解：（1）由题意可得，．
由解得
经检验得时，有极大值．
所以．
（2）由（1）知，．
令，得，，
，的值随的变化情况如下表：
2
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数值 3 8 8
由表可知在上的最大值为8，最小值为．
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