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第04讲 一次函数与二次函数
【学习目标】
1、掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2、理解并掌握二次函数的定义、图象及性质
【备考指南】
1、二次函数的图象和性质，经常与其他知识综合考查．
2、二次函数的综合应用，经常与导数、不等式综合考查.
【考点总结】
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
【常用结论】
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
【考点解析】
【考点】一、二次函数的解析式
例1、 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解】　法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，
解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：
　
【变式】1．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对 x∈R.都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为____________．
解析：由f(0)＝3，得c＝3，
又f(1＋x)＝f(1－x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.
答案：f(x)＝x2－2x＋3
【变式】2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．
解析：设f(x)＝a＋49(a≠0)，方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案：f(x)＝－4x2－12x＋40
【考点】二、二次函数的图象与性质
角度一　二次函数的图象
例1、已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
【解析】　A项，因为a<0，－<0，所以b<0.
又因为abc>0，所以c>0，而f(0)＝c<0，故A错．
B项，因为a<0，－>0，所以b>0.
又因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B错．
C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0，
所以c>0，而f(0)＝c<0，故C错．
D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c<0，故选D.
【答案】　D
角度二　二次函数的单调性
例2、函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a的取值范围是________．
【解析】　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知
解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．
【答案】　[－3，0]
【迁移探究】　(变条件)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，求a为何值？
解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间为[－1，＋∞)，所以解得a＝－3.
角度三　二次函数的最值问题
例3、设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
【解】　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，f(x)min＝
角度四　二次函数中的恒成立问题
例4、已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
【解析】　2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a<－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.
综上，实数a的取值范围是.
【答案】　
解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．
(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．　
【变式】1．(2020·河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　)
A．{0，－3}　　　　　　 B．[－3，0]
C．(－∞，－3]∪[0，＋∞) D．{0，3}
解析：选A.函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝[－2(m＋3)]2－4×3×(m＋3)＝0，所以m＝－3或m＝0，所以实数m的取值范围为{0，－3}，故选A.
2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数．
解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，
所以f(x)在[－4，2]上单调递减，在(2，6]上单调递增，
所以f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，
故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
【针对训练】
1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．0
C．1 D．－2
解析：选D.函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是(　　)
解析：选C.若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.
3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
4.幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.因为y＝xm2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m<0，即0又因为函数的图象关于y轴对称，且m∈Z，
所以m2－4m为偶数，因此m＝2.
5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析：选B.由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.
6．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，
所以3＝9a，即a＝.
所以y＝(x－3)2＝x2－2x＋3.
答案：y＝x2－2x＋3
7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝在[1，2]上是减函数，所以a>0，所以0答案：(0，1]
8．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.
答案：[0，4]
9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
对称轴x＝－∈[－2，3]，
所以f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
所以函数f(x)的值域为.
(2)对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
所以6a＋3＝1，即a＝－满足题意；
②当－>1，即a<－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
所以－2a－1＝1，
即a＝－1满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立．
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
[综合题组练]
1．(2020·湖南4月联考)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选B.易知定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m单调递减，所以函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减，所以抛物线的对称轴x＝≥1，所以k≥2.故选B.
2．(2020·湖北荆州质量检查(一))若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．(－∞，0] D．[0，＋∞)
解析：选B.因为(3x＋a)3≤8x3，y＝x3在R上递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3成立，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]，故选B.
3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④　　　　　 B．①④
C．②③ D．①③
解析：选B.因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a4．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为____________．
解析：当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为x∈，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.
答案：1
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，
且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，
所以f(x)＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．
又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2，0]．
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