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第01讲 集合的概念与运算
【学习目标】
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
【备考指南】
1.利用集合的含义与表示求集合的元素或元素的个数．
2．根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围．
3．考查数集的交集、并集、补集的基本运算．
4．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合问题．
5．以集合为载体结合其他数学知识考查新概念、新性质、新法则的创新问题的应用.
【考点总结】
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
表示 关系 　 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A B (或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A?B (或B?A)
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
【常用结论】
1．三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
(3)补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
2．集合基本关系的四个结论
(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A A.空集只有一个子集，即它本身．
(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A B，B C，则A C；若A?B，B?C，则A?C.
(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
【易错总结】
(1)忽视集合中元素的互异性致误；
(2)忽视空集的情况致误；
(3)忽视区间端点值致误．
【考点解析】
【考点】一、集合的概念
例1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个　　　　　　　 B．4个
C．3个 D．无数个
解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
例2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________．
解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.
答案：0或
例3.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________．
解析：因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.
答案：(16，＋∞)
例4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
求解与集合中的元素有关问题的注意事项
(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．　
【考点】二、集合的基本关系
例1、(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．B A　　　　　　　 B．A＝B
C．A?B D．B?A
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
【解析】　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，比较A，B中的元素可知A?B，故选C.
(2)因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A C B，则集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．
(3)因为B A，
所以①若B＝ ，则2m－1②若B≠ ，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
【答案】　(1)C　(2)D　(3)(－∞，3]
(1)判断两集合关系的方法
①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系；
②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系．
(2)根据两集合间的关系求参数的方法
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
[提醒]　空集是任何集合的子集，当题目条件中有B A时，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论．
例1．(2020·河北唐山第一次模拟)设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝，则(　　)
A．M?N B．N?M
C．M＝N D．M∪N＝R
解析：选C.集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.故答案为C.
例2．设M为非空的数集，M {1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
解析：选A.由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．
例3．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B A，则实数m的取值范围为________．
解析：①若B＝ ，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2，符合题意；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．
答案：[－2，2)
【考点】三、集合的基本运算
角度一　集合的运算
例1、(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2(2)(2020·河南焦作模拟)若集合A＝{x|2x2－9x>0}，B＝{y|y≥2}，则( RA)∪B＝(　　)
A. B．
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】　(1)通解：因为N＝{x|－2优解：由题可得N＝{x|－2因为－3 N，所以－3 M∩N，排除A，B；
因为2.5 M，所以2.5 M∩N，排除D.故选C.
(2)因为A＝{x|2x2－9x>0}＝，所以 RA＝，又B＝{y|y≥2}，所以( RA)∪B＝[0，＋∞)．故选C.
【答案】　(1)C　(2)C
角度二　利用集合的运算求参数
例2、(1)(2020·江西上饶重点中学六校联考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C. D．(1，＋∞)
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．
(3)已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，则实数m的取值范围是________．
【解析】　(1)由题意可得3a－1≥1，解得a≥，即实数a的数值范围是.故选C.
(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.
(3)集合A＝{x|x＜－3或x＞4}，因为A∩B＝{x|x＞4}，所以－3≤m≤4.
【答案】　(1)C　(2)4　(3)[－3，4]
(1)集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒]　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．　
例1．(2020·江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知集合M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝(　　)
A．[0，1] B．[－1，1]
C．[0，1) D．(0，1]
解析：选A.由于M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，所以N＝[0，1]，所以M∩N＝[0，1]．故选A.
例2.(2020·安徽宣城八校联考)如图，设全集U＝N，集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2，4} B．{7，8}
C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5}
解析：选A.由题图可知阴影部分表示的集合为( UA)∩B，因为集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，U＝N，所以( UA)∩B＝{2，4}．故选A.
例3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1＜x＜0} B．{x|－1＜x≤0}
C．{x|0＜x＜2} D．{x|0≤x＜2}
解析：选B.因为函数y＝有意义，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤0}．故选B.
【针对训练】
1．设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　)
A．{2}　　　　　　　　　 B．{2，3}
C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}
解析：选D.由条件可得A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　　)
A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
解析：选A.因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.
3．(2020·河南许昌、洛阳三模)已知集合A＝{x|y＝}，B＝(0，1)，则A∩B＝(　　)
A．(0，1) B．(0，1]
C．(－1，1) D．[－1，1]
解析：选A.由题意得A＝[－1，1]，又B＝(0，1)，所以A∩B＝(0，1)．故选A.
4．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
解析：选B.因为集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，所以M N.故选B.
5．(2020·广东湛江测试(二))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．所以集合A∩B的子集个数为22＝4.故选C.
6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
解析：选A.法一：由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A.
法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
7．已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选B.因为A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B＝{0，2}，
所以或
当x＝2时，B＝{0，2，4}，A∩B＝{0，2，4}(舍)；
当x＝0时，B＝{－2，0，2}，A∩B＝{0，2}．
综上，x＝0.故选B.
8．(2020·惠州模拟)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N M，则实数a的取值集合为(　　)
A．{1}　　　　　　　　　 B．{－1，1}
C．{1，0} D．{－1，1，0}
解析：选D.M＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，当a＝0时，N＝ ，满足N M，当a≠0时，因为N M，所以＝－1或＝1，即a＝－1或a＝1.故选D.
9.(2020·太原模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是(　　)
A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)
C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]
解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为 A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.
10．(2020·福建厦门3月质量检查)已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B A，则实数a的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选D.A＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x－a<0}＝{x|x11．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．
解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．
答案：[－1，2)　(－∞，3]
12．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠ ，则a的取值范围为________．
解析：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠ ，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
[综合题组练]
1．已知全集U＝A∪B中有m个元素，( UA)∪( UB)中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(　　)
A．mn　　 B．m＋n
C．n－m　　 D．m－n
解析：选D.因为( UA)∪( UB)中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．
2．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中错误结论的序号是________．
解析：①中，－4＋(－2)＝－6 A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k (A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．
答案：①③
3．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是________．
解析：因为A∩B＝ ，①若当2m≥1－m，即m≥时，B＝ ，符合题意；
②若当2m＜1－m，即m＜时，
需满足或
解得0≤m＜或 ，即0≤m＜.
综上，实数m的取值范围是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
4．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝，则A∩B＝________．
解析：不等式<2x<8的解为－3所以B＝(－3，3)．
若x∈A∩B，则，
所以[x]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.
若[x]≤－2，则x2＝3＋2[x]<0，没有实数解；若[x]＝－1，则x2＝1，得x＝－1；
若[x]＝0，则x2＝3，没有符合条件的解；
若[x]＝1，则x2＝5，没有符合条件的解；
若[x]＝2，则x2＝7，有一个符合条件的解，x＝.
因此，A∩B＝.
答案：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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