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第03讲 函数及其性质
【学习目标】
1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3、了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
4、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义
5、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
6、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
【备考指南】
1、对函数的基本概念与定义域的考查常与指数函数、对数函数综合出题．考查函数的值域及最值．
2、函数的表示方法，主要考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数问题．
3、函数的新定义问题，主要考查函数的综合知识，以其他知识为背景，分析后仍然用函数知识去解决，此类问题综合性比较强.
4、函数的单调性和最值是高考中的热点问题，考查内容经常是利用单调性求最值或者求参数的取值范围.
5、对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性，二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般．
6、函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大.
【考点总结】
一、函数的概念及其表示
1．函数与映射的概念
函数 映射
两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)(x∈A) 对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域．
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
二、函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
三、函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【常用结论】
一、函数的概念及其表示
几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)指数函数的底数大于0且不等于1.
(6)正切函数y＝tan x的定义域为.
二、函数的单调性与最值
1．函数单调性的两种等价形式
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，
(1)＞0 f(x)在[a，b]上是增函数；＜0 f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 f(x)在[a，b]上是减函数．
2．五条常用结论
(1)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(2)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(3)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)，u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
三、函数的奇偶性及周期性
1．函数奇偶性的常用结论
(1)奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(3)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
【易错总结】
一、函数的概念及其表示
(1)利用奇偶性求解析式时忽视定义域；
(2)忽视奇函数的对称性；
(3)忽视定义域的对称性．
二、函数的单调性与最值
(1)对函数概念理解不透彻；
(2)对分段函数解不等式时忘记范围；
(3)换元法求解析式，反解忽视范围．
【考点解析】
一、函数的概念及其表示
【考点】一、函数的定义域
角度一　求函数的定义域
例1、(1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－1，3]　　　　　 B．(－1，0)∪(0，3]
C. [－1，3] D．[－1，0)∪(0，3]
(2)(2020·华南师范大学附属中学月考)已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是　(　　)
A．[0，1] B．(0，1)
C．[0，1) D．(0，1]
【解析】　(1)要使函数有意义，x需满足解得－1(2)由函数f(x)的定义域为[－1，1]，得－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1，又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1)，故选B.
【答案】　(1)B　(2)B
角度二　已知函数的定义域求参数
例2、若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
【解析】　由ax2－4ax＋2＞0恒成立，
得a＝0或解得0≤a＜.
【答案】　D
函数定义域的求解策略
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域．
(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．
[提醒]　(1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简．
(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．　
【变式】1．y＝ －log2(4－x2)的定义域是(　　)
A．(－2，0)∪(1，2)　　　 B．(－2，0]∪(1，2)
C．(－2，0)∪[1，2) D．[－2，0]∪[1，2]
解析：选C.要使函数有意义，则解得x∈(－2，0)∪[1，2)，
即函数的定义域是(－2，0)∪[1，2)．
【变式】2．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．
答案：[－1，2]
【变式】3．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数y＝的定义域为R，
所以mx2＋4mx＋3≠0，
所以m＝0或即m＝0或0＜m＜，所以实数m的取值范围是.
答案：
【考点】二、求函数的解析式
例1、(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；　
(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．
【解】　(1)法一：待定系数法
因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法二：换元法
令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，
所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法三：配凑法
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
(2)解方程组法
由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)．
求函数解析式的4种方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表达式．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
[提醒]　求解析式时要注意新元的取值范围．　
【变式】1．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
答案：x2＋x(x∈R)
【变式】2．已知函数f＝lg x，则f(x)＝________．
解析：令＋1＝t，得x＝，则f(t)＝lg ，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg (x>1)．
答案：lg (x>1)
【变式】3．已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________．
解析：因为2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
答案：2x－(x≠0)
【变式】4．已知函数f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________．
解析：法一(换元法)：设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
法二(配凑法)：因为x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
所以f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1，
即f(x)＝x2－1，x≥1.
答案：f(x)＝x2－1(x≥1)
【考点】三、分段函数
角度一　分段函数求值
例1、 (1)(2020·江西南昌一模)设函数f(x)＝则f(5)的值为(　　)
A．－7　　　　　　　　　 B．－1
C．0 D．
(2)若函数f(x)＝则f(f(－9))＝________．
【解析】　(1)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝.故选D.
(2)因为函数f(x)＝
所以f(－9)＝lg 10＝1，所以f(f(－9))＝f(1)＝－2.
【答案】　(1)D　(2)－2
角度二　已知函数值求参数
例2、设函数f(x)＝若f(m)＝3，则实数m的值为________．
【解析】　当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当0综上所述，m＝2.
【答案】　2
角度三　与分段函数有关的方程、不等式问题
例1、 (1)(2020·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)(一题多解)(2020·安徽皖南八校联考)已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)A．(－∞，0] B．(3，＋∞)
C．[1，3) D．(0，1)
【解析】　(1)由题意得a>0.
当0故选D.
(2)法一：由f(x)＝可得当x<1时，f(x)＝1，当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝log22＝1，
要使得f(2x＋1)3，
即不等式f(2x＋1)法二：当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x)≥f(1)＝1，要使f(2x＋1)3.故选B.
【答案】　(1)D　(2)B
分段函数问题的求解思路
(1)根据分段函数的解析式，求函数值的解题思路
先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．　
【变式】1．(2020·河南郑州质量测评)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1，2]
C．[0，2] D．(－∞，0]∪[1，2]
解析：选D.当x≥1时，不等式f(x)≤1为log2x≤1，即log2x≤log22，
因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以1≤x≤2；
当x<1时，不等式f(x)≤1为≤1，
所以－1≤0，所以≤0，所以≥0，
所以x≤0或x>1(舍去)．
所以f(x)≤1的解集是(－∞，0]∪[1，2]．故选D.
【变式】2．已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝________．
解析：当a＞0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a＞0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.
答案：－
【变式】3．(2020·闽粤赣三省十校联考)已知函数f(x－2)＝则f(2)＝________．
解析：f(2)＝f(4－2)＝6－4＝2.
答案：2
二、函数的单调性与最值
【考点解析】
【考点】一、确定函数的单调性(区间)
角度一　给出具体解析式的函数的单调性
例1、(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A.　　　　　　 B．和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D．和[2，＋∞)
(2)函数y＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
【解析】　(1)y＝|x2－3x＋2|
＝
如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1)和.故选B.
(2)令u＝x2＋x－6，
则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．
令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，
所以y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．
【答案】　(1)B　(2)[2，＋∞)　(－∞，－3]
角度二　含参函数的单调性
例2、 (一题多解)判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解】　法一：设－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
法二：f′(x)＝＝，
所以当a>0时，f′(x)<0，当a<0时，f′(x)>0，
即当a>0时，f(x)在(－1，1)上为单调递减函数，
当a<0时，f(x)在(－1，1)上为单调递增函数．
确定函数单调性的4种方法
(1)定义法．利用定义判断．
(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒]　求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．　
【变式】1．函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是________．
解析：
由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．
答案：[－1，0]，[1，＋∞)
【变式】2．判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在x∈[1，2]上的单调性．
解：设1≤x1＜x2≤2，则
f(x2)－f(x1)＝ax＋－
＝(x2－x1)，
由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4，
1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.又1＜a＜3，
所以2＜a(x1＋x2)＜12，
得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，
即f(x2)＞f(x1)，
故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．
【考点】二、求函数的最值
例2、(1)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
(2)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
【解析】　(1)由于y＝在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
(2)当x≤1时，f(x)min＝0，当x>1时，f(x)min＝2－6，当且仅当x＝时取到最小值，又2－6<0，所以f(x)min＝2－6.
【答案】　(1)3　(2)2－6
求函数最值的5种常用方法及其思路
　
【变式】1．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________．
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，
所以即所以
所以a＋b＝6.
答案：6
【变式】2．(一题多解)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析：法一：在同一直角坐标系中，
作出函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象如图所示．
易知点A(2，1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
法二：依题意，h(x)＝
当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，
当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，
所以h(x)在x＝2处取得最大值h(2)＝1.
答案：1
【考点】三、函数单调性的应用
角度一　比较大小
例1、已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．
所以f＝f.当x2>x1>1时，
[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，
知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<所以f(2)>f>f(e)，所以b>a>c.
【答案】　D
角度二　解函数不等式
例2、已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　 B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1，2) D．(－2，1)
【解析】　因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f(x)的图象是一条连续的曲线．
因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，
当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，
所以函数f(x)是定义在R上的增函数．
因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，
即x2＋x－2<0，解得－2【答案】　D
角度三　根据函数的单调性求参数
例3、 (1)(2020·南京调研)已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(2)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
【解析】　(1)法一：设11.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，所以－x1x2<－1，所以a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
法二：由f(x)＝x－＋得f′(x)＝1＋，
由题意得1＋≥0(x＞1)，
可得a≥－x2，当x∈(1，＋∞)时，－x2＜－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
【答案】　(1)[－1，＋∞)
(2)(－∞，1]∪[4，＋∞)
函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
[提醒]　①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．　
【变式】1．(2020·武汉模拟)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选B.因为函数f(x)＝2|x－a|＋3
＝，
因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，
所以a＞1.所以a的取值范围是(1，＋∞)．故选B.
【变式】2．定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，2) B．[0，2)
C．[0，1) D．[－1，1)
解析：选C.因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，
所以函数f(x)在[－2，2]上单调递增，
所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C.
【针对训练】
1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　　　 B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：选C.当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)
A．(－∞，0) B．
C．[0，＋∞) D．
解析：选B.y＝|x|(1－x)＝＝函数y的草图如图所示．
由图易知原函数在上单调递增．故选B.
3．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．
4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)A. B．
C. D．
解析：选D.因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)所以0≤2x－1<，解得≤x<.
5．定义新运算 ：当a≥b时，a b＝a；当aA．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选C.由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当16．函数f(x)＝－的值域为________．
解析：因为所以－2≤x≤4，
所以函数f(x)的定义域为[－2，4]．
又y1＝，y2＝－在区间[－2，4]上均为减函数，
所以f(x)＝－在[－2，4]上为减函数，
所以f(4)≤f(x)≤f(－2)．
即－≤f(x)≤ .
答案：[－，]
7．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
解析：
由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．
答案：[0，1)
8．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，解得所以a∈.
答案：
9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解：(1)证明：任取x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，
因为x1>x2>0，所以x1－x2>0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，
所以f＝－2＝，
f(2)＝－＝2，
解得a＝.
10．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.综上所述，0＜a≤1.
[综合题组练]
1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(0，1] B．(－1，0)∪(0，1]
C．(0，＋∞) D．(0，1]
解析：选D.函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g(x)＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得，m的取值范围是(0，1]．
2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0　　 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B.因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B.
3．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________．
解析：因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，
所以a的取值范围是0≤a≤2.
答案：[0，2]
4．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为________．
解析：因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝，
由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1， ]上单调递减，故“缓增区间”I为[1， ]．
答案：[1， ]
5．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝，
当x∈[0，2)时，－1≤f(x)<0，当x∈[2，3]时，0≤f(x)≤7，
所以f(x)在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.
(2)因为f(x)＝，
又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，
所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4.
当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1.
即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，
故a的取值范围为[－4，－2]．
6．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
三、函数的奇偶性及周期性
【考点解析】
【考点】一、函数的奇偶性
角度一　判断函数的奇偶性
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
【解】　(1)由f(x)＝，可知 故函数f(x)的定义域为(－6，0)∪(0，6]，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)由 x2＝1 x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)由 －1定义域关于原点对称．
此时f(x)＝＝
＝－，
故有f(－x)＝－＝
＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(4)
法一：图象法
画出函数f(x)＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
法二：定义法
易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．
法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．
角度二　函数奇偶性的应用
例1、(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．
(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
(3)(2020·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________．
【解析】　(1)当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝＝8，
所以a＝－3.
(2)因为f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，
所以当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1.
(3)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.
【答案】　(1)－3　(2)x－1　(3)0
(1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．　
【变式】1．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数　　　　　
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选D.因为f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
因为f(|－x|)＝f(|x|)，
所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．
【变式】2．(2020·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．4
C．－2 D．－4
解析：选C.根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.
【变式】3．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．
解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，
由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.
答案：3
【考点】二、函数的周期性
例1、(1)(2020·江西临川第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则f＝(　　)
A．－　　　　　　 B．－
C. D．
(2)(2020·开封模拟)已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2 016(2)的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】　(1)因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f＝f＝f，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f＝－f＝－＝，所以f＝.故选D.
(2)因为f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2 016(2)＝f3×672(2)＝f3(2)＝2，故选C.
【答案】　(1)D　(2)C
函数周期性的判定与应用
(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　
【变式】1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝(　　)
A．5 B．
C．2 D．－2
解析：选D.由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.
【变式】2．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)．且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝＝，
所以f(f(15))＝f＝cos＝.
答案：
【考点】三、函数性质的综合问题
角度一　单调性与奇偶性的综合问题
例1、(2019·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)
A．f>f(2－)>f(2－)
B．f>f(2－)>f(2－)
C．f(2－)>f(2－)>f
D．f(2－)>f(2－)>f
【解析】　根据函数f(x)为偶函数可知，f(log3)＝f(－log34)＝f(log34)，因为0<2－<2－<20f(2－)>f(log3)．
【答案】　C
角度二　周期性与奇偶性的综合问题
例2、(2020·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】　由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a2－2a－4<－1，解得－1【答案】　A
角度三　单调性、奇偶性与周期性的综合问题
例3、(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1，0]上单调递减，则f(x)在[1，3]上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)B．f(80)C．f(11)D．f(－25)【解析】　(1)根据题意，因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.又因为f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1，0]上是减函数，所以函数f(x)在[0，1]上是增函数，所以函数f(x)在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，所以f(x)在[1，3]上是先减后增的函数，故选D.
(2)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，
所以f(－1)【答案】　(1)D　(2)D
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．　
【变式】1．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　 B．∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)
解析：选B.f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因为f(1)＝2，所以f(－1)＝2，所以f(log2x)>2 f(|log2x|)>f(1) |log2x|>1 log2 x>1或log2x<－1 x>2或0【变式】2．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．
解析：法一：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0，0)中心对称．数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
答案：2
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