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第05讲 指对幂函数运算与性质
【学习目标】
1、了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
2、理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，知道指数函数是重要的函数模型．
3、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
4、理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，知道对数函数是重要的函数模型．
5、了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1).
6、了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.
【备考指南】
1、指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查．
2、指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查．
3、指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、奇偶性、最值等．
4、对数式的化简与求值，考查对数的运算法则．
5、对数函数图象与性质的应用，多考查对数函数的定义域、值域、单调性，难度不大．
6、指数函数、对数函数的综合问题，考查反函数的应用，与指数函数、对数函数有关的方程、不等式、恒成立问题，综合性强，难度稍大.
7、幂函数的图象和性质，很少单独出题．
【考点总结】
一、指数与指数函数
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)；
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax (a>0且a≠1) a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)
当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01
在R上是增函数 在R上是减函数
二、对数与对数函数
1．对数
概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质 对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)
运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
a>1 0图象
续　表
a>1 0性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0当01时，y<0当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
三、幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
【常用结论】
1．换底公式的三个重要结论
①logab＝；
②logambn＝logab；
③logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故0由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．
一、指数与指数函数
【考点解析】
【考点】一、指数幂的化简与求值
例1．化简·(a>0，b>0)＝________．
解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝.
答案：
例2．计算：＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________．
解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
答案：－
例3．化简：÷×＝________(a>0)．
解析：原式＝÷×＝a(a－2b)××＝a2.
答案：a2
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　
【考点】二、指数函数的图象及应用
例1、(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)
(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
【解析】　(1)函数f(x)＝21－x＝2×，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．
(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．
【答案】　(1)A　(2)(－∞，0]
【迁移探究1】　(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．
解析：
函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，
故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．
答案：{0}∪[1，＋∞)
【迁移探究2】　(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．
由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
应用指数函数图象的4个技巧
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．　
【变式】1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0　　　 B．a>1，b>0
C．00 D．0解析：选D.由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0【变式】2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即
0＜a＜；
(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．
所以0＜a＜.
答案：
【考点】三、指数函数的性质及应用
角度一　指数函数单调性的应用
例1、(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．bC．b(2)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)＞－e2的x的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
【解析】　(1)因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b(2)由f(x)＝ex－ae－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)＞－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故选B.
【答案】　(1)A　(2)B
角度二　指数型复合函数的单调性
例2、(1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，
因为y＝在R上为减函数，
所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
所以f(x)的减区间为(－∞，1]．
(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]
角度三　指数函数性质的综合问题
例3、已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)有最大值3，求a的值；
(2)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【解】　(1)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，
所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由指数函数的性质知，
要使y＝的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)
故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.
(1)利用指数函数的性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．　
【变式】1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是　(　　)
A．a＜b＜c　　　　　　 B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：选C.因为指数函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以0.60.6＞0.61.5，即a＞b，
又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，
所以a＜c，
故选C.
【变式】2．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
解析：因为f(x)为偶函数，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
所以f(x)＝
当f(x－2)>0时，有或
解得x>4或x<0.
所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
答案：{x|x>4或x<0}
【变式】3．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性．
解：(1)f(x)的定义域是R，令y＝，得ax＝－，因为≠1在定义域内恒成立，所以y≠1.
因为ax>0，所以－>0，
解得－1所以f(x)的值域为(－1，1)．
(2)因为f(－x)＝＝＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝＝1－.
设x1，x2是R上任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x1所以当a>1时，a x2>ax1>0，
从而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)当0a x2>0，
从而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)为R上的减函数．
二、对数与对数函数
【考点解析】
【考点】一、对数式的化简与求值
例1．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________．
解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2.
答案：2
例2．若lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)，则log的值为________．
解析：依题意，可得lg(xy)＝lg(2x－3y)2，
即xy＝4x2－12xy＋9y2，
整理得：4－13＋9＝0，解得＝1或＝.
因为x>0，y>0，2x－3y>0，
所以＝，所以log＝2.
答案：2
例3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．
解析：由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝logm2＋logm5＝logm10.
因为＋＝2，所以logm10＝2.
所以m2＝10，所以m＝.
答案：
例4．已知log23＝a，3b＝7，则log32的值为________．
解析：由题意3b＝7，所以log37＝b.
所以log32＝log＝＝＝＝.
答案：
对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．　
【考点】二、对数函数的图象及应用
例1、 (1)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
(2)已知函数f(x)＝，若存在实数a，b，c，d，满足f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围________．
【解析】　(1)对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图象恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.
(2)
由题意可得－log3a＝log3b＝c2－c＋8＝d2－d＋8，
可得log3(ab)＝0，故ab＝1.
结合函数f(x)的图象，在区间[3，＋∞)上，
令f(x)＝1可得c＝3、d＝7、cd＝21.
令f(x)＝0可得c＝4、d＝6、cd＝24.
故有21＜abcd＜24.
【答案】　(1)D　(2)(21，24)
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　
【变式】1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)
A．a>1，c>1
B．a>1，0C．01
D．0解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0【变式】2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
【考点】三、对数函数的性质及应用
角度一　比较大小
例1、已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c　　　　　　　 B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
【解析】　因为c＝log＝log23>log2e＝a，所以c>a.
因为b＝ln 2＝<1所以a>b.
所以c>a>b.
【答案】　D
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较
角度二　解简单对数不等式
例2、已知不等式logx(2x2＋1)【解析】　原不等式 ①
或②，
解不等式组①得不等式组②无解，
所以实数x的取值范围是.
【答案】　
求解对数不等式的两种类型及方法
类型 方法
logax>logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
[提醒]　注意对数式的真数大于零，且不等于1.　
角度三　与对数函数有关的综合问题
例3、已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【解】　(1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．
所以3－2a>0.所以a<.
又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，
所以函数t(x)为减函数．
因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，
所以y＝logat为增函数，
所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
所以即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
　
【变式】1．(2019·高考天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b解析：选A.a＝log520.51＝，故alog0.50.25＝2，而c＝0.50.2<0.50＝1，故c【变式】2．若定义在区间(－1，0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．(0，＋∞)
解析：选A.因为－10，所以0<2a<1，所以0【变式】3．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上单调递增，
则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，
且y＝ax2－x>0恒成立，
即解得a>.
答案：
三、幂函数
【考点解析】
【考点】一、幂函数的图象及性质
例1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　)
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选C.设幂函数f(x)＝xα，代入点(3，)，得＝3α，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．
例2．幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)
A．3　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
解析：选C.因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝x(a－5)2－2(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4，5，6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
例3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b解析：选D.因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝，因为y＝是减函数，
所以a＝例4．若幂函
数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1B．－1C．－1D．－1解析：选D.幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.　
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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