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2021年全国高考数学真题试卷及解析（理科）
（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则　　
A． B． C． D．
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是　　
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3．已知，则　　
A． B． C． D．
4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为　　
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
6．在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是　　
A． B．
C． D．
7．等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为　　
A．346 B．373 C．446 D．473
9．若，，则　　
A． B． C． D．
10．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为　　
A． B． C． D．
11．已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为　　．
14．已知向量，，．若，则　　．
15．已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为　　．
16．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为　　．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．（12分）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
20．（12分）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且．已知点，且与相切．
（1）求，的方程；
（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
21．（12分）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数，．
（1）画出和的图像；
（2）若，求的取值范围．
参考答案
1.B 【解析】,画出数轴如图所示.，故选B.
2.C 【解析】由频率分布直方图知年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02 +0.04) x1=0. 06=6% ,故A正确;年收入不低于10.5万元的农户
比率估计为(0.04 +0.02x3) x1=0. 10=10% ,故B正确;该地农户家庭年收入的平均值约为3x0.02 +4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68>6.5,故C错误;年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10+0.14 +0.20+0.20) x1 =0.64>0.5，故D正确.故选C.
3.B 【解析】,故选B.
4.C 【解析】将代入,得即,故选C.
5. A 【解析】点在轴上，由双曲线的定义得，,又 ,所以,所以在中,有,即,化简得,即,所以离心率,故选A.
6.D 【解析】由正视图可得几何体的直观图如图所示，则其侧视图为D选项.
7.B 【解析】当时,只有当时，数列才是递增数列，故甲不是乙的充分条件;若数列是递增数列，则对任意恒成立，即恒成立，所以,因此甲是乙的必要条件.故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选B.
8.B 【解析】如图,过作,垂足为,过作,垂足为,连接,过作,垂足为,则由题意可得∠,∠,所以.易得//,//,//,所以∠∠,∠∠.在中，,在中，∠，由正弦定理，得,即.又,所以,所以,故选B.
9.A 【解析】因为.所以,化简得所以,所以,故选A.
10.C 【解析】4个1和2个0随机排成一行，共有种排法,其中2个0相邻的排法共有种,所以所求概率,故选C.
11.A 【解析】设线段的中点为,由题意可知为等腰直角三角形，点是的外心，所以平面,所以.由,得,所以,所以,故选A.
12.D 【解析】因为是奇函数，所以,所以的图像关于点(1,0)对称由是偶函数,得 ,所以函数的图像关于直线对称,所以,所以,所以函数是以4为周期的函数.又,所以,所以,所以,故选D.
13. 【解析】由,得,所以切线的斜率,所以切线方程为即.
14. 【解析】 ,因为,所以,解得.
15.8 【解析】因为椭圆 ,所以.由题意可知，四边形形，且.设,所以,所以所以.
16.2 【解析】设函数的最小正周期为,由图像可知，,所以,所以.当时，把点的坐标代入的解析式,得,所以,则当时，将点的坐标代入的解析式，得,所以,,则.综上得,所以,所以,所以 或,所以 或,所以或,即或,所以当时,能取到的最小正整数为2.
17.【解】(1)由题中表格可得甲机床生产的产品中一级品的频率为,乙机床生产的产品中一级品的频率为,所以甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别为,.
(2)由题中表格可得所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
18. 【证明】若选条件①②，则证明③:
设等差数列的公差为,,两边平方整理得,,.
若选条件①③，则证明②:
设等差数列的公差为,则,,(常数),当时，,
数列是以为首项，为公差的等差数列.
若选条件②③,则证明①:
数列是等差数列,,,.
当时,,对于也成立，
(常数)，
数列是等差数列.
19.(1)【证明】三棱柱为直三棱柱，
,//.,平面平面,又平面, .
如图，以为原点,,所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则.
(2)【解】由(1)知平面，则为平面的一个法向量.
设平面的法向量为,
由(1)得,即,令,则.
设平面与平面所成二面角的平面角为,,当，即 时,平面与平面所成二面角的正弦值最小,为.
20.【解】(1)设抛物线,则,解得，则抛物线.因为的圆心,与相切，所以的半径为1.则的方程为.
(2)相切.理由如下:设，则直线,直线与相切，则,整理得,同理可得.
当,即时,,点为同一点，不符合题意;
当,即1时,是方程的两个不相等的实数根，则,直线,则点到直线的距离因此直线与相切.
21.【解】(1)当时,对求导得令,解得,令，解得,则函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)曲线与直线有且仅有两个交点等价于方程有且仅有2个不相等的实数根，即函数的图像与直线有两个交点，,令,解得.令,则0，此时单调递增;
令,则，此时单调递减.
故,当0时,;当 时因为所以要使函数的图像与直线有两个交点，则0. 当0时,,此时不符合题意，所以,故.
22. 【解】(1)由,得,,即,曲线的直角坐标方程为.
(2)设,为上的动点，设.又.,,即,点的轨迹的参数方程为,(为参数)，
曲线为以(3 ,0)为圆心, 为半径的圆，曲线为以( ,0)为圆心,为半径的圆，,圆内含于圆,与无公共点.
23.【解】(1)画出和的图像如图所示.
(2)由(1)中的图像可知,是向左(或右)平移个单位长度得到的，又向右平移不合题意，故向左平移.易知的右支过曲线上的点(,4 )时为临界状
态，此时右支的解析式为,由点(,4 )在直线上可知解得若要满足题意，则,即的取值范围为

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