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2021年全国高考数学真题试卷及解析
（新高考Ⅱ）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数在复平面内对应点所在的象限为　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若全集，2，3，4，5，，集合，3，，，3，，
则　　
A． B．， C．， D．，
3．若抛物线的焦点到直线的距离为，则　　
A．1 B．2 C． D．4
4．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，该卫星信号覆盖地球表面的表面积（单位：，则占地球表面积的百分比约为　　
A． B． C． D．
5．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为　　
A． B． C． D．
6．某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是　　
A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
7．已知，，，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则　　
A． B． C．（2） D．（4）
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全选对得5分，选对但不全得2分，有错误答案得0分）
9．下列统计量中，能度量样本，，，的离散程度的有　　
A．样本，，，的标准差 B．样本，，，的中位数
C．样本，，，的极差 D．样本，，，的平均数
10．如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是　　
A． B．
C． D．
11．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是　　
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相离
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
12．设正整数，其中，，记，则　　
A． B．
C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上）
13．已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 　　．
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数　　．
①；②当时，；③是奇函数．
15．已知向量，，，则　　．
16．已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 　　．
四、解答题（本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）
17．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．（10分）
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
18．在中，角，，所对的边长为，，，，．（12分）
（Ⅰ）若，求的面积；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．（12分）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
20．已知椭圆的方程为，右焦点为，，且离心率为．（12分）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是．
21．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，，1，2，．（12分）
（Ⅰ）已知，，，，求；
（Ⅱ）设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22．已知函数．（12分）
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点．
①，；
②，．
参考答案
1.A 【解析】因为,所以在复平面内,复数对应的点位于第一象限,故选A.
2.B 【解析】由题可得,所以.故选B.
3.B 【解析】抛物线的焦点为，由题意，得,解得.故选B.
4.C 【解析】由题意可知，,所以从同步卫星上可望见的地球的表面积,此表面积与地球表面积之比约为,故选C.
5.D 【解析】将棱台补成棱锥,作上底面于,交平面于,则棱台的体积.由题意，，易知,，而,所以,则,所以棱台的体积, 故选D.
6.D 【解析】因为某物理量的测量结果服从正态分布，所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差越小，则分布越集中，对于，越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在内的概率越大，故选项正确；对于，不管取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项正确；对于，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项正确；对于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的区域大于分布在10附近的区域，故测量结果落在内的概率大于落在内的概率，故选项错误．故选：．
7.C 【解析】因为,所以.故选C.
8.B 【解析】因为函数为偶函数，所以其图像关于轴对称，则函数的图像关于直线对称;又函数为奇函数，所以其图像关于点(0,0)对称,将函数的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像且函数的图像关于点(,0 )对称，再将所得函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，且函数的图像关于点(1 ,0)对称，所以函数图像既关于直线对称,又关于点(1 ,0)对称,所以4为函数的一个周期.又,所以,故选B.
9.AC 【解析】平均数和中位数反映的是一组数据的平均水平，标准差和极差则体现了一组数据的离散程度.故选AC.
10．BC 【解析】对于，设正方体棱长为2，设与所成角为，则，不满足，故错误；
对于，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，则，0，，，0，，，0，，，1，，，0，，，，，，满足，故正确；
对于，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，2，，，2，，，1，，，0，，
，0，，，，，，满足，故正确；
对于，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，2，，，0，，，1，，，1，，
，，，，0，，
，不满足，故错误．故选：．
11.ABD 【解析】圆心(0,0)到直线的距离，若点在圆上，则，则,所以直线与圆相切,故A正确;若点在圆内，则，则,所以直线与圆相离,故B正确;若点在圆外，则,则,所以直线与圆相交,故C错误;若点在直线上，则，即,则点也在圆上,,所以直线与圆相切，故D正确.
12. ACD 【解析】 ,假设中有个1，则.又,则中也有个1,则，故A正确:当时,,所以,又,所以,故B错误;,由A知, ,所以,所以,故C正确;因为，所以中有个1,所以,故D正确.故选ACD.
13. 【解析】双曲线的离心率,所以，所以双曲线的渐近线方程为.
14.(答案不唯一) 【解析】由条件②可知在(0,)上单调递增;由条件③可知可能为偶函数，再结合条件①,可构造函数或等等.
15. 【解析】由,得，所以,所以,解得.由,得,所以,所以 ,解得.同理可得.所以
16.(0,1) 【解析】画出的图像，如图所示，由题意知两条切线的斜率存在且不为零，当时,，过点的切线斜率;当时，，过点的切线斜率的.因为两条切线互相垂直,所以，即,即,所以.过点的切线方程为令,则;过点的切线方程为,令，则，则,所以.因为,所以,所以的取值范围为(0,1).
17. 【解】(1)设等差数列的公差为，则解得则
(2)结合(1)可知,,则等价于解得或,又 ,所以,故使成立的的最小值为7.
18. 【解】(1)由正弦定理知,联立.解得则.由余弦定理可知,因为 ,所以则的面积为
(2)因为,所以,因此若存在正整数,使得为钝角三角形，则角为钝角，因此只需满足,即，则化简得,解得.因为为正整数,所以可取1,2.当时，的三边的长度分别为1,2,3,此时不满足三角形的三边关系，即该三角形不存在;
当时,的三边的长度分别为2,3,4,满足题意.
因此当时，为钝角三角形.
19.(1)【证明】如图,取中点,连接因为，所以.在正方形中,,则,且，此时 ,则.
又平面,所以平面.因为平面,所以平面平面.
(2)【解】由(1)知平面,因此以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设平面的法向量,则,即取,得,则.易知平面的一个法向量则由图可知二面角的平面角为锐角，因此二面角的平面角的余弦值为.
20.(1)【解】由题意得，可得,从而,∴椭圆的方程为.
(2)【证明】设,若轴,由与相切可知，直线的方程为,不过点，不合题意，∴的斜率必存在且不为0.
设直线的方程为.由与相切知,即=.
将与椭圆方程联立,消去,化简得,由根与系数的关系得,又.
若点共线，则,即.又，代入( *)式可得反之，若,则即,整理得,又又曲线为右半圆，则与异号,或即的方程为或 ,经检验，都经过点.因此三点共线的充要条件是.
21.(1)【解】由题意知
(2)【证明】由题意知设，则.方程的判别式,不妨设其两根分别为且,则由根与系数的关系得,,则,且,且当时所以,故的最小正实根为1,即(如图①).当时,,所以,即存在使得(如图②) ,即
(3)【解】由(2)可知，当时，,即1个微生物个体繁殖下一代的个数期望不大于1,则该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率为1，即该微生物会灭绝.
当时，，即1个微生物个体繁殖下一代的个数期望大于1，则该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率小于1,即该种微生物可通过多代繁殖而不至于灭绝.
22.(1)【解】由题意得，当时,令,得;令,得,所以在(,0)上单调递减，在(0，)上单调递增.当时，令，得或.
①当一时,令,得或;令，得,所以在(,),(0,)上单调递增,在(,0)上单调递减.
②当时且等号不恒成立,所以在上单调递增.
③当时,令，得或;令,得;所以在(,0),(,)上单调递增，在(0,)上单调递减.
(2)【证明】选择条件①,证明如下:
由(1)知当时,在(,0),(，)上单调递增，在(0,)上单调递减，所以在处取得极大值,在处取得极小值，且由于,所以令则令得,当时,,当时,，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值.由于所以在上恒成立，所以.当时,,所以有一个零点,得证.
选择条件②,证明如下:由(1)知,当时在(),(0,+)上单调递增,在(,0)上单调递减，所以在处取得极大值 ,在处取得极小值.
由于,所以,则，所以.当时,,所以有一个零点，得证.

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