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第1讲　随机抽样、用样本估计总体
最新考纲 考向预测
1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样方法.3.了解频率分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.4.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.5.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释.6.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，理解用样本估计总体的思想． 命题趋势 在抽样方法的考查中，简单随机抽样、分层抽样是考查的重点，题型主要以选择题和填空题为主，属于中低档题．用样本估计总体，是统计学的基础．以考查频率分布直方图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解.
核心素养 数据分析、数学建模
1．随机抽样
(1)简单随机抽样
①定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．
②常用方法：抽签法和随机数法．
(2)分层抽样
①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
②适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．
2．统计图表
(1)频率分布直方图的画法步骤
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
3．样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝ ，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
常用结论
1．频率分布直方图与众数、中位数和平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
2．巧用四个有关的结论
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；
(2)数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；
(4)s2＝ (xi－)2＝x－2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．
常见误区
1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．
2．易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．(　　)
(2)在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(　　)
(3)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．(　　)
(4)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越大．(　　)
(5)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品的数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种型号的产品有18件，则样本容量n＝(　　)
A．54　　　　　　　　　　 B．90
C．45 D．126
解析：选B.依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.
3．(多选)下图是某商场2020年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如：第三季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%)．根据该图，以下结论中不一定正确的是(　　)
A．电视机销量最大的是第四季度
B．电冰箱销量最小的是第四季度
C．电视机的全年销量最大
D．洗衣机的全年销量最小
解析：选ABD.对于A，对比四个季度中，第四季度所销售的电视机所占百分比最大，但由于销售总量未知，所以销量不一定最大．同理，易知B不一定正确．在四个季度中，电视机在每个季度的销量所占百分比都是最大，即在每个季度销量都是最多的，所以全年销量最大的是电视机，C正确．对于D，洗衣机在第四季度所占百分比不是最小的，故D不一定正确．
4．(易错题)我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．
解析：依题意得，成绩低于60分的相应的频率等于(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是15÷0.3＝50.
答案：50
5．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．
解析：5个数的平均数＝＝5.1，所以它们的方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2 ]＝0.1.
答案：0.1
随机抽样
[题组练透]
1．(2020·重庆中山外国语学校模拟)如饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为(　　)
A．12　　　　B．6　　　　C．4　　　　D．3
解析：选D.青年教师的人数为120×(1－30%－40%)＝36，
所以青年女教师为12人，故被选出的青年女教师人数为12×＝3.故选D.
2．(2020·贵阳市适应性考试)为了保障人民群众的身体健康，在预防新型冠状病毒期间，贵阳市市场监督管理局加强了对市场的监管力度，为了考察生产口罩的某工厂生产的600个口罩是否合格，利用随机数表进行抽样测试，先将600个口罩进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本数据为(　　)
A．578 B．324
C．535 D．522
解析：选D.第6行的第6个数开始的三位数分别为808，436，789，535，577，348，994，837，522，…，符合条件的编号分别为436，535，577，348，522，…，第5个样本数据为522.
3．(2020·开封市模拟考试)为应对新冠肺炎疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资，某工厂转产甲、乙、丙、丁四种不同型号的防疫物资，产量分别为200，400，300，100(单位：件)．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取________件．
解析：依题意，注意到在甲、乙、丙、丁四种不同型号的防疫物资中，甲种型号的产品占＝.因此，采用分层抽样的方法从这些产品中抽取60件进行检验，应从甲种型号的产品中抽取60×＝12(件)．
答案：12
(1)抽签法与随机数法的适用情况
①抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．
②一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)分层抽样问题类型及解题思路
①求某层应抽个体数量，根据该层所占总体的比例计算．
②已知某层个体数量，求总体容量，根据分层抽样即按比例抽样，列比例式进行计算．
③确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．　
统计图表及应用
角度一　扇形图
(多选)某家庭2020年的总支出是2019年的总支出的1.5倍，下图分别给出了该家庭2019年、2020年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论中正确的是(　　)
A．2020年日常生活支出减少
B．2020年保险支出比2019年保险支出增加了一倍以上
C．2020年其他支出比2019年其他支出增加了两倍以上
D．2019年和2020年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上
【解析】　设2019年的总支出为x，则2020年的总支出为1.5x，2019年日常生活支出为0.35x，2020年日常生活支出为0.34×1.5x＝0.51x，故2020年日常生活支出增加，A错误；2019年保险支出为0.05x，2020年保险支出为0.07×1.5x＝0.105x，B正确；2019年其他支出为0.05x，2020年其他支出为0.09×1.5x＝0.135x，(0.135x－0.05x)÷0.05x＝1.7，故C错误；2019年日常生活支出和房贷支出之和为0.65x，超过2019年总支出的一半，2020年日常生活支出和房贷支出之和为0.59×1.5x＝0.885x，超过2020年总支出的一半，故D正确．
【答案】　BD
角度二　折线图
(多选)某市气象部门根据2020年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制如下折线图：
那么，下列叙述正确的是(　　)
A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个
D．从2020年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
【解析】　对于A，根据折线图可以发现除2月份外，各月最低气温平均值越高，最高气温平均值也越高，总体呈正相关，A正确；对于B，通过折线图观察，2月份的两个点距离最大，B正确；对于C，全年中各月最低气温平均值 不高于10℃的有1月，2月，3月，11月，12月，共有5个月，C正确；对于D，观察折线图可知，7月份到8月份气温在上升，D错误．
【答案】　ABC
角度三　茎叶图
(2020·深圳市统一测试)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据(单位：分)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(　　)
A．2和6 B．4和6
C．2和7 D．4和7
【解析】　由题意知，甲队得分的中位数是＝18，乙队得分的中位数是＝18，所以y＝7.乙队得分的平均数是18，甲队得分的平均数是＝18，所以x＝2.故选C.
【答案】　C
角度四　频率分布直方图
(2020·高考天津卷)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为(　　)
A．10 B．18
C．20 D．36
【解析】　由题知[5.43，5.45)与[5.45，5.47)所对应的小矩形的高分别为6.25，5.00，所以[5.43，5.47)的频率为(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，所以直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为80×0.225＝18.故选B.
【答案】　B
(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．
(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
(3)由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．
(4)准确理解频率分布直方图的数据特点：
①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．
②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．　
1．(多选)如图所示的折线图表示某商场一年中各月的收入、支出情况，则下列说法中正确的是(　　)
A．全年收入1至2月份增速最快
B．全年中2月份支出最高
C．四个季度中第二季底的月平均支出最低
D．利润最低的月份是5月份(利润＝收入－支出)
解析：选ABC.从折线图看出1至2月份收入数据的连线斜向上，且最陡，故A正确；由折线图可以看出支出的最高点在2月份，故B正确；由折线图可看出第二季度的总支出最低，故第二季度的月平均支出最低，故C正确；5月份的利润为30－10＝20(万元)，8月份的利润为50－40＝10(万元)，20>10，故D错误．
2．(2020·开封市第一次模拟考试)某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所占比例依次分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%.其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1 000名学生，则估计该年级拿到C等级及以上级别的学生人数为(　　)
A．45 B．660 C．880 D．900
解析：选D.由题中两图可知C等级所占比例为×20%＝24%，所以C等级及以上级别所占比例为20%＋24%＋46%＝90%，所以C等级及以上级别的学生人数为1 000×90%＝900.故选D.
样本的数字特征
(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(　　)
A．0.01 B．0.1
C．1 D．10
(2)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．
【解析】　(1)由已知条件可知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝，方差s＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的平均数为＝10.
所以这组数据的方差s＝[(10x1－10)2＋(10x2－10)2＋…＋(10xn－10)2]＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝100s＝100×0.01＝1，故选C.
(2)由题意可得甲＝乙＝9，
又因为s＝×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝，
s＝×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝>s，所以甲更稳定，故最佳人选应是甲．
【答案】　(1)C　(2)甲
众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论
(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．
(2)方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．　
1．(2020·甘肃、青海、宁夏联考)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下：
身高 (100，110] (110，120] (120，130] (130，140] (140，150]
频数 5 35 30 20 10
由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)(　　)
A．119.3 B．119.7
C．123.3 D．126.7
解析：选C.由题意知身高在(100，110]，(110，120]，(120，130]内的频率依次为0.05，0.35，0.3，前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x，则(x－120)×＝0.1，解得x≈123.3.故选C.
2．(多选)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产，下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图．
根据该折线图，下列说法正确的是(　　)
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B．在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量
C．第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%
D．第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量
解析：选CD.由题中折线图可知，第7天至第9天，复产指数与复工指数均减小，故选项A错误．在这11天期间，复产指数的增量小于复工指数的增量，故选项B错误．易知C，D正确．
核心素养系列6　数据分析——读取频率分布直方图中的数据
数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程．主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论．
(2020·天津和平区模拟)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄(单位：岁)都在[20，45]内，根据调查结果得出司机的年龄情况的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是(　　)
A．32　　　　B．33　　　　C．34　　　　D．37
【解析】　在频率分布直方图中，所有小矩形的面形之和为1，所以样本数据位于[25，30)内的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2，包含未画的小矩形的五个小矩形中，前两个小矩形的面积之和为0.05＋0.2＝0.25，前三个小矩形的面积之和为0.05＋0.2＋0.35＝0.6，所以中位数位于区间[30，35)内，设中位数为a，则有0.05＋0.2＋(a－30)×0.07＝0.5，解得a≈34，故选C.
【答案】　C
频率分布直方图是表达和分析数据的重要工具，破解此类频率分布直方图的关键：一是会求频率，即会观图、读数据，利用频率分布直方图中每一个小矩形的高乘以组距求出这一组的频率；二是会求频数，利用频率乘以样本容量，即可求出样本数据落在对应区间上的频数．　
(多选)某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对500名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取50名居民的成绩(单位：分)，按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(　　)
A．所抽取的50名居民成绩的平均数约为74
B．所抽取的50名居民成绩的中位数约为75
C．所抽取的50名居民成绩的众数约为65、75
D．参加培训的居民中约有100人的成绩不低于85分
解析：选AD.由频率分布直方图可得，成绩在[80，90)内的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x＝0.02.故可估计所抽取的50名居民成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74，所以A正确．由频率分布直方图可知，成绩在[50，60)内的频率为0.1，成绩在[60，70)内的频率为0.3，成绩在[70，80)内的频率为0.3，所以中位数在[70，80)内．设中位数约为70＋y，则0.03y＝0.5－0.1－0.3＝0.1，解得y≈3.33，所以所求中位数约为73.33，所以B错误．最高矩形是第二个、第三个(从左往右数)，这两个最高矩形数据的中间值为70，所以所求众数约为70，所以C错误．由频率分布直方图可得成绩在[80，90)内的频率为0.2，则成绩在[85，90)内的频率为0.1，又成绩在[90，100]内的频率为0.1，所以参加培训的居民中成绩不低于85分的约有500×0.1＋500×0.1＝100(人)．故选AD.
[A级　基础练]
1．(2020·深圳市统一测试)某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，29，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为(　　)
A．25 B．23 C．12 D．07
解析：选C.利用题中随机数表从中抽取5个进行检测，若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，抽取的前5个零件编号依次是07，04，08，23，12，故抽取的第5个零件编号为12，选C.
2．已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是(　　)
A．甲命中个数的极差为29
B．乙命中个数的众数是21
C．甲的命中率比乙高
D．甲命中个数的中位数是25
解析：选D.甲命中个数的极差为37－8＝29，A项正确；乙命中个数的众数是21，B项正确；甲＝×(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，乙＝×(9＋11＋13＋14＋18＋19＋20＋21＋21＋23)＝16.9，C项正确；甲命中个数的中位数为＝23，D项错误．故选D项．
3．(多选)我国网络购物市场保持较快发展，某电商平台为了精准发展，对某地区市场的N个人进行了调查，得到频率分布直方图如图所示，将调查对象的年龄分组为[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55]．已知年龄在[25，30)内的调查对象有6人，则下列说法正确的是(　　)
A．N为40
B．年龄在[30，35)内的调查对象有12人
C．调查对象中，年龄大于35岁的频率是0.1
D．调查对象的年龄的中位数为35岁
解析：选ABD.根据题意，知年龄在[25，30)内调查对象的频率为0.03×5＝0.15，所以N＝＝40，故A正确．年龄在[30，35)内的频率是1－(0.01×2＋0.02＋0.03×2＋0.04)×5＝0.3，所以年龄在[30，35)内调查对象的人数是40×0.3＝12，所以B正确．由频率分布直方图可知，调查对象的年龄大于35岁的频率为(0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.5，故C错误，D正确．
4．(多选)如图是高一三班甲、乙两位同学六次数学测试成绩(满分100分)的折线图，则下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两同学的测试成绩与次数均成正相关
B．从前三次测试看，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩
C．从后三次测试看，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩
D．甲同学六次测试的平均成绩高于乙同学六次测试的平均成绩
解析：选AC.甲同学的测试成绩与次数明显为正相关，虽然乙同学的成绩具有一定的波动，但总体也为正相关，选项A正确；从前三次测试看，甲同学的平均成绩低于乙同学的平均成绩，选项B不正确；从后三次测试看，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，选项C正确；甲同学只有两次测试成绩高于乙同学，且高的幅度并不大，故甲同学六次测试的平均成绩低于乙同学六次测试的平均成绩，选项D不正确．
5．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
解析：设应从一年级本科生中抽取n名学生，则＝，得n＝60.
答案：60
6．(2020·西安五校联考)已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，方差是4，则xy＝________．
解析：由平均数是8可得x＋y＝16，①，由方差是4得[1＋0＋1＋(x－8)2＋(y－8)2]＝4，②， 联立①②解得或所以xy＝55.
答案：55
7．(2020·高考全国卷Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
解：(1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 －5 －75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 －70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务．
8．(2020·武汉市学习质量检测)一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的实际质量，称出各袋白糖的实际质量(单位：g)如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510.
(1)求这10袋白糖的平均质量和标准差s；
(2)从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的质量不在(－s，＋s)内的概率是多少？
附：≈5.08，≈16.06，≈5.09，≈16.09.
解：(1) ＝
＝501，
s＝
＝≈5.08.
(2)( －s，＋s)＝(495.92，506.08)，设从这10袋中任取2袋白糖，其中恰有一袋的质量不在(－s，＋s)内为事件A，列举可得从这10袋中任取2袋白糖，总的结果有45种，恰有一袋的质量在区间(495.92，506.08)内的结果有16种，由古典概型的概率计算公式得P(A)＝＝.
[B级　综合练]
9．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图：
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
解：(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
甲＝＝13；
乙＝＝13，
s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4；
s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s>s，可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
10．炎炎夏季，水蜜桃成为备受大家喜爱的一种水果，某果园的水蜜桃质量分布如图所示．
(1)求m的值；
(2)经市场调查，该种水蜜桃在过去50天的销售量(单位：kg)和价格(单位：元/kg)均为销售时间t(单位：天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－3t＋300(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋20(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝30(31≤t≤50，t∈N)，求日销售额S的最大值．
解：(1)由频率分布直方图知，
(0.002＋0.002＋0.003＋0.008＋m＋0.001)×50＝1，
解得m＝0.004.
(2)由题意知
S＝
当1≤t≤30，t∈N时，
S＝(－3t＋300)＝－t2＋40t＋6 000，
所以当t＝20时，S取得最大值6 400；
当31≤t≤50，t∈N时，S＝30(－3t＋300)＝－90t＋9 000，因为其为减函数，
所以当t＝31时，S取得最大值6 210.
因为6 400>6 210，
所以当t＝20时，日销售额S取得最大值6 400.
[C级　创新练]
11．(多选)5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济价值．如图所示的统计图是某单位结合近几年的数据，对今后几年的5G直接经济产出做出的预测．
由上图提供的信息可知(　　)
A．运营商的5G直接经济产出逐年增加
B．设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快，后期放缓
C．设备制造商在各年的5G直接经济产出中一直处于邻先地位
D．信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势
解析：选ABD.由白色矩形可得运营商的5G直接经济产出逐年增加，观察黑色矩形和灰色矩形，可得设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快，后期放缓，到2029年被信息服务商超过，B正确，C错误．观察灰色矩形和白色矩形，可得信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势，D正确．故选ABD.
12．经调查，在某市举办的马拉松比赛中，参加赛跑的青年人、中年人、老年人人数刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列，现从中抽取了一个容量为140的样本进行调查，其中老年人人数为20，求抽取的青年人的人数．
解：由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年人、中年人、老年人的人数构成等比数列，不妨设人数分别是a1，a1q，a1q2，其中a1>0，q>0且q≠1，根据已知有＝＝，
解得q＝，所以样本中青年人有140×＝80人．

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