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第1讲　数列的概念及简单表示法
最新考纲 考向预测
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式). 命题趋势 以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.
2.了解数列是一种特殊函数. 核心素养 数学抽象、逻辑推理
1．数列的有关概念
(1)数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使an＋k＝an
(3)数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2．数列的通项公式
(1)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝
3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
常用结论
1．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．
2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
常见误区
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
3．由Sn求an时，利用an＝求出an后，要注意验证a1是否适合求出的an的关系式．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)
(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．(　　)
(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．(　　)
(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　)
(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．(　　)
(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对 n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
3．数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：选A.数列为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为an＝.
4．在数列－1，0，，，…，中，0.08是它的第________项．
解析：依题意得＝(n∈N*)，解得n＝10或n＝(舍去)．
答案：10
5．(易错题)已知Sn＝2n＋3，则an＝________．
解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝
答案：
由an与Sn的关系求an
(1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝(　　)
A．27　　　　　　　　　　　 B．81
C．93 D．243
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．
【解析】　(1)根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，
两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，
当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以a4＝a1q3＝34＝81.
故选B.
(2)当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，
因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
所以an＝(n≥2)．
显然当n＝1时不满足上式，
所以an＝
【答案】　(1)B　(2)
eq \a\vs4\al()
(1)已知Sn求an的三个步骤
①先利用a1＝S1求出a1；
②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.所以an＝
答案：
由递推关系求通项公式
分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
【解】　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，
所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.
(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，
将这n－1个等式叠乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2，
所以数列的通项公式为an＝2.
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.
eq \a\vs4\al()
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
　
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，则an＝__________．
解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
答案：2n－1
2．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________．
解析：因为an＋1＝an，a1＝2，所以an≠0，
所以＝，
所以当n≥2时，an＝···…···a1
＝···…··2＝.a1＝2也符合上式，则an＝.
答案：
数列的函数特征
角度一　数列的单调性
已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】　因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D.
【答案】　D
eq \a\vs4\al()
(1)解决数列单调性问题的三种方法
①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；
②用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断；
③结合相应函数的图象直观判断．
(2)求数列最大项或最小项的方法
①可以利用不等式组(n ≥2)找到数列的最大项；
②利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．　
角度二　数列的周期性
若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 022的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．－3
C．－ D.
【解析】　因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝＝－3，同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，a6＝－3，a7＝－，a8＝，…，可得an＋4＝an，则a2 022＝a505×4＋2＝a2＝－3.
【答案】　B
eq \a\vs4\al()
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．　
1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，则a2 020的值为(　　)
A．2 B．1
C. D.
解析：选B.因为an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝，
由a4＝1，a5＝，得a6＝，
由a5＝，a6＝，得a7＝1，
由a6＝，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得数列{an}是周期为6的数列，
所以a2 020＝a4＝1，故选B.
2．数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是________．
解析：当n≤4时，an＝2n－1单调递增，因此n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15.
当n≥5时，an＝－n2＋(a－1)n
＝－＋.
因为a5是{an}中的最大值，
所以
解得9≤a≤12，所以a的取值范围是[9，12]．
答案：[9，12]
核心素养系列5　逻辑推理——推断数列的通项公式
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an＝(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】　因为Sn＝n2an，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，
故an＋1＝an，
当n＝2时，a1＋a2＝4a2，a1＝1，
所以a2＝，
所以a1＝1＝，
a2＝＝，
a3＝a2＝×＝＝，
a4＝a3＝×＝＝，
a5＝a4＝×＝＝，
…
由此可猜想an＝.
【答案】　B
eq \a\vs4\al()
本题是从特殊到一般的归纳，是不完全归纳，解答此类问题的具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．　
1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2－(n－1)　　　　　 B．an＝n2－1
C．an＝ D．an＝
解析：选C.观察数列1，3，6，10，…可以发现
第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
所以an＝.
2．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．
解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为an＝(－1)n·.
答案：an＝(－1)n·
[A级　基础练]
1．(2020·陕西榆林二中期中)数列3，6，12，21，x，48，…中的x＝(　　)
A．29　　　　　　　　　　　 B．33
C．34 D．28
解析：选B.因为6－3＝3＝1×3，12－6＝6＝2×3，21－12＝9＝3×3，所以根据规律可得x－21＝4×3，所以x＝21＋12＝33.同时也满足48－33＝15＝5×3.故选B.
2．已知数列{an}满足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：选A.因为数列{an}满足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.故选A.
3．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.“|an＋1|>an” an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列 |an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.
4．已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0.对于任意的正整数n，不等式t2－a－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：选C.因为数列{an}是递增数列，又t2－a－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an＞0，所以t≤an＋3恒成立，t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，所以tmax＝3.
5．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　)
A．a3＝－1 B．a2 022＝
C．S3＝ D．S2 022＝1 011
解析：选ACD.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…，所以an＋3＝an，数列的周期为3.a2 022＝a673×3＋3＝a3＝－1.S3＝，S2 022＝1 011.
6．已知数列，，，，，…，根据前3项给出的规律，实数对(m，n)为________．
解析：由数列的前3项的规律可知解得故实数对(m，n)为.
答案：
7．已知数列{an}的第一项a1＝1，且an＋1＝(n＝1，2，…)，则这个数列的通项公式an＝________．
解析：两边取倒数得＝＋1，故是以1为首项，公差为1的等差数列，故＝n，an＝.
答案：
8．已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第__________项．
解析：因为an＝，所以数列{an}的最小项必为an＜0，即＜0，3n－16＜0，从而n＜.又n∈N*，所以当n＝5时，an的值最小．
答案：5
9．已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
解：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2.
当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝
(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，
又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，
由于a1不适合此式，所以an＝
10．(2020·衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；
(2)证明：＝4.
解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.
(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.
[B级　综合练]
11．(多选)(2020·山东“百师联盟”)对于数列{an}，令bn＝an－，则下列说法正确的是(　　)
A．若数列{an}是单调递增数列，则数列{bn}也是单调递增数列
B．若数列{an}是单调递减数列，则数列{bn}也是单调递减数列
C．若an＝3n－1，则数列{bn}有最小值
D．若an＝1－，则数列{bn}有最大值
解析：选CD.若a1＝－1，a2＝1，则b1＝a1－＝－1＋1＝0，b2＝a2－＝1－1＝0，所以b1＝b2，所以A不正确．若a1＝1，a2＝－1，则b1＝a1－＝1－1＝0，b2＝a2－＝－1＋1＝0，所以b1＝b2，所以B不正确．若an＝3n－1，则数列{an}为单调递增数列，所以当n＝1时，an取最小值a1＝2＞0.又函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以当n＝1时，数列{bn}取得最小值，所以C正确．若an＝1－，则bn＝1－－，由于函数y＝x－在(0，＋∞)上是增函数．当n为偶数时，an＝1－∈(0，1)，所以bn＝an－＜0，当n为奇数时，an＝1＋＞1，显然an是单调递减的，因此bn＝an－也是单调递减的，即b1＞b3＞b5＞…，所以{bn}的奇数项中有最大值为b1＝－＝＞0，所以b1＝是数列{bn}(n∈N*)中的最大值，D正确．
12．(2020·昆明模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图所示．
他们研究过图中的1，5，12，22，…，由于这些数能够表示成五角形，将其称为五角形数，若按此规律继续下去，第n个五角形数an＝__________．
解析：观察题图，发现a1＝1，a2＝a1＋4，a3＝a2＋7，a4＝a3＋10，猜测当n≥2时，an＝an－1＋3n－2，所以an－an－1＝3n－2，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－2)＋[3(n－1)－2]＋…＋(3×2－2)＋1＝n2－n.
答案：n2－n
13．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理得a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝a＋an，①
当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
14．(2020·石家庄模拟)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
解：(1)因为2Sn＝(n＋1)an，
所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，
所以＝，
所以＝＝…＝＝1，
所以an＝n(n∈N＋)．
(2)由(1)得，bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1)．
因为数列{bn}为递增数列，
所以2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜.
令cn＝，
则＝·＝＞1.
所以{cn}为递增数列，所以λ＜c1＝2，
即λ的取值范围为(－∞，2)．
[C级　创新练]
15．(多选)若数列{an}满足：对于任意正整数n，{an＋1－an}为单调递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　)
A．an＝3n　　　　　　　　 B．an＝n2＋1
C．an＝ D．an＝ln
解析：选CD.对于A，苦an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不是单调递减数列，故A错误；对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2＋1－n2－1＝2n＋1，所以{an＋1－an}是单调递增数列，不是单调递减数列，故B错误；对于C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}为单调递减数列，故C正确；对于D，若an＝ln，则an＋1－an＝ln－ln＝ln＝ln，由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，可知数列{an＋1－an}为单调递减数列，故D正确．故选CD.
16．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 020项的和为(　　)
A．672 B．673
C．1 347 D．2 020
解析：选C.由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，
所以{an}是周期为3的周期数列，
一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2，
因为2 020＝673×3＋1，
所以数列{an}的前2 020项的和为673×2＋1＝1 347，
故选C.

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