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第1讲　平面向量的概念及线性运算
最新考纲 考向预测
1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 命题趋势 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目.
核心素养 数学抽象、数学运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意]　(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λ a与 a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
常用结论
1．三点共线的等价转化
A，P，B三点共线 ＝λ(λ≠0) ＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R) ＝x＋y.(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．
常见误区
1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．
2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
解析：选AB.C错误，例如m＝0；D错误，例如a＝0；A，B是数乘运算的分配律，正确．故答案为AB.
3．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)
A.a＋b　　　　　　　 B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
解析：选D.＝＝(－)＝(b－a)＝－a＋b.
4．化简：
(1)(＋)＋＋＝________．
(2)＋＋－＝________．
解析：(1)原式＝＋＋＋＝.
(2)原式＝＋＝0.
答案：(1)　(2)0
5．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．
解析：如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
　　　　　　平面向量的有关概念
[题组练透]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　)
A．a与－λa的方向相反　 　 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.
2．(多选)下列命题中不正确的是(　　)
A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线
C．若非零向量a与b共线，则a＝b
D．四边形ABCD是平行四边形，则必有||＝||
解析：选ABC.对于A，相等向量的始点相同，则终点也一定相同，所以A不正确；对于B，向量与共线，只能说明，所在直线平行或在同一条直线上，所以B不正确；对于C，非零向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反，但a与b不一定相等，所以C不正确；对于D，因为四边形ABCD是平行四边形，所以||＝||，所以D正确．故选ABC.
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C.因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.
当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．　
　　　　　　平面向量的线性运算
(1)(2020·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝(　　)
A.－ B．2－2
C.－ D．2－2
(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________．
【解析】　(1)连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD.所以＝2＝2(－)＝2－2，故选D.
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝.
【答案】　(1)D　(2)　
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．　
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(2020·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B．
C．－ D．－
解析：选A.由题意，知＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝，故选A.
　　　　　　平面向量共线定理的应用
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解】　(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
所以，共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
所以k＝±1.
【引申探究】
1．(变条件)若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，若A，B，D三点共线，则m＝________．
解析：＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即＝4a＋(m－3)b.
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
所以解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
答案：7
2．(变结论)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k＝________．
解析：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
所以所以k＝±1.
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时两向量反向共线．
答案：－1
[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．　
1．已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是(　　)
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
解析：选D.由＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即所以mn－1＝0.
2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
解析：选B.由＝λ＋得－＝λ，＝λ.则，为共线向量，又，有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．
[A级　基础练]
1．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.
若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，
故前者是后者的充分不必要条件．
2．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是(　　)
A.＝ B．＝
C．BP＝－ D．＝
解析：选ABC.由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．
3．(2020·长沙市统一模拟考试)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足＝2，那么＝(　　)
A.－ B．＋
C.－ D．＋
解析：选C.因为E为DC的中点，所以＝.因为＝2，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－，故选C.
4．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选CD.因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，因为a，b是不共线的两个平面向量，所以解得sin α＝－.又α∈(0，2π)，故α可为或.
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
解析：选AB.对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量， 故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，AB＝a，CD＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．故选AB.
6．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
解析：因为||＝||＝|－|＝||＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，
所以|＋|＝2.
答案：2
7．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2，＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________．
解析：因为M，N，P三点共线，
所以存在实数k使得＝k，
所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，
又e1，e2为平面内两个不共线的向量，
可得解得λ＝－4.
答案：－4
8．已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案：b－a　－a－b
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
解：＝(＋)＝a＋b；
＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.
10．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)
＝＋m(－)，
所以－＝m(－)，
即＝m，所以与共线．
又因为与有公共点B，
所以A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使＝λ，所以－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
因为O，A，B三点不共线，所以，不共线，
所以所以m＋n＝1.
[B级　综合练]
11．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
解析：选ACD.若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；
若＝2－，即有－＝－，即＝，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若＝－－，
即＋＋＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，＝x＋y，且x＋y＝，
可得2＝2x＋2y，
设＝2，
则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
故选ACD.
12．(2020·唐山模拟)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
解析：由已知AD＝1，CD＝，所以＝2.
因为点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．
因为＝＋，
又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
所以＝1，即μ＝.
因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.
答案：
13．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.
(1)用a，b表示；
(2)证明：A，M，C三点共线．
解：(1)＝＋＋
＝a＋b＋＝a＋b，
又E为AD的中点，
所以＝＝a＋b，
因为EF是梯形ABCD的中位线，且＝2，
所以＝(＋)＝＝a，
又M，N是EF的三等分点，
所以＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＋a
＝a＋b.
(2)证明：由(1)知＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＝，
又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．
14．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若＝λ，△ABC与△APQ的面积之比为，求实数λ的值．
解：
设＝x，
因为P，G，Q三点共线，
所以可设＝μ＋(1－μ)，
所以＝λμ＋(1－μ)x，
因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)，
所以＋＝λμ＋(1－μ)x，
所以两式相乘得＝λxμ(1－μ)，①
因为＝，
所以λx＝，②
②代入①即＝μ(1－μ)，
解得μ＝或，即λ＝或.
[C级　创新练]
15．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以P，Q，R，S，T为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是(　　)
A.－＝ B．＋＝
C.－＝ D．＋＝
解析：选A.由已知，－＝－＝＝＝，所以A正确；
＋＝＋＝＝，所以B错误；
－＝－＝＝，所以C错误；
＋＝＋，＝＝－，若＋＝，则＝0，不合题意，所以D错误．
16.
(2020·上海进才中学月考)如图，O为直线A0A2 021外一点．若A0，A1，A2，A3，…，A2 021中任意相邻两点的距离相等，设＝a，OA2 021＝b，用a，b表示＋＋＋…＋＝________．
解析：设A为线段A0A2 021的中点，则A也为线段A1A2 020，A2A2 019，…，A1 010A1 011的中点．由平行四边形法则，知＋＝2＝a＋b，＋＝2＝a＋b，…，＋＝2＝a＋b，所以＋＋＋…＋＝1 011(a＋b)．　
答案：1 011(a＋b)

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