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2023年高考数学一轮过关训练：正态分布
一、单选题
1．某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】由,根据对称性得出，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解．
【详解】因为数学成绩，
所以由可得：，
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为：，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：（人）
故答案为：9.
【点拨】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩的概率分布关于对称，利用对称写出要用的一段分数的概率，题目得解．
2．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
【答案】C
【分析】根据正态分布密度曲线的性质判断即可．
【详解】由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误；又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误；对任意正数，，，C正确，D错误
故选：C
3．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
【答案】A
【分析】由正态分布的对称性可知，再由对立事件的概率计算方式求得答案.
【详解】由正态分布的对称性可知，
故
故选：A
【点拨】本题考查利用正态分布的对称性求概率，属于基础题.
4．已知随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，则P(﹣2＜Z＜2)＝（ ）
A．2a B．2a﹣1 C．1﹣2a D．2(1﹣a)
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】∵随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，∴P(Z≥2或Z≤﹣2)＝2﹣2a，
∴P(﹣2＜Z＜2)＝1﹣(2﹣2a)＝2a﹣1，
故选：B.
【点拨】本题考查正态分布的计算，属基础题.
5．已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，可知，进而可得出，利用正态密度曲线的对称性可求得结果.
【详解】设，，则，
.
故选：B.
【点拨】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，考查正态密度曲线对称性的应用，属于基础题.
6．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（ ）
A．0.9 B．0.1 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【分析】根据服从正态分布，得到曲线的对称轴是直线，根据所给的在内取值的概率为，根据正态曲线的对称性，即可求出在内取值的概率．
【详解】因为服从正态分布，
所以曲线的对称轴是直线，
又在内取值的概率为，
根据正态曲线的性质，则在内取值的概率为．
故选：A．
【点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性；一般地，是服从正态分布，正态分布一般记为，为正态分布的均值（均值就是对称轴），是正态分布是标准差；本题属于基础题．
7．已知随机变量服从正态分布，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.
【详解】，所以，.
故选：B.
【点拨】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.
8．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【答案】B
【分析】根据正态密度曲线的对称轴得出，然后利用正态密度曲线的对称性得出可得出答案．
【详解】随机变量服从正态分布，所以，，
，
，故选B．
【点拨】本题考查正态分布的应用，意在考查正态密度曲线的对称性，属于基础题．
9．已知随机变量服从正态分布，且， ，若，则等于(　　)
A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718
【答案】B
【解析】【分析】因为随机变量服从正态分布，且，根据原则，得出,,两式相减，由对称性得出答案．
【详解】因为随机变量服从正态分布，且， ，
所以，，
所以
所以
故选B.
【点拨】本题考查正态分布，其中利用正态分布的对称性是解题的关键，属于一般题．
10．在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且.若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取
A．20份 B．15份 C．10份 D．5份
【答案】C
【分析】结合正态分布曲线的对称性，求得120分以上的概率，进而可求解120分以上的抽取的份数，得到答案．
【详解】由题意，数学成绩服从正态分布，且，
根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以，
所以按成绩分层抽样抽取100份试卷时，应从120分以上的试卷中抽取份，
故选C．
【点拨】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的性质，合理应用正态分布曲线的对称性求得相应的概率是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算与求解能力，属于基础题．
二、多选题
11．若随机变量，，其中，下列等式成立有
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，，由此可解决问题．
【详解】
随机变量服从标准正态分布，
正态曲线关于对称，
，，根据曲线的对称性可得：
A.，所以该命题正确；
B.，所以错误；
C.，所以该命题正确；
D.或，所以该命题错误．
故选：．
【点拨】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．下列说法其中正确的说法是（ ）
本题可参考独立性检验临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．在线性回归模型中，越接近于1，表示回归效果越好
B．在回归直线方程中，当解释变量每增一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位
C．在一个列联表中，由计算得，则认为这两个变量间有关系犯错误的概率不超过0.01
D．已知随机变量服从正态分布，且，则
【答案】ABC
【分析】根据相关指数、回归直线方程、独立性检验、正态分布等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，在线性回归模型中，越接近于1，表示回归效果越好，正确.
B选项，在回归直线方程中，当解释变量每增一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，正确.
C选项，在一个列联表中，由计算得，则认为这两个变量间有关系犯错误的概率不超过0.01，正确.
D选项，，错误.
故选：ABC
13．下列命题中正确的有（ ）
A．设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加3个单位
B．命题，的否定，
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．在一个列联表中，由计算得，则有99%的把握确认这两个变量间有关系
【答案】BCD
【分析】由线性回归方程的特征可判断A；由特称命题的否定可判断B；由正态分布的对称性可判断C；由独立性检验可判断D
【详解】对于A：因为，的系数为，所以变量增加一个单位时，平均减少3个单位，故A错误；
对于B：命题，，则的否定，，故B正确；
对于C：由正态分布的对称性可知，，
所以，故C正确；
对于D：，所以由表可得有99%的把握确认这两个变量间有关系，故D正确；
故选：BCD
14．为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，.
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到
D．该校学生体育成绩的优秀率超过
【答案】BC
【分析】由正态分布的期望、方差判断A、B正误，利用正态分布的对称性，结合特殊区间概率的求法求、即可判断C、D的正误.
【详解】A：由题设知，所以该校学生体育成绩的方差，错误；
B：由题设知，即该校学生体育成绩的期望为70，正确；
C：，所以该校学生体育成绩的及格率不到85%，正确；
D：，故该校学生体育成绩的优秀率为2.28%，故错误；
故选：BC.
15．近年来，中国进入一个鲜花消费的增长期．某农户利用精准扶贫政策，货款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，则下列正确的是（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则
A．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则红玫瑰的日销售量的平均数约为
B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售更集中
C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中
D．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为
【答案】ACD
【分析】利用正态分布的性质，由概率可判断A，D，由标准差大小可判断B，C而作答.
【详解】因红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则，即，A正确；
因，即红玫瑰的日销售量的标准差小于白玫瑰的日销售量的标准差，则红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中，B不正确，C正确；
因，则，即白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为，D正确.
故选：ACD
三、填空题
16．某高中有1000名高三学生，学生们的数学成绩X服从正态分布，那么数学成绩满足的学生人数大约有______________（保留整数）．
参考数据：，
【答案】136
【分析】由题意及相关数据，分析得到为，结合参考数据及正态分布的对称性即得解
【详解】由题意，
且，
故答案为：136
【点拨】本题考查的是正态分布的实际应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于基础题
17．设随机变量，若，则____________.
【答案】
【分析】，代入计算即可.
【详解】由正态分布的性质可知，
所以.
故答案为：
【点拨】本题考查正态分布的性质，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
18．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.
【答案】
【分析】由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率，乘以可得.
【详解】解：，
所以应从分以上的试卷中抽取份.
故答案为：.
【点拨】本题考查正态分布曲线，属于基础题.
19．研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数服从正态分布,且,从中随机抽取株，果实个数在的株数记作随机变量,假设服从二项分布，则的方差为__________．
【答案】.
【分析】先求出，再根据公式求出.
【详解】因为，所以，
而.
所以，
而，所以.
【点拨】本题考查正态分布的概率计算和二项分布的方差的计算，此类问题为基础题.
20．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）
附参考数据：；；．
【答案】
【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.
【详解】由题意可知，，事件为，，，
所以，，
，
由条件概率公式得，故答案为.
【点拨】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.
四、解答题
21．某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l，单位:cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于 85 cm和155 cm之间，得到如下频数分布表：
分组
频数 2 9 22 33 24 8 2
已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
（1）求；
（2）公司规定:当时，产品为正品:当时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元;若是次品，则亏损30元.记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：，若，则，，
【答案】（1）0.1359；（2）分布列见解析，50.4.
【分析】（1）先算出抽取产品质量指标值的样本平均数、方差，即可求出答案.
（2）随机变量的取值为90，-30，分别求出相应的概率，即可求出的分布列和．
【详解】抽取产品质量指标值的样本平均数
抽取产品质盈指标值的方差
所以，又
所以
所以
（2）由频数分布表得，
随机变量的取值为90，-30且
则随机变量的分布列为:
90 -30
P 0.67 0.33
所以.
【点拨】本题考查了正态分布，离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．
22．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
【答案】（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.
（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；
（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差，即为的估计值.
【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，
故.
因此.
的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，
得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，
因此的估计值为.
，
剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
【点拨】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的原则，审清题意，细心计算，属中档题.
23．某公司为了了解一种新产品的销售情况，对该产品100天的销售数量做调查，统计数据如下图所示：
销售数量（件） 48 49 52 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73
天数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1
经计算，上述样本的平均值，标准差.
（Ⅰ）求表格中字母的值；
（Ⅱ）为评判该公司的销售水平，用频率近似估计概率，从上述100天的销售业绩中随机抽取1天，记当天的销售数量为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；③.
评判规则是：若同时满足上述三个不等式，则销售水平为优秀；仅满足其中两个，则等级为良好；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格.试判断该公司的销售水平；
（Ⅲ）从上述100天的样本中随机抽取2个，记样本数据落在内的数量为，求的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）该公司的销售水平为合格.（Ⅲ）见解析，
【分析】（Ⅰ）根据表中数据以及平均数的公式即可求解.
（Ⅱ）由平均值，标准差，结合表中数据求出，以及，从而可得结论.
（Ⅲ）根据题意，的可能取值为0，1，2，在之间的有天，利用组合可得，，，列出分布列，进而求出期望.
【详解】（Ⅰ）依题意，
，
解得.
（Ⅱ）由题意得，，，，，.
于是由表格得到，，
，
.故该公司的销售水平为合格.
（Ⅲ）根据题意，的可能取值为0，1，2，
所以，，
.
因此分布列是
0 1 2
故.
【点拨】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、平均数以及正态分布中的原则，考查了考生的数据处理能力，属于中档题.
24．跨年迎新联欢晚会简称跨年晚会，是指每年阳历年末12月31日晚上各电视台和政府为喜迎新而精心策划的演唱会活动，跨年晚会首次出现在港台地区，跨年晚会因形式和举办地不同因而名称也不同，如央视启航2020跨年盛典，湖南卫视跨年演唱会，东方卫视迎新晚会等.某电视台为了了解2020年举办的跨年迎新晚会观众的满意度，现分别随机选出名观众对迎新晚会的质量评估评分，最高分为分，综合得分情况如下表所示：
综合得分
观众人数 5 10 25 30 15 10 5
根据表中的数据，回答下列问题：
（1）根据表中的数据，绘制这位观众打分的频率分布直方图；
（2）已知观众的评分近似服从，其中是反应随机变量取值的平均水平的特征数，工作人员在分析数据时发现，可用位观众评分的平均数估计，但由于评分观众人数较少，误差较大，所以不能直接用位观众评分的标准差的值估计，而在这位观众打分的频率分布直方图的基础上依据来估计更科学合理，试求和的估计值（的结果精确到小数点后两位）.
【答案】（1）见解析（2），.
【分析】（1）分别计算每组的频率/组距即可；
（2）由题意及已知可得，注意到中间三组的概率和为0.7，所以，或，，分别讨论计算即可得到答案.
【详解】（1）根据以上数据，求出各段的频率，绘制出频率分布直方图如下
（2）∴
因为第3，4，5组的概率和为，
所以要使，
则，或，，
若，，
即
整理得：
即：，所以
不满足，舍去；
若，，
则有
整理得：，满足条件
故.
【点拨】本题考查频率分布直方图及其应用，涉及到正态分布的概念，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
25．2020年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情.某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.
（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
（2）若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(i)若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数)；
(ii)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）（2）(i)(ii)详见解析
【分析】（1）由样本频率分布直方图得，有30人获奖，70人没有获奖，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，利用组合数公式求出总的基本事件数和事件包含的基本事件数，代入古典概型概率计算公式即可求解；
（2）利用频率分布直方图中的数据，代入平均数公式求出平均数的估计值，利用正态分布曲线的对称性求出的概率，即可估计参赛学生中成绩超过79分的学生数；利用正态分布的性质和二项分布的概率和期望公式求出随机变量的分布列和均值即可.
【详解】（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，
获三等奖的16人，所以有30人获奖，70人没有获奖，
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，
则事件包含的基本事件的个数为，
由古典概型概率计算公式可得，，
所以抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率.
（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，所有参赛学生的成绩近似服从正态分布.
（i）因为，所以，
参赛学生中成绩超过79分的学生数约为.
（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，竞赛成绩在64分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布.
随机变量的所有可能取得的值为0，1，2，3.
，
，
，
，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以.
【点拨】本题考查利用正态分布曲线的对称性求概率、二项分布的分布列和期望公式、利用组合数公式求古典概型概率和利用频率分布直方图估计平均数；考查数据分析能力和运算求解能力；熟练掌握正态分布曲线的对称性的应用和二项分布的分布列和期望公式是求解本题的关键；属于综合型试题、中档题.2023年高考数学一轮过关训练：正态分布
一、单选题
1．某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
3．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
4．已知随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，则P(﹣2＜Z＜2)＝（ ）
A．2a B．2a﹣1 C．1﹣2a D．2(1﹣a)
5．已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（ ）
A．0.9 B．0.1 C．0.5 D．0.4
7．已知随机变量服从正态分布，，（ ）
A． B． C． D．
8．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
9．已知随机变量服从正态分布，且， ，若，则等于(　　)
A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718
10．在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且.若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取
A．20份 B．15份 C．10份 D．5份
二、多选题
11．若随机变量，，其中，下列等式成立有
A． B．
C． D．
12．下列说法其中正确的说法是（ ）
本题可参考独立性检验临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．在线性回归模型中，越接近于1，表示回归效果越好
B．在回归直线方程中，当解释变量每增一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位
C．在一个列联表中，由计算得，则认为这两个变量间有关系犯错误的概率不超过0.01
D．已知随机变量服从正态分布，且，则
13．下列命题中正确的有（ ）
A．设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加3个单位
B．命题，的否定，
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．在一个列联表中，由计算得，则有99%的把握确认这两个变量间有关系
14．为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若，则，.
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到
D．该校学生体育成绩的优秀率超过
15．近年来，中国进入一个鲜花消费的增长期．某农户利用精准扶贫政策，货款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，则下列正确的是（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则
A．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则红玫瑰的日销售量的平均数约为
B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售更集中
C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中
D．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为
三、填空题
16．某高中有1000名高三学生，学生们的数学成绩X服从正态分布，那么数学成绩满足的学生人数大约有______________（保留整数）．
参考数据：，
17．设随机变量，若，则____________.
18．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.
19．研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数服从正态分布,且,从中随机抽取株，果实个数在的株数记作随机变量,假设服从二项分布，则的方差为__________．
20．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）
附参考数据：；；．
四、解答题
21．某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l，单位:cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于 85 cm和155 cm之间，得到如下频数分布表：
分组
频数 2 9 22 33 24 8 2
已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
（1）求；
（2）公司规定:当时，产品为正品:当时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元;若是次品，则亏损30元.记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：，若，则，，
22．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
23．某公司为了了解一种新产品的销售情况，对该产品100天的销售数量做调查，统计数据如下图所示：
销售数量（件） 48 49 52 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73
天数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1
经计算，上述样本的平均值，标准差.
（Ⅰ）求表格中字母的值；
（Ⅱ）为评判该公司的销售水平，用频率近似估计概率，从上述100天的销售业绩中随机抽取1天，记当天的销售数量为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；③.
评判规则是：若同时满足上述三个不等式，则销售水平为优秀；仅满足其中两个，则等级为良好；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格.试判断该公司的销售水平；
（Ⅲ）从上述100天的样本中随机抽取2个，记样本数据落在内的数量为，求的分布列和数学期望.
24．跨年迎新联欢晚会简称跨年晚会，是指每年阳历年末12月31日晚上各电视台和政府为喜迎新而精心策划的演唱会活动，跨年晚会首次出现在港台地区，跨年晚会因形式和举办地不同因而名称也不同，如央视启航2020跨年盛典，湖南卫视跨年演唱会，东方卫视迎新晚会等.某电视台为了了解2020年举办的跨年迎新晚会观众的满意度，现分别随机选出名观众对迎新晚会的质量评估评分，最高分为分，综合得分情况如下表所示：
综合得分
观众人数 5 10 25 30 15 10 5
根据表中的数据，回答下列问题：
（1）根据表中的数据，绘制这位观众打分的频率分布直方图；
（2）已知观众的评分近似服从，其中是反应随机变量取值的平均水平的特征数，工作人员在分析数据时发现，可用位观众评分的平均数估计，但由于评分观众人数较少，误差较大，所以不能直接用位观众评分的标准差的值估计，而在这位观众打分的频率分布直方图的基础上依据来估计更科学合理，试求和的估计值（的结果精确到小数点后两位）.
25．2020年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情.某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.
（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
（2）若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(i)若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数)；
(ii)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.

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