资源简介

专题：不等式
知识点：不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
【基础例题】
4、已知，，求的范围.
【详解】解：，，又，.
5、已知，，则的取值范围是________
【详解】因为，，所以，
所以故答案为：
6、若，则的取值范围是_________.
【详解】因为，故，且，所以，
故.故答案为：.
7、若角满足，则的取值范围是_________，的取值范围是__________．
【详解】
由，则，，且，
所以，，
所以的取值范围是，的取值范围是.
8、已知，,则的范围___________的范围___________.
【详解】
由，可得，又由，所以，即，所以的范围；
由，可得，所以，又由，所以，即，所以的范围.
9、已知实数，满足，，则的最大值是________.
【详解】
解：令，解得：，，
又，，，
即的最大值是.故答案为：.
10、已知，则的取值范围是_________，的取值范围是________．
，即，，，
又，，；
又，，又，.
【自我巩固】
1、对于任意实数，有下列结论：
①若，，则；②若，则；
③若，则；④若，则
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【详解】
对于①：若，，则；故①错误；
对于②：若，则；故②错误；
对于③：若，则 ，所以，把乘以，得：.
故③正确；
对于④：若，取a=1，b=-1，此时；故④错误.故选：C
2、角满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
因为，则，
所以，即，
又，所以.故选：A.
3、设，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
∵，满足，∴，，
∴，∴，
∴，∵，∴，∴，故选：A
4、已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
因为，可得，
所以，即；故选：A.
5、已知实数满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.
6、已知，，则下列正确的是（ ）
A． B． D．
【答案】AB因为，，
所以，，则，，，
即，，，则；故选：AB.
7、已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
因为，所以，A正确；
因为，所以，解得，B错误；
因为，，所以，C正确；
，，所以， D错误.故选：AC.
8、已知，则的取值范围是________________.
【详解】
解：，因为，
所以，所以，故答案为:
9、已知，则的取值范围是____________.
【详解】
解：令，
则，解得，
所以，因为，所以，
因为，所以，
所以，所以的取值范围为，故答案为：
10、已知，则的取值范围是_____．
【详解】
设，因此得：，，
，
因为，所以，因此，
所以.
故答案为：
基本不等式（四个平均数）
1、四个平均数不等式关系：
对，都有，其中为调和平均数，为几何平均数，为算术平均数，为平方平均数.
基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
【基础例题】
1、若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，
所以，当且仅当时等号成立，由，所以，故选：B
2、若，且，则（ ）
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
【详解】
∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选：B
3、下列各式：①，②，③，④.其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【详解】由可得，故①错误
，当且仅当，即时等号成立，故②正确
当时，，当且仅当时等号成立，故③错误
，当且仅当，即时等号成立，故④正确。故选：C
4、下列选项中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．，则
D．且
【详解】
A：当时，显然，所以本选项不符合题意；
B：，所以本选项不符合题意；
C：由基本不等式可知：当，时，恒成立；
当，时，
，所以本选项不符合题意；
D：，因为且，
所以，因此，所以本选项符合题意，故选：D
5、下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．若，，则
【详解】对于A中，当时，，所以A不正确；
对于B中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，即，所以B正确；
对于C中，由，
可得，所以C不正确；
对于D中，，，可得，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，即，所以D不正确.
【自我巩固】
1、已知，，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．1 C．2 D．1
【详解】
当时，，所以AB选项错误，
同时，所以D选项错误.
对于C选项，由基本不等式得，
当且仅当时等号成立.所以C选项正确.故选：C
2、若，则下列不正确的是（ ）
A． B．
C. D．
【详解】对于A，因为，所以，
，故A正确；对于B，由均值不等式可知B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，取，而，D不正确.故选：D.
3、下列结论表述正确的是（ ）
A．若，则恒成立
B．若，则恒成立
C．若，，则成立
D．函数的最小值为
【详解】对于A，若，则恒成立，错；
对于B，若，则恒成立，若，则，错；
对于D，函数，，
令，则且，
因为在上为增函数，故，
对于C，因为，
而，，故成立.故选：C．
4、若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【详解】因为，所以.
因此，且，且②、③不正确.
所以，所以①正确，
由得 均为正数，所以，（由条件，所以等号不成立），所以④正确.故选：C.
5、（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【详解】
解:选项A.，，等号成立的条件是，故A正确；
选项B.当时，，，所以时，的最小值是2，等号成立的条件是，没有最大值,故B不正确；
选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，根据“或”命题的性质可知C正确；
选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，即最小值不存在，故D不正确.故选：AC.
6、若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】，C正确；
时，，A错；
时，，B错；
，D错．故选：C.
7、若为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【详解】解：对于①，由重要不等式可知①正确；
对于②， ，故②正确；
对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确；
对于④，令可知④不正确．
故恒成立的个数为个.故选：C.
8、（多选）已知，则下列式子一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A：因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B：，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，，
所以，故B错误；
对于C：，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，故C错误；
对于D：，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以，故D正确，故选：AD
9、（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】
因为，所以，所以，故A不成立
，当且仅当，即时等号成立，故B成立
，，即，
当且仅当时等号成立，故选项C成立；
，当且仅当时等号成立，故等号取不到，
，故选项D成立.
故选：BCD
10、（多选）下列结论不正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是
D．设，，且，则的最小值是
【详解】
A. 当时，，当且仅当，即时等号成立，A正确；
B. 当时，，当且仅当时等号成立，但无实解，故最小值2取不到，B错；
C. 当时，，最小值显然不是正值，C错；
D. 设，，且，则，当且仅当，即时等号成立，D正确． 故选：BC
11、（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最小值是2
C．的最大值是
D．最小值是5
【详解】
对于A，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故A正确；
对于B，，因为，即无解，即等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；
对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故C正确；
对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值是5，故D正确； 故选：ACD.
六、二次函数与一元二次方程
一、二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1【基础例题】
考点一：求二次函数解析式（一）
1、如果为二次函数,，并且的两根为和1，则________．
【详解】设，因为，所以，解得，
所以.
2、已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
设二次函数的解析式为，将代入上式，得，
所以.故选：C
【自主探究】
1、已知二次函数的图象经过三点，，那么这个二次函数的解析式为______．
【详解】
设，则，解得，∴.
2、二次函数的最大值是，则_______.
【详解】
根据题意，二次函数的最大值是，则，解得.
故答案为：.
一元二次不等式及其应用
一、一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1三、一元二次不等式恒成立问题
1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立
2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
【基础例题】
考点一：解一元二次不等式
1、求下列不等式的解集：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【详解】
（1）原不等式等价于，即，所以原不等式的解集是；
（2）原不等式的解集是；
（3）原不等式等价于，所以原不等式的解集是或；
（4）原不等式等价于，，则原不等式的解集是.
2、一元二次不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【详解】
求解，可得，所以.
故选：B.
3、一元二次不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
【详解】
由题意，或，
所以不等式的解集是或.
故选：D.
考点二：一元二次不等式求解逆用
4、设一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由一元二次不等式的解集为，可知方程的两根为，则，解得，故．故选B．
5、设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可知方程的根为，
由韦达定理得：，，解得，所以.故选：B.
【自主探究】
1、一元二次不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【详解】
二次方程根是和1，故一元二次不等式的解集是.故选：C.
2、关于的一元二次不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【详解】由得，解得或.
即原不等式的解集为或.故选：A.
3、一元二次不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
根据条件知：方程又两个根是；由二次方程根与系数的关系得：．解得．关系D
4、若一元二次不等式的解集为｛或｝，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
依题意由，
知不等式的解集为或，
由此得方程的两个根分别为和，
由韦达定理得，解得故选:.
5、设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
【详解】
由题意可知方程的根为，
所以有，，解得，所以.故选：B.
6、已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
【详解】
由题知是关于x的一元二次方程的两个不同的实数根，
则有，，，所以，且是两个不同的正数，
则有
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是.故选：C
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．3
【详解】
因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以a，b是方程的两根，
所以，所以，
所以，当且仅当时，取等号，故选：C
分式不等式
分式不等式的解法
【基础例题】
1、若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：，
，
又，
，故选：B.
2、不等式的解集是（ ）
A． B．C． D．
【详解】
不等式，等价于，所以.故选：C
3、不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【详解】原不等式可化为，解得．故选：D．
4、已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
，，
因此，.故选：A.
考点二：分式不等式（二）
5、不等式的解集（ ）
A． B．
C．或 D．或
【详解】
不等式可化为，
即，解得： 或，故不等式的解集为：或.
故选：D
6、不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
不等式的解集为，故选：D.
7、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
,或，
所以.故选：D.
8、设，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【详解】
由可得，
由可得解得或，
据此可知“”是“”的充分不必要条件．故选：A.
【自主探究】
1、设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】，，所以，
故选：D.
2、已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
，，因此，.故选：A.
3、设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】=(3,+∞),∴,
，解得或,
∴,∴,故选：A.
4、已知集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题意，集合，
又因为集合，所以.故选：C.
5、已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】，
∵， ∴.故选：B
11、关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【详解】将不等式化为，解得或，故不等式的解集为或.故选：C.
绝对值不等式
一、单绝对值不等式
1、
2、
【基础例题】
例1．求下列绝对值不等式的解集：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
（2）由原不等式可得，即，解得，
【自主探究】
1、求下列绝对值不等式的解集：
（1）；（2）.
解：（1）原不等式等价于，即或，解得或，所以不等式的解集为.
（2）原不等式等价于，即或，解得或.
综上，所求不等式的解集为.
3、若不等式的解是，求的值.
【详解】因为不等式的解是，所以必有.
，即.
分两种情况进行讨论：
①当时，，，解得.不符合题意，故舍去.
②当时，，.解.综上，，.
4、解不等式：.
【详解】解：将原不等式两边平方，得
，解不等式，得.专题：不等式
知识点：不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
【基础例题】
4、已知，，求的范围.
【详解】解：，，又，.
5、已知，，则的取值范围是________
【详解】因为，，所以，
所以故答案为：
6、若，则的取值范围是_________.
【详解】因为，故，且，所以，
故.故答案为：.
7、若角满足，则的取值范围是_________，的取值范围是__________．
【详解】
由，则，，且，
所以，，
所以的取值范围是，的取值范围是.
8、已知，,则的范围___________的范围___________.
【详解】
由，可得，又由，所以，即，所以的范围；
由，可得，所以，又由，所以，即，所以的范围.
9、已知实数，满足，，则的最大值是________.
【详解】
解：令，解得：，，
又，，，
即的最大值是.故答案为：.
10、已知，则的取值范围是_________，的取值范围是________．
，即，，，
又，，；
又，，又，.
【自我巩固】
1、对于任意实数，有下列结论：
①若，，则；②若，则；
③若，则；④若，则
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2、角满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、设，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4、已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5、已知实数满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
6、已知，，则下列正确的是（ ）
A． B． D．
7、已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8、已知，则的取值范围是________________.
9、已知，则的取值范围是____________.
基本不等式（四个平均数）
1、四个平均数不等式关系：
对，都有，其中为调和平均数，为几何平均数，为算术平均数，为平方平均数.
基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
【基础例题】
1、若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，
所以，当且仅当时等号成立，由，所以，故选：B
2、若，且，则（ ）
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
【详解】
∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选：B
3、下列各式：①，②，③，④.其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【详解】由可得，故①错误
，当且仅当，即时等号成立，故②正确
当时，，当且仅当时等号成立，故③错误
，当且仅当，即时等号成立，故④正确。故选：C
4、下列选项中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．，则
D．且
【详解】
A：当时，显然，所以本选项不符合题意；
B：，所以本选项不符合题意；
C：由基本不等式可知：当，时，恒成立；
当，时，
，所以本选项不符合题意；
D：，因为且，
所以，因此，所以本选项符合题意，故选：D
5、下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．若，，则
【详解】对于A中，当时，，所以A不正确；
对于B中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，即，所以B正确；
对于C中，由，
可得，所以C不正确；
对于D中，，，可得，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，即，所以D不正确.
【自我巩固】
1、已知，，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．1 C．2 D．1
2、若，则下列不正确的是（ ）
A． B．
C. D．
3、下列结论表述正确的是（ ）
A．若，则恒成立
B．若，则恒成立
C．若，，则成立
D．函数的最小值为
4、若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5、（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6、若正实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
7、若为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8、（多选）已知，则下列式子一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
9、（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）
A． B．
C． D．
10、（多选）下列结论不正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是
D．设，，且，则的最小值是
11、（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最小值是2
C．的最大值是
D．最小值是5
二次函数与一元二次方程
一、二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1【基础例题】
考点一：求二次函数解析式（一）
1、如果为二次函数,，并且的两根为和1，则________．
【详解】设，因为，所以，解得，
所以.
2、已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
设二次函数的解析式为，将代入上式，得，
所以.故选：C
【自主探究】
1、已知二次函数的图象经过三点，，那么这个二次函数的解析式为______．
2、二次函数的最大值是，则_______.
一元二次不等式及其应用
一、一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1三、一元二次不等式恒成立问题
1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立
2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
【基础例题】
考点一：解一元二次不等式
1、求下列不等式的解集：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【详解】
（1）原不等式等价于，即，所以原不等式的解集是；
（2）原不等式的解集是；
（3）原不等式等价于，所以原不等式的解集是或；
（4）原不等式等价于，，则原不等式的解集是.
2、一元二次不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【详解】
求解，可得，所以.
故选：B.
3、一元二次不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
【详解】
由题意，或，
所以不等式的解集是或.
故选：D.
考点二：一元二次不等式求解逆用
4、设一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由一元二次不等式的解集为，可知方程的两根为，则，解得，故．故选B．
5、设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可知方程的根为，
由韦达定理得：，，解得，所以.故选：B.
【自主探究】
1、一元二次不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
2、关于的一元二次不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
3、一元二次不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4、若一元二次不等式的解集为｛或｝，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
5、设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
6、已知区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．3
分式不等式
分式不等式的解法
【基础例题】
1、若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：，
，
又，，故选：B.
2、不等式的解集是（ ）
A． B．C． D．
【详解】
不等式，等价于，所以.故选：C
3、不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【详解】原不等式可化为，解得．故选：D．
4、已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
，，
因此，.故选：A.
考点二：分式不等式（二）
5、不等式的解集（ ）
A． B．
C．或 D．或
【详解】
不等式可化为，
即，解得： 或，故不等式的解集为：或.
6、不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
不等式的解集为，故选：D.
7、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
,或，
所以.故选：D.
8、设，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【详解】
由可得，
由可得解得或，
据此可知“”是“”的充分不必要条件．故选：A.
【自主探究】
1、设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2、已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3、设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4、已知集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5、已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
11、关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
绝对值不等式
一、单绝对值不等式
1、
2、
【基础例题】
例1．求下列绝对值不等式的解集：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
（2）由原不等式可得，即，解得，
【自主探究】
1、求下列绝对值不等式的解集：
（1）；（2）.
3、若不等式的解是，求的值.
4、解不等式：.

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