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三角函数
1、任意角和弧度制
A．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
B．角的表示
(1)始边：射线的起始位置OA，
(2)终边：射线的终止位置OB，
(3)顶点：射线的端点O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
C．任意角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角的终边位置分
①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
②分类：
E．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
F．度量角的两种单位制
(1)角度制：
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的.
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制。
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
G．弧度数的计算
思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
H．角度制与弧度制的换算
I．一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
J.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
2、三角函数的概念
A．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
B．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．
(3)总结
＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
C．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
D.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
E．公式一
3、诱导公式
A．公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，
cos(π＋α)＝－cos_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
B．公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，
cos(－α)＝cos_α，
tan(－α)＝－tan_α.
C．公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，
cos(π－α)＝－cos_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
D．公式五
(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sin＝cosα，
cos＝sinα.
E．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.
(2)公式：sin＝cosα，
cos＝－sinα.
口诀：奇变偶不变，符号看象限：
对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，
①当k是偶数时，函数名不改变；
②当k是奇数时，函数名改变。α看成锐角时，取原函数值的象限符号。
4、三角函数的图象与性质
A．正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
B．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
C．余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
D．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？
提示：因为cos x＝sin，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cos x(x∈R)的图象．
E．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
F．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 [－1,1] [－1,1]
单调性 在＋2kπ]，k∈Z上单调递增， 在＋2kπ]，k∈Z上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.
G、正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
对称中心 ，k∈Z
单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数
5、三角恒等变换
A．两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β α，β∈R
B.两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R
C.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
D.两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
E．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 公式
S2α sin 2α＝2sin_αcos_α
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α
T2α tan 2α＝
F.余弦的二倍角公式的变形
G．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.
(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos_α)2.
H、半角公式
(1)sin＝± ，
(2)cos＝± ，
(3)tan＝± ，
(4)tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
I．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
J．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
K．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
L．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
常用的万能公式
章末综合测评《20题》
一、选择题
1．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则(　　)
A．M＝N　　　　　 B．MN
C．MN D．M∩N＝
[M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈＋1)·45°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈＋2)·45°，k∈Z}．因为k∈Z，所以k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，所以MN，故选C.]
2．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)
A. B.
C. D．1＋
[∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°
＝1＋sin 30°＝1＋×＝.]
3．化简cos2－sin2得(　　)
A．sin 2α B．－sin 2α
C．cos 2α D．－cos 2α
[原式＝cos 2＝cos＝sin 2α.]
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
[tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－.]
5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β在第三象限，则cos的值等于(　　)
A．± B．±
C．－ D．－
[由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，得sin β＝－.
∵β在第三象限，∴cos β＝－，∴cos＝±＝±＝±.]
6．函数y＝2sin的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x＝对称
[因为当x＝0时，y＝2sin＝，当x＝时，y＝2sin＝，
当x＝－时，y＝2sin 0＝0. 所以A、C、D错误，B正确．]
7．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是(　　)
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
[由图象知，T＝4＝4π＝，∴ω＝.
又当x＝时，y＝1，∴sin＝1，
＋φ＝2kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.]
8．已知cos＝，－＜α＜0，则sin＋sin α等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
[sin＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝sin＝－cos＝－×＝－.]
9．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则sin的值为(　　)
A. B.
C. D.
[∵sin α＋cos α＝sin＝，
∴sin＝，∵α∈(0，π)，∴α＋∈，又∵sin＝，
∴α＋∈，∴cos＝－＝－.
sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.]
10．已知tan α和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是(　　)
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝a＋b D．c＝ab
[由根与系数的关系得：tan α＋tan＝－，tan αtan＝，
tan＝＝＝1，得c＝a＋b.]
11．函数f(x)＝Asin ωx(ω＞0)，对任意x有f＝f，且f＝－a，那么f等于(　　)
A．a　　　　B．2a C．3a　　　　D．4a
[由f＝f，得f(x＋1)＝f＝f＝f(x)，
即1是f(x)的周期．而f(x)为奇函数，则f＝f＝－f＝a.]
12．甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l表示甲、乙两人的直线距离，则l＝f(θ)的大致图象是(　　)
[由题意知θ＝π时，两人相遇排除A，C，两人的直线距离大于等于零，排除D，故选B.]
二、填空题
13．已知tan α＝－，＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________．
[因为tan α＝－，＜α＜π，所以α＝，所以cos α＝－，sin α＝，
cos α－sin α＝－.]
14．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上一点，且cos α＝，则tan 2α＝________.
[因为α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，所以x＜0，
因为cos α＝＝，所以x＝－3，所以tan α＝＝－，
所以tan 2α＝＝.]
15．已知α满足sin α＝，那么coscos的值为________．
[∵cos＝cos＝sin，
∴coscos＝sincos＝sin＝cos 2α
＝(1－2sin2α)＝＝.]
16．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间上单调递减；
④将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上)
[∵f(x)＝cos＋cos＝cos－sin＝cos，
∴f(x)max＝，即①正确．T＝＝＝π，即②正确．
f(x)的递减区间为2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，k＝0时，≤x≤，即③正确．
将函数y＝cos 2x向左平移个单位得y＝cos≠f(x)，
所以④不正确．]
三、解答题
17．已知cos(π＋α)＝－，且角α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
因为cos(π＋α)＝－，所以－cos α＝－，cos α＝.又角α在第四象限，
所以sin α＝－＝－.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝.
(2)＝＝
＝＝＝－4.
18．已知α，β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos β的值．
(1)∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝＝，
∴sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.
(2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，
由cos(α＋β)＝得，sin(α＋β)＝＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
19．已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
(1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)变换情况如下：
y＝sin 2xy＝sin
y＝sin＋.
20．已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
(1)因为f(x)＝cos，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝.
21．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且满足sin2(A＋C)＝sin Bcos B，cos(C－A)＝－2cos 2A.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)已知函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)，求f(A＋45°)的值．
(1)∵sin2(A＋C)＝sin Bcos B，∴sin2B＝sin Bcos B，
∵sin B≠0，∴sin B＝cos B，∴tan B＝，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°，
又cos(C－A)＝－2cos 2A，得cos(120°－2A)＝－2cos 2A，
化简得sin 2A＝－cos 2A，解得tan 2A＝－，又0°＜A＜120°，∴0°＜2A＜240°，∴2A＝120°，∴A＝60°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形．
(2)∵f(x)＝sin x－cos x＝2＝2(sin xcos 60°－cos xsin 60°)
＝2sin(x－60°)，∴f(A＋45°)＝2sin 45°＝.
22．如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
过点B作BH⊥OA，垂足为H.
设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，
OA＝2cos θ，BH＝sin＝cos θ，
AH＝cos＝sin θ，∴B(2cos θ＋sin θ，cos θ)，
OB2＝(2cos θ＋sin θ)2＋cos2θ＝7＋6cos 2θ＋2sin 2θ＝7＋4sin.由0＜θ＜，知＜2θ＋＜，所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.
【巩固拔高】
5.1 任意角和弧度制
1、下列说法正确的个数是（ ）
①小于的角是锐角；②钝角一定大于第一象限角；
③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始边与终边重合的角为.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】对①，小于的角不是锐角，如不是锐角，故①错；
对②，角是第一象限的角，大于任何钝角，故②错；
对③，第二象限角中的角小于第一象限角中的角，故③错；
对④，始边与终边重合的角的度数是，故④错．故选：A．
2、把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.
（1）； （2） ； （3）1125° ；（4）-225°.
【解析】根据弧度制与角度制的互化公式，，可得：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3、已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
，，，
.
（2）设扇形弧长为l，则，即，
∴扇形面积，
∴当时，S有最大值，此时，.
因此当时，这个扇形面积最大.
4、《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设半径为,圆心到弦的距离为,则,
所以弦长为,
弧田面积为.故选:D.
5、一个半径是的扇形，其周长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【解析】设扇形的弧长为，则，得，则扇形圆心角的弧度数为.故选：A.
6、在扇形中，半径等于r.
（1）若弦的长等于半径，求扇形的弧长l；
（2）若弦的长等于半径的倍，求扇形的面积S
【答案】（1）； （2）
【解析】（1）如图所示：设，
若弦的长等于半径，则所以扇形的弧长
（2）如图所示：
若弦的长等于半径的倍，则，
因为，所以，所以，
所以扇形的面积为.
5.2 三角函数的概念
1、（1）（2020·全国高一课时练习）已知角的终边经过点，则=（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）若角600°的终边上有一点（-4，a），则a的值是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角α的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】（1）∵已知角的终边经过点,∴．∴.故选：D．
（2）∵角的终边上有一点，根据三角函数的定义可得，即，故选C.
（3）由题意，又，点在第三象限，即是第三象限角，
∴，最小正值为．故选：A．
2．（2020·永州市第四中学高一月考）若一个角的终边上有一点且，则的值为( )
A． B． C．－4或 D．
【解析】由已知，得，解得或，故选C．
3．（2020·河南高一期末）已知点在角的终边上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，即点，
由三角函数的定义可得，解得.故选：A.
4、（2020·辽宁高一期末）若，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】，，又，则.
因此，角为第三象限角.故选：C.
5、（1）（2020·镇原中学高一期末）若，，则 。
（2）（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）已知，，那么的值是 。
【解析】（1）因为，，所以.故选：.
（2）由题知：，解得或.
因为，所以.所以.故选：B
6、已知，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
【解析】（1）．
（2）
7、（2020·阜新市第二高级中学高一期末）已知，则的值为
A． B． C． D．
【解析】．
8、已知，则的值是（ ）．
A． B． C． D．3
【解析】因为，所以，即，解得：，
所以.故选：A.
9、（2020·山西应县一中高一期中（理））已知，求下列各式的值.
（1）；（2）.
【解析】由，解得．
（1）；
（2）
．
10、（1）（2020·湖南衡阳·高一月考）若，且，则的值是
A． B． C． D．
（2）（2020·山东滨州·高二期末）已知，，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．或
【解析】（1）由，则，则.故本题答案应选A.
（2）
或
当时，
当时，故选：D
11、（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）如果，且，那么的值是 (　　)
A． B．或
C． D．或
【解析】将所给等式两边平方，得，
∵，s，
，，
∴.故选A.
12．（2019·伊美区第二中学高一月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，故可得，解得.
结合，故可得，
故此时，，则，
且.故选：.
5.3 诱导公式
1、化简：.
.
2．（2020·浙江衢州·高一期末）化简：= 。
【答案】
【解析】，
3．（2020·河南平顶山·高一期末）已知，则 。
【解析】
，
所以.
4．（2020·全国高一课时练习）化简下列各式：
（1）；
（2）.
【解析】（1）原式＝
（2）原式＝＝＝
＝＝－1.
5．（2020·全国高一课时练习）化简.
（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）；
（2）
；
（3）.
6、已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，且所以，
所以，所以，故选：D
7、已知是第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，由诱导公式可得，，
因为，是第二象限角，
所以.故选：A
8、已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】点是角终边上一点，，
，，
.故选：C
9、已知角α终边上一点P(－4，3)，求的值 .
【解析】因为P(－4，3)是角α终边上一点，所以tan α＝－，
原式＝＝tan α＝－.故答案为：.
10、设，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【解析】由诱导公式，可得
.故选：B.
11、（2020·小店·山西大附中高一月考）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】,所以，
，故选A.
12、已知1，则的值是（　 　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【解析】，
．
故选：A．
13．（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）已知.
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，，求的值.
【解析】（1）由，所以；
（2）；
（3）由得，，
又，所以，所以，
又，所以.
14、已知，则的值等于　　
A． B． C． D．
【解析】因为，所以故选：C
15、（2020·海南临高二中高二期末）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】通过观察题目可得：与两角整体相加得，可由诱导公式的，所以=,选D.
16、已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，
，
∴．故选：D．
17、已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】，
.故选：C.
5.4 三角函数的图象与性质
1、利用正弦曲线，求满足的x的集合．
【解析】正弦函数一个周期内的图象如图，满足，由图可知，
所以满足的x的集合为
2、（1）（2020·福建高二学业考试）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020年广东潮州）下列函数中，不是周期函数的是(　　)
A.y＝|cos x| B．y＝cos|x|C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
【解析】（1）函数的最小正周期为：故选：D
（2）画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数
3．（2019·云南高二期末）函数 的最小正周期为__________．
【答案】
【解析】由题得函数的最小正周期.故答案为：
4、函数的图像的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
【解析】函数令，则，当时，，
故选B.
5、（2020·永昌县第四中学高一期末）函数y＝sin的图象的一条对称轴是（ ）
A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝
【解析】令，则，
当 时， ，所以C成立，经检验，其他选项都不正确.故选：C
6．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（理））下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】先选项C中函数的周期为,故排除C,将,代入A,B,D求得函数值为,而函数在对称轴处取最值.故选:.
7．（2020·河南平顶山·高一期末）如果函数的图象关于直线对称，那么取最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由函数的图象关于直线对称，
可得，，即，，
取最小值时，即或，即.故取最小值时的值为.
故选：D.
8、（1）（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2）（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）已知函数在上单调递减，则实数的一个值是（ ）．
A． B． C． D．
【解析】（1）当，时，函数单调递增，
即当，时，函数单调递增.故选：A
（2）因为，则，
又函数在上单调递减，
所以，，
因此，，解得：，故选：C．
9、（2020·湖南益阳·高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由，，得，，
即函数的单调递增区间为，故选：．
10、已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【解析】由题意，是函数的最大值，，即．
，．
当时，，在上单调递增，不符合题意；
当时，，符合题意.
的最小值为7.故选：D．
11、函数在上为增函数，则的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【解析】对A, ,由余弦函数的性质可知在上为减函数，舍去；
对B，，在上先减后增，舍去
对C,，由余弦函数的性质可知在上为增函数.成立；
对D, ,在上先增后减，舍去故选：C．
12、下列函数中，周期是的偶函数为（ ）.
A． B． C． D．
【解析】A选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，周期为；
B选项，函数的定义域为R，且，所以函数为奇函数，周期为；
C选项，函数的定义与为R，且，所以函数为偶函数，周期为；
D选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，不具有周期性.故选：C
13、下列函数中，周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，，是奇函数，周期T＝，不符合题意；
对于B，y＝sin（2x+3π）＝﹣sin2x，是奇函数，周期T＝，符合题意；
对于C，＝-cos2x，是偶函数，不符合题意；
对于D，|sinx|，是偶函数，不符合题意；故选：B．
14、已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数是偶函数
【解析】对于函数，它的周期等于，故正确．
令，则，则是的对称轴，故正确．
由于，故函数是偶函数，故D正确．
利用排除法可得B错误；故选：B．
15、（1）（2020·宁县第二中学高一期中）函数的定义域是________.
（2）（2020·宁县第二中学高一期中）函数的定义域是__________.
【解析】（1）因为，所以，解得，即函数的定义域为故答案为：
（2）因为所以，解得，解得，所以或，故函数的定义域为
故答案为：
16、（2020·辽宁沈阳·高一期中）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令，则，故选：B.
17、函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由已知可得，由正弦函数的性质知.故选：C.
18、函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由得所以.故选：C.
19、（1）（2019·福建高三学业考试）函数的最小值是 。
（2）（2020·全国高二月考（文））在区间上的最小值为______.
（3）（2020·全国高一课时练习）函数，且的值域是________________．
【解析】（1）当时，函数的最小值是，
（2）因为，所以，
则，，
故在区间的最小值为，故答案为：.
（3）函数在，值域为，在也单调递增，值域为，
综上函数，且的值域是.故答案为：
20、求函数的最值，及取最值时x的集合．
【答案】时，；时，．
【解析】由已知，
∵，
∴当，即时，，
当，即时，．
21、f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.
【解析】函数f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，
∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函数，
∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案为.
22、已知函数在区间上的最小值为，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为，函数在区间上的最小值为，
所以时，，所以，，
时，，所以，，
所以的范围是．故选：D．
23、下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的定义域为
C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增
【解析】，A错；由得，B正确；
时，，函数在此区间上不单调，C错；
或时，函数值不存在，D错．故选：B．
24、关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在区间上单调递增
C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为
【解析】，所以是函数图象的一个对称中心，故选C．
25．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线成轴对称
【解析】函数无单调递增区间和对称轴，A、D错误
其最小正周期是，故B错误
在处无意义，故其图象关于点成中心对称，故C正确故选：C
=5.5 三角恒等变换
1、（1）（2020·湖北茅箭·十堰一中月考）的值为 （ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·海南枫叶国际学校高一期中）coscos=（ ）
A．sin B．cos C． D．
（3）（2020·四川成都·高一期末）求值：（ ）
A． B． C．1 D．
（4）（2020·山西应县一中高一期中（文））的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】（1）根据诱导公式，化简得
所以选C
（2）coscos=.故选：D
（3）．
故选：D．
（4）由题意，得
，故选A.
2．（2020·镇原中学高一期末）求值：
（1）；
（2）.
【解析】（1）
（2）..
3．（2020·湖南娄底·高一期末）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于选项A：，故A不正确；
对于选项B：，故B不正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：；故D不正确；故选：C
4、（1）（2020·商丘市第一高级中学高一期末）已知，，则（ ）
A． B．3 C．13 D．
（2）（2020·湖南娄星·娄底一中高一期末）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·河南林州一中高一月考）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】（1），，，，
.故选：D
（2）∵cos（α）（α为锐角），∴α为锐角，∴sin（α），
∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin
，故选B．
（3），，则，，
，，
因此，.故选：D.
5、角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由角的终边经过点，得，
因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，
所以
，故选：.
6、已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，，
.
故选：B
7、已知，则__________．
【解析】∵，∴,∴．
又，∴．
∴
．答案：
8、已知为锐角，为钝角且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由为锐角且，得，则，
则，又，则，得.故选：A.
9、已知，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】当时，等价于，
所以即，
因为，所以，所以，解得．故选：A．
10、若，，，，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，均为锐角，，
由，，得，，若， 则，
与矛盾，故，则，
又，.故选：B.
11、已知，.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
【解析】（1）因为，，所以.
从而.
（2）因为，，所以
所以.
所以
，∴.
12、（1）（2020·宁夏原州·固原一中高三其他（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·全国专题练习（文））计算：（ ）
A． B．
C． D．
（3）（2020·赤峰二中高三三模（理））已知角α的终边经过点(-4,-3)，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】（1），.故选：.
（2）故选：A.
（3）因为角α的终边经过点(-4,-3)，所以
所以，，故选：A
13、设，则（　　）
A． B． C． D．
【解析】∵ ∴，，
，，故选：D.
14、已知α为锐角，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为α为锐角，所以，所以，
所以.故选：A.
15、（1）（2020·湖北蔡甸·汉阳一中高三其他（理））若，则
A． B． C． D．
（2）（2020·湖南娄底·高一期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
故选
由题得.故选：C．
16、（1）（2020·安徽相山·淮北一中月考（理））（ ）
A．1 B． C． D．
（2）（2020·山西应县一中高一期中（理））的值为（ ）
A．1 B．2 C．1 D．2
【解析】（1）
.
故选：C
（2）．故选D．
16．（2020·海原县第一中学高一期末）计算：的结果是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【解析】∵
4故选A．
17、__________.
【解析】
.
故答案为：.
18、_______.
【解析】原式
.故答案为：.
5.6 函数
1、（2020·韶关市第一中学期末）已知，其部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由图可知，解得；又因为，故可得；
由五点作图法可知，解得，故.故选：D.
2、函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题中图象知，，，所以，所以.
又当时，，所以，所以.
当时，=，所以.故选：D.
3、函数的图象如图所示，则函数y的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 函数的最大值为，最小值为，，
，又 函数的周期，
，得.可得函数的表达式为，
当时，函数有最大值，
，得，
可得，结合，
取得，
函数的表达式是.
故选：.
4、函数的部分图象如图所示，且，，则函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由图知，周期满足，所以，
又，所以，则，
因为，所以，
即，所以，所以.
因为，所以由，得，取得.
故选：D.
5、（1）（2020·阜新市第二高级中学高一期末）为了得到函数的图象，可将的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
（2）（2020·湖南娄星·娄底一中高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】（1）由题意得：
向右平移个单位即可得到的图象故选：A.
（2）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则的解析式为，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，
则的解析式为,
故选：A
5、已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【解析】由题意，平移得函数式为，其为偶函数，∴，由于，∴．
，，．∴是对称中心．故选：A.
6、将函数y＝sin（2x﹣）的图象向右平移单位长度后，得到的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝sin（2x﹣） B．y＝﹣sin（2x﹣）
C．y＝cos2x D．y＝﹣cos2x
【解析】将函数y＝sin（2x﹣）的图象向右平移单位长度后，得到的图象的函数解析式为：.故选：D.
7、将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A． B．最小正周期为
C．的图象关于对称 D．在区间上单调递增
【解析】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，
对A，函数，故A错误；
对B，最小正周期为，故B正确；
对C，当，求得为最小值，故的图象关于直线对称，故C正确；
在区间上，单调递增，故D正确，故选：BCD．
8、已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
【解析】（1）由图可知，，∴，
∴，
∵，∴，∴∴
（2）易知当时，∴，
∴在区间上的值域为．
9、函数的图象如图所示，先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数在区间上是增函数
C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称
【解析】由图得函数的周期，所以.
因为函数的图象过点，所以，所以，
所以.
因为，所以，所以.
先将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到.
对于A选项，因为函数为偶函数，故A错误；
对于B选项，令，则，
而，故B错误；
对于C选项，令，则，所以函数的对称中心为，故C错误；
对于D选项，令，则，所以函数的对称轴为，当时，有，即D正确.
故选：D.
10、已知函数.
(1)求的值及f(x)的对称轴；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.
【解析】（1）由函数，
则，
令，解得，
即函数的对称轴的方程为
（2）由（1）可知函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
可得的图象，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.三角函数
1、任意角和弧度制
A．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
B．角的表示
(1)始边：射线的起始位置OA，
(2)终边：射线的终止位置OB，
(3)顶点：射线的端点O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
C．任意角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角的终边位置分
①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
②分类：
E．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
F．度量角的两种单位制
(1)角度制：
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的.
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制。
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
G．弧度数的计算
思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
H．角度制与弧度制的换算
I．一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
J.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
2、三角函数的概念
A．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
B．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．
(3)总结
＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
C．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
D.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
E．公式一
3、诱导公式
A．公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，
cos(π＋α)＝－cos_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
B．公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，
cos(－α)＝cos_α，
tan(－α)＝－tan_α.
C．公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，
cos(π－α)＝－cos_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
D．公式五
(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sin＝cosα，
cos＝sinα.
E．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.
(2)公式：sin＝cosα，
cos＝－sinα.
口诀：奇变偶不变，符号看象限：
对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，
①当k是偶数时，函数名不改变；
②当k是奇数时，函数名改变。α看成锐角时，取原函数值的象限符号。
4、三角函数的图象与性质
A．正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
B．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
C．余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
D．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？
提示：因为cos x＝sin，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cos x(x∈R)的图象．
E．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
F．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 [－1,1] [－1,1]
单调性 在＋2kπ]，k∈Z上单调递增， 在＋2kπ]，k∈Z上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.
G、正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
对称中心 ，k∈Z
单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数
5、三角恒等变换
A．两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β α，β∈R
B.两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R
C.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
D.两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1
E．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 公式
S2α sin 2α＝2sin_αcos_α
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α
T2α tan 2α＝
F.余弦的二倍角公式的变形
G．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.
(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos_α)2.
H、半角公式
(1)sin＝± ，
(2)cos＝± ，
(3)tan＝± ，
(4)tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
I．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
J．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
K．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
L．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
常用的万能公式
探究例题《20题》
一、选择题
1．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则(　　)
A．M＝N　　　　　 B．MN
C．MN D．M∩N＝
A. B.
C. D．1＋
3．化简cos2－sin2得(　　)
A．sin 2α B．－sin 2α
C．cos 2α D．－cos 2α
[原式＝cos 2＝cos＝sin 2α.]
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β在第三象限，则cos的值等于(　　)
A．± B．±
C．－ D．－
=6．函数y＝2sin的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线x＝对称
7．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是(　　)
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
8．已知cos＝，－＜α＜0，则sin＋sin α等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
9．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则sin的值为(　　)
A. B.
C. D.
10．已知tan α和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是(　　)
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝a＋b D．c＝ab
[由根与系数的关系得：tan α＋tan＝－，tan αtan＝，
tan＝＝＝1，得c＝a＋b.]
11．函数f(x)＝Asin ωx(ω＞0)，对任意x有f＝f，且f＝－a，那么f等于(　　)
A．a　　　　B．2a C．3a　　　　D．4a
12．甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l表示甲、乙两人的直线距离，则l＝f(θ)的大致图象是(　　)
二、填空题
13．已知tan α＝－，＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________．
[因为tan α＝－，＜α＜π，所以α＝，所以cos α＝－，sin α＝，
cos α－sin α＝－.]
14．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上一点，且cos α＝，则tan 2α＝________.
15．已知α满足sin α＝，那么coscos的值为________．
16．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间上单调递减；
④将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上)
三、解答题
17．已知cos(π＋α)＝－，且角α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
18．已知α，β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos β的值．
19．已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
20．已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
21．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且满足sin2(A＋C)＝sin Bcos B，cos(C－A)＝－2cos 2A.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)已知函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)，求f(A＋45°)的值．
22．如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
过点B作BH⊥OA，垂足为H.
设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，
【巩固拔高】
5.1 任意角和弧度制
1、下列说法正确的个数是（ ）
①小于的角是锐角；②钝角一定大于第一象限角；
③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始边与终边重合的角为.
A．0 B．1 C．2 D．3
2、把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.
（1）； （2） ； （3）1125° ；（4）-225°.
3、已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大
4、《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）
A． B． C． D．
5、一个半径是的扇形，其周长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．1 B．3 C． D．
6、在扇形中，半径等于r.
（1）若弦的长等于半径，求扇形的弧长l；
（2）若弦的长等于半径的倍，求扇形的面积S
5.2 三角函数的概念
1、（1）（2020·全国高一课时练习）已知角的终边经过点，则=（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）若角600°的终边上有一点（-4，a），则a的值是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角α的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·永州市第四中学高一月考）若一个角的终边上有一点且，则的值为( )
A． B． C．－4或 D．
3．（2020·河南高一期末）已知点在角的终边上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4、（2020·辽宁高一期末）若，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
5、（1）（2020·镇原中学高一期末）若，，则 。
（2）（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）已知，，那么的值是 。
6、已知，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
7、（2020·阜新市第二高级中学高一期末）已知，则的值为
A． B． C． D．
8、已知，则的值是（ ）．
A． B． C． D．3
9、（2020·山西应县一中高一期中（理））已知，求下列各式的值.
（1）；（2）.
10、（1）（2020·湖南衡阳·高一月考）若，且，则的值是
A． B． C． D．
（2）（2020·山东滨州·高二期末）已知，，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．或
11、（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）如果，且，那么的值是 (　　)
A． B．或
C． D．或
12．（2019·伊美区第二中学高一月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5.3 诱导公式
1、化简：.
2．（2020·浙江衢州·高一期末）化简：= 。
3．（2020·河南平顶山·高一期末）已知，则 。
4．（2020·全国高一课时练习）化简下列各式：
（1）；
（2）.
5．（2020·全国高一课时练习）化简.
（1）；
（2）；
（3）.
6、已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7、已知是第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
8、已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
9、已知角α终边上一点P(－4，3)，求的值 .
10、设，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
11、（2020·小店·山西大附中高一月考）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12、已知1，则的值是（　 　）
A．1 B．2 C．3 D．6
13．（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）已知.
（1）化简，并求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，，求的值.
14、已知，则的值等于　　
A． B． C． D．
15、（2020·海南临高二中高二期末）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
16、已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17、已知，则（ ）
A． B． C． D．
5.4 三角函数的图象与性质
1、利用正弦曲线，求满足的x的集合．
2、（1）（2020·福建高二学业考试）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020年广东潮州）下列函数中，不是周期函数的是(　　)
A.y＝|cos x| B．y＝cos|x|C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
3．（2019·云南高二期末）函数 的最小正周期为__________．
4、函数的图像的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
【解析】函数令，则，当时，，
故选B.
5、（2020·永昌县第四中学高一期末）函数y＝sin的图象的一条对称轴是（ ）
A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝
6．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（理））下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·河南平顶山·高一期末）如果函数的图象关于直线对称，那么取最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．
8、（1）（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2）（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）已知函数在上单调递减，则实数的一个值是（ ）．
A． B． C． D．
9、（2020·湖南益阳·高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
10、已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
11、函数在上为增函数，则的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
12、下列函数中，周期是的偶函数为（ ）.
A． B． C． D．
13、下列函数中，周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
14、已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数是偶函数
15、（1）（2020·宁县第二中学高一期中）函数的定义域是________.
（2）（2020·宁县第二中学高一期中）函数的定义域是__________.
16、（2020·辽宁沈阳·高一期中）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
17、函数的定义域为（ ）
18、函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
19、（1）（2019·福建高三学业考试）函数的最小值是 。
（2）（2020·全国高二月考（文））在区间上的最小值为______.
（3）（2020·全国高一课时练习）函数，且的值域是________________．
20、求函数的最值，及取最值时x的集合．
21、f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.
22、已知函数在区间上的最小值为，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
23、下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的定义域为
C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增
24、关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在区间上单调递增
C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为
25．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线成轴对称
26、设函数.
（1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
（2）作出函数在一个周期内的简图．
5.5 三角恒等变换
1、（1）（2020·湖北茅箭·十堰一中月考）的值为 （ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·海南枫叶国际学校高一期中）coscos=（ ）
A．sin B．cos C． D．
（3）（2020·四川成都·高一期末）求值：（ ）
A． B． C．1 D．
（4）（2020·山西应县一中高一期中（文））的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·镇原中学高一期末）求值：
（1）；
（2）.
3．（2020·湖南娄底·高一期末）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4、（1）（2020·商丘市第一高级中学高一期末）已知，，则（ ）
A． B．3 C．13 D．
（2）（2020·湖南娄星·娄底一中高一期末）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·河南林州一中高一月考）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5、角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（ ）
A． B． C． D．
6、已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7、已知，则__________．
8、已知为锐角，为钝角且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9、已知，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
10、若，，，，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
11、已知，.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
12、（1）（2020·宁夏原州·固原一中高三其他（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·全国专题练习（文））计算：（ ）
A． B．
C． D．
（3）（2020·赤峰二中高三三模（理））已知角α的终边经过点(-4,-3)，则（ ）
A． B． C． D．
13、设，则（　　）
A． B． C． D．
14、已知α为锐角，，则＝（ ）
A． B． C． D．
15、（1）（2020·湖北蔡甸·汉阳一中高三其他（理））若，则
A． B． C． D．
（2）（2020·湖南娄底·高一期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16、（1）（2020·安徽相山·淮北一中月考（理））（ ）
A．1 B． C． D．
（2）（2020·山西应县一中高一期中（理））的值为（ ）
A．1 B．2 C．1 D．2
16．（2020·海原县第一中学高一期末）计算：的结果是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
17、__________.
18、_______.
5.6 函数
1、（2020·韶关市第一中学期末）已知，其部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2、函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
3、函数的图象如图所示，则函数y的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4、函数的部分图象如图所示，且，，则函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5、（1）（2020·阜新市第二高级中学高一期末）为了得到函数的图象，可将的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
（2）（2020·湖南娄星·娄底一中高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5、已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
6、将函数y＝sin（2x﹣）的图象向右平移单位长度后，得到的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝sin（2x﹣） B．y＝﹣sin（2x﹣）
C．y＝cos2x D．y＝﹣cos2x
7、将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A． B．最小正周期为
C．的图象关于对称 D．在区间上单调递增
8、已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
9、函数的图象如图所示，先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数在区间上是增函数
C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称
10、已知函数.
(1)求的值及f(x)的对称轴；
(2)将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.

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