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专题二：指数对数函数
1、指数
A．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
B．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a.
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？
不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.
C．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0
提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．
②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
D．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
E．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
2、指数函数
A．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
B．指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
3、对数
A．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
B．常用对数与自然对数
C．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
D．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
提示：不一定．
E．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
则有logab＝.
F．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
G．对数函数的图象及性质
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度
增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢； ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
4、函数的应用
A、函数的零点与方程的解
函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
思考：函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
思考：该定理具备哪些条件？
提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
B、用二分法求方程的近似解
二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
C、函数模型的应用
常用函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
章末综合测评《20题》
一、选择题
1．若a<，则化简的结果是(　　)
A.　　　　 B．－
C. D．－
[∵a<，∴2a－1<0.于是，原式＝＝.]
2．计算：log225·log52＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[log225·log52＝·＝＝2×＝3.]
3．函数y＝·ln(2－x)的定义域为(　　)
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
[要使解析式有意义，则解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1,2)．]
4．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x
[对A，y＝x的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C中，y＝x－2不过(0,0)点，D中，y＝x是奇函数，B中，y＝x4满足条件．]
5．函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[令f(x)＝0，可得x＝x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝x和指数函数y＝x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f(x)的零点只有一个．
]
6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　)
A．15 B．75
C．45 D．225
[由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]
7．函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
[易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．]
8．若loga(a2＋1)A．(0,1) B.
C. D．(0,1)∪(1，＋∞)
[由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a. 又loga(a2＋1)1，∴a>，综上，a∈.]
9．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
[c＝5，只需比较log23.4，log43.6，log3的大小，又0log33.4>log3>1，所以a>c>b.]
10．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)
A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)
C．f(－4)[因为函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．]
11．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) B.
C．(－∞，2] D.
[由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是，选B.]
12．函数f(x)＝ax5－bx＋1，若f(lg(log510))＝5，则f(lg(lg 5))的值为(　　)
A．－3 B．5
C．－5 D．－9
[lg(log510)＝lg＝－lg(lg 5)，设t＝lg(lg 5)，则f(lg(log510))＝f(－t)＝5.
因为f(x)＝ax5－bx＋1，所以f(－t)＝－at5＋bt＋1＝5，则f(t)＝at5－bt＋1，
两式相加得f(t)＋5＝2，则f(t)＝2－5＝－3，即f(lg(lg 5)的值为－3.]
二、填空题
13．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
[则P点坐标为(1,4)．]
14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．
[设每个涨价x元，则实际销售价为10＋x元，销售的个数为100－10x，
则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．]
15．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．
[所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝.]
16．已知125x＝12.5y＝1 000，则＝________.
[因为125x＝12.5y＝1 000，所以x＝log125 1 000，y＝log12.5 1 000，＝－＝log1 000 125－log1 000 12.5＝log1 000＝log1 000 10＝.]
三、解答题
17．求值：
(1)－(－9.6)0－＋(1.5)－2；
(2)log25·log45－log3－log24＋5log52.
(1). (2).
18．已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
(1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝x.
(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，∴f(2m－1)∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．
19．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
20．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2·log2的最大值与最小值．
∵f(x)＝log2·log2＝(log2x－2)(log2x－1)＝2－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，∴当log2x＝，即x＝2＝2时，f(x)有最小值－.当log2x＝0时，f(x)有最大值2，此时x＝1.
即函数f(x)的最大值是2，最小值是－.
21．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
(1)由题意，得y＝
(2)1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
22．已知函数f(x)＝lg.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求证：f(x)＋f(y)＝f；
(3)若f＝1，f＝2，求f(a)，f(b)的值．
(1)证明：由函数f(x)＝lg，可得>0，即<0，解得－1(2)证明：f(x)＋f(y)＝lg＋lg ＝lg ，
而f＝lg ＝lg＝lg，
(3)若f＝1，f＝2，则由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，
解得f(a)＝，f(b)＝－.
中档提升《50题》
1．比较下列各值的大小：，2，3，.
(1)负数：3；(2)大于1的数：，2；(3)大于0且小于1的数：.
(2)中，<2<2(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝x，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，
故有3<<<2.
2、(1)解不等式3x－1≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．
(1)∵2＝－1，∴原不等式可以转化为3x－1≤－1.
∵y＝x在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－13、计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3).
(1). (2)3. (3).
4、(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．求log915(用a，b表示)
(1)13. (2). ∴log915＝＝＝＝.
5、（1）已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，∴＋＝logc15. 由logc15＝2得c2＝15，即c＝.
（2）把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．
∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.
（3）若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．
∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴3a－5b＝3log3c－5log5c
＝－＝＝<0，∴3a<5b.
6．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
(1)原式＝2. (2)原式＝－.
7、求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
(1)logx＋1>0，即logx>－1，解得0(2)需满足即解得－1(3)由题意得解得.
8．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
(1)需满足解得x>2且x≠3，定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)需满足解得－19、(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　 　B　 　C　 D
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
（3）函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)
．f(x)＝＋2，试作出其图象．
(1)[∵a>1，∴0<<1，y＝logax是增函数，故选C.]
(2)a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
（3）当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，
y＝a－x＝x是增函数，∴C满足条件，故选C.]
（4）
(1)　　　　　(2)　
(3)　　　　　(4)　
10、比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)log2与log2；
(3)log23与log54.
(1)(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5(2)法一(单调性法)：由于log2＝，log2＝，y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且>，所以0>log2>log2，所以<，所以log2法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知：log2(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.
11．比较下列各组值的大小：
(1)log0.5，log0.6；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8.
(1)因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6.
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，log20.8log20.8.
12、已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
[思路点拨]　(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．
(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．
(1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于解得≤x<3.
综上可得，当a＞1时，解集为； 当0＜a＜1时，解集为.
13．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)(1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．②当0所以a的取值范围是.
(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由log0.7(2x)1.
14、(1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1)　　　　 B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
(2)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是________．函数f(x)在[－3,1]上的值域________．
[(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，
∴即∴∴1＜a＜2.
(2)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，
因为(x＋1)2＋2≥2，
所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．]
[解]　∵x∈[－3,1]，∴2≤x2＋2x＋3≤6，∴log6≤log(x2＋2x＋3)≤log2，
即－log26≤f(x)≤－1，∴f(x)的值域为[－log26，－1]．
15．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2　　　　　 B．0
C．1 D．3
[f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]
16、（1）已知0A．1　　　　B．2 C．3　　　　 D．4
[画出函数f(x)＝a|x|(0（2）．已知0由2x|logax|－1＝0得|logax|＝x，作出y＝x及y＝|logax|(0（3）“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．
由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当017、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
40－24＝(88－24)×，即＝，得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×，当T＝32时，代入上式，得
32－24＝(88－24)×，即＝＝＝3，∴t＝30.
18．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
(1)③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．
综上，s＝
它的图象如图(1)所示．
(1)　　　　　　　(2)
19、(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
(1)[定义域为(－1,1)，且f(－x)＝l－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．]
(2)①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝2＋∈，
（3）函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，判断其奇偶性．
∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，f(－x)＝ln(－x＋)，
∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
20．若幂函数y＝x(m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．
①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1.
[由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<1，选③.]
21．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；
④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件f>(x1>x2>0)的函数的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[④函数f(x)＝的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f>；]
22．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)[因为f(x)＝x＝(x≥0)，知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(10－2a)23．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(　　)
A．12 B．15
C．25 D．50
[设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.]
24．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(　　)
A．此人可在7 s内追上汽车
B．此人可在10 s内追上汽车
C．此人追不上汽车，其间距最少为5 m
D．此人追不上汽车，其间距最少为7 m
[设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.]
25．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.
[设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋2≥2，
这两个正三角形面积之和的最小值是2cm2.]
26．已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．±2
[由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b＝0，故选B.]
27．已知a－a＝，则a＋a＝________.
[因为2＝a＋a－1＋2＝2＋4＝5＋4＝9.又因为a＋a>0，所以a＋a＝3.]
28．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________.
[由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.]
29．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围；
(2)若f(x)的图象如图②所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的范围．
(1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1)，
又f(0)＝1＋b<0，所以b的取值范围为(－∞，－1)．
(2)由图②可知，y＝|f(x)|的图象如图所示．
由图象可知使|f(x)|＝m有且仅有一解的m值为m＝0或m≥3.
30．函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为________．
[当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为[0，＋∞)．]
31．求下列函数的单调区间：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.
(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－2＋，∴a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数．
(2)当x∈(1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x－1为增函数；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21－x为减函数．
故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
32．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2]　　　　 B．[2，＋∞)
C. [－2，＋∞) D．(－∞，－2]
[∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝，∴a＝，a＝－(舍去)．
∴f(x)＝|2x－4|. ∴f(x)的单调递减区间为[2，＋∞)．]
33．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝x在R上是减函数，∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，
即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值－1.
因此必有得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
34．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p； (2)求证：－＝.
(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)－＝－＝logk6－logk3＝logk2，又＝logk4＝logk2，
∴－＝.
35．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．
∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝
∴f(x)的大致图象如图所示．
36．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)
A　　　B　 　　　C　 　D
[由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，
又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．]
37．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 019)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．
16　[∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2 019)2
＝2loga(x1x2x3…x2 019)＝2×8＝16.]
38．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm，∴≤m，即≤m.
又0即实数m的取值范围是.
39．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．
[－2，＋∞)　[－x2＋3x＋4＝－2＋≤，
∴有0<－x2＋3x＋4≤，
∴根据对数函数y＝log0.4x的图象(图略)即可得到：
log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，
∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]
40．若loga<1，则a的取值范围是________．
∪(1，＋∞)　[原不等式等价于或
解得01，
故a的取值范围为∪(1，＋∞)．]
41．若y＝loga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
(1,3]　[因为y＝loga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，
所以
解得142．函数f(x)＝lg是(　　)
A．奇函数　　　　 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
[f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.]
43．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A．(，2) B．(1，)
C. D.
[当0＜x≤时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于点时，a＝，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1，故选C.
]
44．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
[f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．设t＝log2x(t∈R)，则原函数可以化为y＝t(t＋1)＝2－(t∈R)，故该函数的最小值为－.故f(x)的最小值为－.]
45．设常数a＞1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，若y的最大值为，则x的值为________．
[实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，
化为logax＋＋＝－3.
令logax＝t，则原式化为logay＝－2＋.
∵a＞1，∴当t＝－时，y取得最大值，
∴loga＝，解得a＝4，∴log4x＝－，
∴x＝4－＝.]
46．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
(1)要使函数有意义，则有解得定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，因为－3因为0即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－＝.
47．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　)
A　 　B　　 　　C　 　D
[分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D，故选A.]
48．若已知16[作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0,4)内，x>log2x；
x＝4或x＝16时，x＝log2x；
在(4,16)内，xlog2x.]
49．函数f(x)＝的零点是________．
[令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.]
50．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
2　[令f(x)＝ln x＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，
∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]
51．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝________.
图(1)　　　　　　　图(2)
[由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10.]
52．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
53．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．
①当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1，符合题意；
②当a>0时，函数f(x)＝ax2－x－1为开口向上的抛物线，且f(0)＝－1<0，对称轴x＝>0，所以f(x)必有一个负实根，符合题意；
③当a<0时，x＝<0，f(0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝－，
此时f(x)＝－x2－x－1＝－2＝0，
所以x＝－2，符合题意．综上所述，a的取值范围是a≥0或a＝－.
54．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和
[∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－，故选B.]
55．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]
56．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
[由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.]
57．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
[画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]专题二：指数对数函数
1、指数
A．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
B．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a.
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？
不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.
C．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0
提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．
②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
D．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
E．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
2、指数函数
A．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
B．指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
3、对数
A．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
B．常用对数与自然对数
C．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
D．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
提示：不一定．
E．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
则有logab＝.
F．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
G．对数函数的图象及性质
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度
增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢； ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
4、函数的应用
A、函数的零点与方程的解
函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
思考：函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
思考：该定理具备哪些条件？
提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
B、用二分法求方程的近似解
二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
C、函数模型的应用
常用函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
章末综合测评《22题》
一、选择题
1．若a<，则化简的结果是(　　)
A.　　　　 B．－
C. D．－
2．计算：log225·log52＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
3．函数y＝·ln(2－x)的定义域为(　　)
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
4．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x
5．函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是(　　)
A．15 B．75
C．45 D．225
7．函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
8．若loga(a2＋1)A．(0,1) B.
C. D．(0,1)∪(1，＋∞)
9．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
10．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)
A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)
C．f(－4)11．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) B.
C．(－∞，2] D.
12．函数f(x)＝ax5－bx＋1，若f(lg(log510))＝5，则f(lg(lg 5))的值为(　　)
A．－3 B．5
C．－5 D．－9
二、填空题
13．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．
15．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．
16．已知125x＝12.5y＝1 000，则＝________.
三、解答题
17．求值：
(1)－(－9.6)0－＋(1.5)－2；
(2)log25·log45－log3－log24＋5log52.
18．已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
19．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
20．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2·log2的最大值与最小值．
21．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
22．已知函数f(x)＝lg.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求证：f(x)＋f(y)＝f；
(3)若f＝1，f＝2，求f(a)，f(b)的值．
中档提升《57题》
1．比较下列各值的大小：，2，3，.
(1)负数：3；(2)大于1的数：，2；(3)大于0且小于1的数：.
(2)中，<2<2(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝x，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，
故有3<<<2.
2、(1)解不等式3x－1≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．
(2)分情况讨论：
①当0②当a>1时，
3、计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3).
4、(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．求log915(用a，b表示)
5、（1）已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
（2）把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．
（3）若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．
6．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
7、求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
8．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
9、(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　 　B　 　C　 D
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
（3）函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)
．f(x)＝＋2，试作出其图象．
10、比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)log2与log2；
(3)log23与log54.
11．比较下列各组值的大小：
(1)log0.5，log0.6；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8.
12、已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
13．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)14、(1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1)　　　　 B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
(2)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是________．函数f(x)在[－3,1]上的值域________．
15．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2　　　　　 B．0
C．1 D．3
16、（1）已知0A．1　　　　B．2 C．3　　　　 D．4
（2）．已知0（3）“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．
17、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
18．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
19、(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
（3）函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，判断其奇偶性．
20．若幂函数y＝x(m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．
①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1.
21．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；
④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件f>(x1>x2>0)的函数的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
22．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)23．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(　　)
A．12 B．15
C．25 D．50
24．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(　　)
A．此人可在7 s内追上汽车
B．此人可在10 s内追上汽车
C．此人追不上汽车，其间距最少为5 m
D．此人追不上汽车，其间距最少为7 m
25．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm2.
26．已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．±2
27．已知a－a＝，则a＋a＝________.
28．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________.
29．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围；
(2)若f(x)的图象如图②所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的范围．
30．函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为________．
31．求下列函数的单调区间：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.
32．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2]　　　　 B．[2，＋∞)
C. [－2，＋∞) D．(－∞，－2]
33．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
34．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p； (2)求证：－＝.
35．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．
36．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)
A　　　B　 　　　C　 　D
37．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 019)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．
38．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
39．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．
40．若loga<1，则a的取值范围是________．
41．若y＝loga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
42．函数f(x)＝lg是(　　)
A．奇函数　　　　 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
43．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A．(，2) B．(1，)
C. D.
]
44．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
45．设常数a＞1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，若y的最大值为，则x的值为________．
46．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
47．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　)
A　 　B　　 　　C　 　D
48．若已知1649．函数f(x)＝的零点是________．
50．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
51．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝________.
52．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
53．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．
①当a＝0时
②当a>0时
③当a<0时
54．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和
55．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
56．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
57．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．

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