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第二十讲 抛物线
课堂讲解
R【类型1】抛物线的标准方程
1、平面上动点M到点F(3，0)的距离等于M到直线的距离，则动点M满足的方程是（ ）
（A）y2=6x （A）y2=12x （A）x2=6y （A）x2=12y
2、如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A(3，y)作准线l的垂线，垂足为B.若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是（ ）
（A） （B） （C） （D）
R【类型2】抛物线的几何性质
3、已知抛物线，那么抛物线C的准线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、抛物线的焦点坐标是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、抛物线的焦点坐标是；准线方程是 ．
6、抛物线的焦点到准线的距离为 ．
7、设抛物线的焦点为，点在抛物线上. 则抛物线的准线方程为 ； ．
R【类型3】抛物线的综合
8、过抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，抛物线的焦点为，直线在轴下方交抛物线与点，则（ ）
（A）1 （B） （C）3 （D）4
9、已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，且.若，，则的值为（ ）
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
10、抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为（ ）
（A）4 （B）2 （C）1 （D）
11、【多选】设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则（ ）
（A）点坐标为 （B）直线的方程为
（C） （D）
12、已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则________．
13、已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则点的横坐标的取值范围是_________．
14、已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和其准线都相切，则点到其顶点的距离为_________．
15、已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标是　　 ，（为坐标原点）的面积为　　 ．
16、已知点在抛物线上，过点且斜率为2的直线与抛物线的另一个交点为.
（1）求的值和抛物线的焦点坐标；
（2）求弦长.
17、已知抛物线经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）过抛物线的焦点的直线交于两点，设为原点.
①当直线的斜率为1时，求的面积；
②当时，求直线的方程.
18、已知抛物线，抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）过的直线交抛物线于不同的两点，交直线于点，直线交直线于点. 是否存在这样的直线，使得 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线的方程.
19、已知抛物线C经过点，且其对称轴为x轴.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知直线与抛物线C交于两点，判断以为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系，并加以证明．
课后练习
一、选择题。
1、焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、抛物线的焦点坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（ ）
（A） （B） （B） （B）
4、已知A为抛物线C：上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则p的值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5、设抛物线的顶点为原点，焦点在轴上．过的直线交抛物线于点，则以为直径的圆（ ）
（A）必过原点 （B）必与轴相切 （C）必与轴相切 （D）必与抛物线的准线相切
6、抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦的长是（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）8
8、抛物线 上的点与其焦点的最短距离为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）4
10、已知为抛物线上一点，到抛物线焦点的距离为，到轴的距离为，则（ ）
（A） （B）1 （C）2 （D）4
11、已知抛物线，为坐标原点，过其焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，则中点到轴的距离为（ ）
（A）2 （B）3 （C）5 （D）6
12、已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
13、若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
14、已知F为抛物线y2＝4x的焦点，是该抛物线上的一点．若|PF| > 2，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
15、过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线交于两个不同的点（点在轴上方），则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
16、已知斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为 ，则斜率k的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
17、抛物线C的焦点F到准线l的距离为2，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，过点A作直线PF的垂线，垂足为H，则|PH| |PF|的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C） （D）
18、设为拋物线上两个不同的点，且直线过抛物线C的焦点F，分别以为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点.则下列结论，其中，正确结论的个数是（ ）
①点一定在拋物线C的准线上；
②；
③的面积有最大值无最小值.
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
二、填空题。
19、已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为__________．
20、抛物线的焦点到准线的距离为__________．
21、若抛物线的准线方程为，则__________．
22、已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；设点在抛物线上，若以线段为直径的圆过点，则________．
22、若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则 __________．
24、已知二次函数的图象是一条抛物线，则其准线方程为__________．
25、如果抛物线上一点A(4，m)到准线的距离是6，那么m =__________．
26、已知点为抛物线C：x2＝4y上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则|x0|＝　 ．
27、已知为抛物线上一动点，当点到直线的距离最短时，点的坐标是______．
28、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴上方），__________．
29、已知抛物线过点，那么抛物线C的准线方程为　 　，设N为平面直角坐标系xOy内一点，若线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F，那么线段FN的长度为　 　．
30、对于抛物线C，给出下列三个条件：
①对称轴为y轴；
②过点（1，1）；
③焦点到准线的距离为2．
写出符合其中两个条件的一个抛物线C的标准方程　 　．
31、若三个点，，中恰有两个点在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的方程为　 　．
三、解答题。
32、已知抛物线经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）经过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.
若， 求直线l的方程.
33、已知直线，抛物线.
（1）与有公共点，求的取值范围；
（2）是坐标原点，过的焦点且与交于两点，求的面积.第二十讲 抛物线
课堂讲解
R【类型1】抛物线的标准方程
1、平面上动点M到点F(3，0)的距离等于M到直线的距离，则动点M满足的方程是（ B ）
（A）y2=6x （A）y2=12x （A）x2=6y （A）x2=12y
2、如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A(3，y)作准线l的垂线，垂足为B.若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
R【类型2】抛物线的几何性质
3、已知抛物线，那么抛物线C的准线方程为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
4、抛物线的焦点坐标是（ B ）
（A） （B） （C） （D）
5、抛物线的焦点坐标是；准线方程是 ．
【答案】：；
6、抛物线的焦点到准线的距离为 ．
【答案】：3
7、设抛物线的焦点为，点在抛物线上. 则抛物线的准线方程为 ； ．
【答案】：
R【类型3】抛物线的综合
8、过抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，抛物线的焦点为，直线在轴下方交抛物线与点，则（ D ）
（A）1 （B） （C）3 （D）4
9、已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，且.若，，则的值为（ B ）
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
10、抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为（ C ）
（A）4 （B）2 （C）1 （D）
11、【多选】设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则（ ABC ）
（A）点坐标为 （B）直线的方程为
（C） （D）
12、已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则________．
【答案】：3
13、已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则点的横坐标的取值范围是_________．
【答案】：
14、已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和其准线都相切，则点到其顶点的距离为_________．
【答案】：
15、已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标是　　 ，（为坐标原点）的面积为　　 ．
【答案】：
16、已知点在抛物线上，过点且斜率为2的直线与抛物线的另一个交点为.
（1）求的值和抛物线的焦点坐标；
（2）求弦长.
【答案】：（1），；（2）
17、已知抛物线经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）过抛物线的焦点的直线交于两点，设为原点.
①当直线的斜率为1时，求的面积；
②当时，求直线的方程.
【答案】：（1），；（2）①；②
18、已知抛物线，抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）过的直线交抛物线于不同的两点，交直线于点，直线交直线于点. 是否存在这样的直线，使得 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线的方程.
【答案】：（1），；（2）存在，直线的方程为或
19、已知抛物线C经过点，且其对称轴为x轴.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知直线与抛物线C交于两点，判断以为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系，并加以证明．
【答案】：（1）；（2）相切
课后练习
一、选择题。
1、焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
2、抛物线的焦点坐标为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
3、抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（ C ）
（A） （B） （B） （B）
4、已知A为抛物线C：上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则p的值为（ D ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5、设抛物线的顶点为原点，焦点在轴上．过的直线交抛物线于点，则以为直径的圆（ C ）
（A）必过原点 （B）必与轴相切 （C）必与轴相切 （D）必与抛物线的准线相切
6、抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则等于（ C ）
（A） （B） （C） （D）
7、直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦的长是（ A ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）8
8、抛物线 上的点与其焦点的最短距离为（ C ）
（A） （B） （C） （D）
9、已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ D ）
（A） （B） （C） （D）4
10、已知为抛物线上一点，到抛物线焦点的距离为，到轴的距离为，则（ C ）
（A） （B）1 （C）2 （D）4
11、已知抛物线，为坐标原点，过其焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，则中点到轴的距离为（ B ）
（A）2 （B）3 （C）5 （D）6
12、已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
13、若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（ C ）
（A） （B） （C） （D）
14、已知F为抛物线y2＝4x的焦点，是该抛物线上的一点．若|PF| > 2，则（ B ）
（A） （B） （C） （D）
15、过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线交于两个不同的点（点在轴上方），则的值为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
16、已知斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为 ，则斜率k的取值范围是（ C ）
（A） （B） （C） （D）
17、抛物线C的焦点F到准线l的距离为2，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，过点A作直线PF的垂线，垂足为H，则|PH| |PF|的最小值为（ B ）
（A） （B）6 （C） （D）
18、设为拋物线上两个不同的点，且直线过抛物线C的焦点F，分别以为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点.则下列结论，其中，正确结论的个数是（ C ）
①点一定在拋物线C的准线上；
②；
③的面积有最大值无最小值.
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
二、填空题。
19、已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为__________．
【答案】：
20、抛物线的焦点到准线的距离为__________．
【答案】：4
21、若抛物线的准线方程为，则__________．
【答案】：2
22、已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；设点在抛物线上，若以线段为直径的圆过点，则________．
【答案】：5
22、若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则 __________．
【答案】：2
24、已知二次函数的图象是一条抛物线，则其准线方程为__________．
【答案】：
25、如果抛物线上一点A(4，m)到准线的距离是6，那么m =__________．
【答案】：
26、已知点为抛物线C：x2＝4y上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则|x0|＝　 ．
【答案】：
27、已知为抛物线上一动点，当点到直线的距离最短时，点的坐标是______．
【答案】：
28、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴上方），__________．
【答案】：3
29、已知抛物线过点，那么抛物线C的准线方程为　 　，设N为平面直角坐标系xOy内一点，若线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F，那么线段FN的长度为　 　．
【答案】：；5
30、对于抛物线C，给出下列三个条件：
①对称轴为y轴；
②过点（1，1）；
③焦点到准线的距离为2．
写出符合其中两个条件的一个抛物线C的标准方程　 　．
【答案】：选①②，
31、若三个点，，中恰有两个点在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的方程为　 　．
【答案】：
三、解答题。
32、已知抛物线经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）经过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.
若， 求直线l的方程.
【答案】：（1），；（2）直线的方程为或
33、已知直线，抛物线.
（1）与有公共点，求的取值范围；
（2）是坐标原点，过的焦点且与交于两点，求的面积.
【答案】：（1）；（2）

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