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苏教版（2019）高中数学一轮复习第16讲《平面向量的应用》（原卷版）
【知识梳理】
平面向量的应用 三点共 线定理 对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝m＋n(x，y∈R)，则P，A，B共线 m＋n＝1
定比分点 坐标公式 设，，是线段的分点, 且,是实数，则 则 。 中点坐标公式
三角形 “四心“ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c： (1)是的重心 (2)为的垂心 (3)为的内心 (4)为的外心
二、【真题再现】
1、（2022北京卷）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
2、（2022北京卷）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
三、【考点精讲】
考点1 平面向量与“四心”
【例1-1】（2021·河南（文））已知的三个内角分别为，，，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【例1-2】（2021·全国（文））在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．是的外心 B．是的内心
C．是的重心. D．是的垂心
【例1-3】（2021·全国高三（理））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC内一点M满足：，则M一定为△ABC的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【例1-4】（2021·全国高三专题练习）在中，设，则动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【变式1-1】
1、（2021·山东莱州一中高三开学考试）是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
2、（2021·营口市第二高级中学高三月考）已知△ABC的重心为O，则向量（ ）
A． B．
C． D．
3、（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）（多选）已知为所在平面内一点，则下列正确的是（ ）
A．若，则点在的中位线上
B．若，则为的重心
C．若，则为锐角三角形
D．若，则与的面积比为
【变式1-2】
1、（2021·重庆市长寿中学校）在中，是三角形的外心，过点作于点，，则=（ ）
A．16 B．8 C．24 D．32
2、（2021·全国高三月考（理））在中，点为的外心，，则______.
【变式1-3】
1、（2021·全国高三专题练习）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
2、（2021·广东深圳市·深圳第三高中）（多选）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
3、（2021·广东高三月考）（多选）对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
考点2 平面向量与三角函数
【例2-1】（2022北京八一学校高三上学期开学考试）设函数，其中向量，．
（1）求函数的最小正周期与单调递减区间；
（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，的面积为，判断的形状，并说明理由．
【例2-2】（2021·全国高三月考）（多选）已知点为平面直角坐标系原点，角的终边分别与以为圆心的单位圆交于两点，若为第四象限角，且，则（ ）
A．
B．当时，
C．最大值为
D．当时，
【例2-3】（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【变式2-1】（2021·河北武强中学高三月考）已知向量，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】
（2021·河南洛阳·（理））在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】
（2022·山东济宁·一模）等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 11
考点3 平面向量与其它知识
【例3-1】（2021·全国高三专题练习）如图，已知点为的边上一点，，为边的一列点，满足，其中实数列中，，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2021·湖南雅礼中学高三）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2022·全国·模拟预测） 已知抛物线，P为直线上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ）
A. B. -1 C. D. -2
【变式3-1】（2021·全国高三专题练习）已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【变式3-2】（2021·全国高三专题练习（理））半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
考点4 最值（取值范围）问题
【例4-1】（2021·北京高三专题练习）若均为单位向量，且，则的值可能为（ ）
A． B．3 C． D．2
【例4-2】（2021·浙江高三开学考试）已知圆的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆上任意两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（2021·全国）已知是边长为2的正三角形，点为所在平面内的一点，且，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））已知单位向量、满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2021·重庆九龙坡·）已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A． B．7 C．5 D．
【变式4-3】（2022·全国·模拟预测）已知向量，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则有最小值
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值为
D. 若，则的值为1苏教版（2019）高中数学一轮复习第16讲《平面向量的应用》（解析版）
【知识梳理】
平面向量的应用 三点共 线定理 对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝m＋n(x，y∈R)，则P，A，B共线 m＋n＝1
定比分点 坐标公式 设，，是线段的分点, 且,是实数，则 则 。 中点坐标公式
三角形 “四心“ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c： (1)是的重心 (2)为的垂心 (3)为的内心 (4)为的外心
二、【真题再现】
1、（2022北京卷）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
2、（2022北京卷）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．
三、【考点精讲】
考点1 平面向量与“四心”
【例1-1】（2021·河南（文））已知的三个内角分别为，，，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】A
【解析】在中，令线段BC的中点为M，由正弦定理得：，
由得：，
即，而，，则，
于是得与同向共线，而它们有公共起点，即动点P的轨迹是射线AM(除A点外)，又重心在线段AM上，
所以动点的轨迹一定经过的重心.故选：A
【例1-2】（2021·全国（文））在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．是的外心 B．是的内心
C．是的重心. D．是的垂心
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴，∴，
同理由，得到，
∴点是的三条高的交点.故选：D
【例1-3】（2021·全国高三（理））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC内一点M满足：，则M一定为△ABC的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】D
【解析】由题意可设，，，
其中，，分别为，，方向上的单位向量，
∵，
∴，
则，
∴=.
∴M在∠BAC的角分线上，同理M在∠ABC与∠ACB的角分线上.
∴M为△ABC的内心.故选：D.
【例1-4】（2021·全国高三专题练习）在中，设，则动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】D
【解析】设的中点是，
，
即，
所以，
所以动点在线段的中垂线上，
所以动点的轨迹必通过的外心，故选：D.
【变式1-1】
1、（2021·山东莱州一中高三开学考试）是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【答案】D
【解析】令为的中点，
则，于是有，
点 共线，即点的轨迹通过三角形的重心，故选：D
2、（2021·营口市第二高级中学高三月考）已知△ABC的重心为O，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设分别是的中点，
由于是三角形的重心，
所以.故选：C
3、（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）（多选）已知为所在平面内一点，则下列正确的是（ ）
A．若，则点在的中位线上
B．若，则为的重心
C．若，则为锐角三角形
D．若，则与的面积比为
【答案】ABD
【解析】对于A，设中点为，中点为，
，，
，即，三点共线，
又为的中位线，点在的中位线上，A正确；
对于B，设中点为，由得：，
又，，在中线上，且，
为的重心，B正确；
对于C，，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误；
对于D，，为线段上靠近的三等分点，即，
，D正确.
故选：ABD.
【变式1-2】
1、（2021·重庆市长寿中学校）在中，是三角形的外心，过点作于点，，则=（ ）
A．16 B．8 C．24 D．32
【答案】D
【解析】如图，
,
因为,
所以，
又因为是三角形的外心，
所以,
所以.
故选：D
2、（2021·全国高三月考（理））在中，点为的外心，，则______.
【答案】18
【解析】因为点为的外心，取点为的中点，则，
所以.故答案为：
【变式1-3】
1、（2021·全国高三专题练习）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【答案】AC
【解析】选项A，平面向量、、满足，
且，
，，
即，
，
，的夹角为，同理、的夹角也为，
是等边三角形，故A正确；
选项B，向量，分别表示在边和上的单位向量，
设为和，则它们的差是向量，
则当，即时，点在的平分线上，
同理由，知点在的平分线上，
故为的内心而不一定是垂心，故B错误；
选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，
而是该平行四边形的另一条对角线，
表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即，
同理有，于是为的外心，故C正确；
选项D，由得，
，即，，
同理可证，，
，，，即点是的垂心而不一定时内心，故D错误．
故选：AC．
2、（2021·广东深圳市·深圳第三高中）（多选）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
【答案】ABCD
【解析】对于，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，故正确；
对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；
对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；
对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；
由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确．
故选：ABCD．
3、（2021·广东高三月考）（多选）对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
【答案】BCD
【解析】A：为外心，则，仅当时才有，错误；
B：由，又，故，正确；
C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；
D：，又三点共线，则，故，正确.
故选：BCD
考点2 平面向量与三角函数
【例2-1】（2022北京八一学校高三上学期开学考试）设函数，其中向量，．
（1）求函数的最小正周期与单调递减区间；
（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，的面积为，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）最小正周期是，单调递减区间是；（2）直角三角形，理由见解析．
【分析】（1）由数量积坐标运算求得，并由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得最小正周期和减区间；
（2）先求得角，由面积公式求得，再由余弦定理求得，可判断三角形形状．
【详解】（1），
所以最小正周期是，
，解得，
减区间是；
（2）由（1），，
因为，所以，所以，，
，，
，，，
是直角三角形．
【例2-2】（2021·全国高三月考）（多选）已知点为平面直角坐标系原点，角的终边分别与以为圆心的单位圆交于两点，若为第四象限角，且，则（ ）
A．
B．当时，
C．最大值为
D．当时，
【答案】CD
【解析】易知，
，故A错误；
当时，，，故B错误；
由于，故过原点时，最大且最大值为，故C正确；
因为，且为第四象限角，所以.
，，即，
，故D正确.故选：.
【例2-3】（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
【变式2-1】（2021·河北武强中学高三月考）已知向量，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量，，
，即
故选：A
【变式2-2】
（2021·河南洛阳·（理））在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
所以，由余弦定理可知：，
因此有，
因为是的中点，所以有，平方得：
，
因为，所以，
，
故选：A.
【变式2-3】
（2022·山东济宁·一模）等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 11
【答案】C
【分析】以O为原点，AO所在直线为轴，建立直角坐标系，求出的坐标，因为点P是该圆上的动点，设，表示出，用辅助角求出最值即可.
【详解】如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所在直线为轴，建立直角坐标系.因为，所以，等边三角形ABC的边长为，则
，所以，则.
又因为P是该圆上的动点，所以设，，
,
，因为，
，所以当时，的最大值为8.
故选：C.
考点3 平面向量与其它知识
【例3-1】（2021·全国高三专题练习）如图，已知点为的边上一点，，为边的一列点，满足，其中实数列中，，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
，
为边的一列点，
，
化为：，即，
数列是等比数列，首项为2，公比为3．
，即，
故选：D
【例3-2】（2021·湖南雅礼中学高三）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，
所以，
，设直线的倾斜角为，则为钝角，，
结合解得，
设，则，
，
将点坐标代入双曲线方程得，而，
所以，
化简得，
，
，
，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
【例3-3】（2022·全国·模拟预测） 已知抛物线，P为直线上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ）
A. B. -1 C. D. -2
【答案】A
【分析】设，，利用导数的几何意义可求直线，，进而可得，然后利用数量积的坐标运算结合二次函数的性质即得.
【详解】设，.由求导得，
则直线，直线，
联立方程可得，
由P在直线上，得，且，即.
因而
.
故选：A.
【变式3-1】（2021·全国高三专题练习）已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】点、、是直线上不同的三点，
存在非零实数，使；
若，
，；
；
数列是等差数列，
；
．
故选：A．
【变式3-2】（2021·全国高三专题练习（理））半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图， 与交于点，由得： ，
所以四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
∴，
同理，，而，
∴，
∴，
∵点是圆内一点，则，∴，
故选：A.
【变式3-3】（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得：
，∴，
∴.
设，则，∴.
又，∴，∴.
故选：B.
考点4 最值（取值范围）问题
【例4-1】（2021·北京高三专题练习）若均为单位向量，且，则的值可能为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【解析】因为均为单位向量，且，
所以，
所以，
而
，
所以选项不正确，
故选：A
【例4-2】（2021·浙江高三开学考试）已知圆的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆上任意两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，连接，，
设为和的夹角.
则
且，
由，当时，有最小值；
当时，有最大值为10.
故选：C.
【例4-3】（2021·全国）已知是边长为2的正三角形，点为所在平面内的一点，且，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以的中点为原点，，所在直线分别为轴，
轴建立直角坐标系，即，，，
则，.
设，则，，，
所以.
设，，
解得，，
则，
所以长度的最小值为.
故选：B
【变式4-1】（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））已知单位向量、满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为、是单位向量，由可得，则，
所以，，即，可得，
所以，，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，
故选：C.
【变式4-2】（2021·重庆九龙坡·）已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A． B．7 C．5 D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接，并延长到，使，
因为为等边三角形，所以，
所以,
因为，
所以,
因为等边的边长为，
所以，
要使取得最大值，则与共线且同向，
所以的最大值为，
故选：B
【变式4-3】（2022·全国·模拟预测）已知向量，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则有最小值
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值为
D. 若，则的值为1
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算，求得，结合向量平行和垂直的坐标运算以及基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】∵，，∴．
对A：若，则，
当且仅当，即，，取得等号，故选项A正确；
对B：若，则，
当且仅当，，取得等号，故选项B错误；
对C：若，则，即，
则，故选项C错误；
对D：因为,
所以，，则D不正确.
故选：A．

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