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第二节 充要条件与量词
考试要求 1．必要条件、充分条件、充要条件 （1）通过对典型数学命题的机理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。 （2）通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 （3）通过对真型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义有充要条件的关系。
2．全称量询与存在量词 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 3．全称量调合题与存在量词金题的否定 （1）重正确使用存在量词对全称量词合题进行否定。 （2）能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 备考提醒 1、结合具体的数学命题，把握条件与结论之同的充要关系，会正有断p.q间的充分不必要关系，必要不充分关系，充要关系，既不知也不必要关系。 2．严格按照否定的规则对全称量词命题与存在量词命题进行否定，解常见的词语“都与不都”“是与不是””至少有一个与没有一个”互为否定关系。
3．本部分内容常常与集合、函数、不等式等知识交汇考查，属于低量考点.多以选择题、填空题或解答题的某个小题中的一部分的形式量现，属于中低档题. 4．本部分考题多数考查考生的逻辑推理、数学运算的核心素来 2023年高考将会以考查充分不要条件为主。在高考中这里占5分，近五年都考了这里的知识点。
一、命题
能判断真假的语句叫做命题．
二、复合命题的真假
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。
三、全称命题与特称命题
1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“”表示。
2、全称命题：含有全称量词的命题。其结构一般为：
3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“”表示。
4、特称命题：含有存在量词的命题。其结构一般为：
四、全称命题与特称命题的否定
1、命题的否定和命题的否命题的区别
命题的否定 ，即，指对命题的结论的否定。
命题的否命题，指的是对命题的条件和结论的同时否定。
2、全称命题的否定
全称命题： 全称命题的否定（）：
特称命题 特称命题的否定
所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
五、常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有个 至多有（）个
小于 不小于 至多有个 至少有（）个
对所有， 成立 存在某， 不成立 或 且
对任何， 不成立 存在某， 成立 且 或
六．量词
(1)全称量词与全称命题
①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
②全称命题：含有全称量词的命题．
③全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为 x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题
①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
②特称命题：含有存在量词的命题．
③特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为 x0∈M，p(x0)．
(3)命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【注】原命题与命题的否定真假性相反
七、充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p q，则p是q的充分条件；
(2)如果q p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p q，又有q p，记作p q，则p是q的充要条件．
【注】集合中，子集可以推出另一个集合.
充分条件与必要条件的判断
二、全称量词、存在量词的命题
三、近五年的高考题目
题型一充分条件与必要条件的判断
【例1】【2022和平二模】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【例2】【2022南开二模】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【例3】【2022河西二模】已知且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【例4】【2022河北二模】若a，b都是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【变式1-1】【2022河东二模】已知命题，命题，则命题p是命题q成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【变式1-2】【2020红桥二模】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【变式1-3】【2022滨海新区二模】设，则“且”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【变式1-4】【2022部分区二模】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【变式1-5】【2022耀华中学二模】设x，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【变式1-6】【2022天津一中五月考】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
题型二 全称量词存在量词命题
【例1】若命题p：，则命题p的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【例2】若命题p：，总有（ ）
A. B.
C. D.
【例3】下面四个命题中（ ）
p1：对任意的,都有2x>0
p2：存在,都有
p3：对任意的,都有sinx<2x
p4：存在,都有
其中真命题是
A. B.
C. D.
【变式2-1】若命题p：，总有的否定形式为（ ）
A. B.
C. D.
【变式2-2】（2021·天津模拟题）若命题p：，则p为假命题，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
题型三 高考真题
（2022年真题）x为整数，是“2x+1”为整数的什么条件？（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件
（2021真题）已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件
（2020真题）设，则“”是“”的
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2019真题）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2018真题）设，则“”是“”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件第二节 充要条件与量词
考试要求 1．必要条件、充分条件、充要条件 （1）通过对典型数学命题的机理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。 （2）通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 （3）通过对真型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义有充要条件的关系。
2．全称量询与存在量词 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 3．全称量调合题与存在量词金题的否定 （1）重正确使用存在量词对全称量词合题进行否定。 （2）能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 备考提醒 1、结合具体的数学命题，把握条件与结论之同的充要关系，会正有断p.q间的充分不必要关系，必要不充分关系，充要关系，既不知也不必要关系。 2．严格按照否定的规则对全称量词命题与存在量词命题进行否定，解常见的词语“都与不都”“是与不是””至少有一个与没有一个”互为否定关系。
3．本部分内容常常与集合、函数、不等式等知识交汇考查，属于低量考点.多以选择题、填空题或解答题的某个小题中的一部分的形式量现，属于中低档题. 4．本部分考题多数考查考生的逻辑推理、数学运算的核心素来 2023年高考将会以考查充分不要条件为主。在高考中这里占5分，近五年都考了这里的知识点。
一、命题
能判断真假的语句叫做命题．
二、复合命题的真假
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。
三、全称命题与特称命题
1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“”表示。
2、全称命题：含有全称量词的命题。其结构一般为：
3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“”表示。
4、特称命题：含有存在量词的命题。其结构一般为：
四、全称命题与特称命题的否定
1、命题的否定和命题的否命题的区别
命题的否定 ，即，指对命题的结论的否定。
命题的否命题，指的是对命题的条件和结论的同时否定。
2、全称命题的否定
全称命题： 全称命题的否定（）：
特称命题 特称命题的否定
所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
五、常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有个 至多有（）个
小于 不小于 至多有个 至少有（）个
对所有， 成立 存在某， 不成立 或 且
对任何， 不成立 存在某， 成立 且 或
六．量词
(1)全称量词与全称命题
①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
②全称命题：含有全称量词的命题．
③全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为 x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题
①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
②特称命题：含有存在量词的命题．
③特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为 x0∈M，p(x0)．
(3)命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【注】原命题与命题的否定真假性相反
七、充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p q，则p是q的充分条件；
(2)如果q p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p q，又有q p，记作p q，则p是q的充要条件．
【注】集合中，子集可以推出另一个集合.
充分条件与必要条件的判断
二、全称量词、存在量词的命题
三、近五年的高考题目
题型一充分条件与必要条件的判断
【例1】【2022和平二模】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】D
【分析】构建新函数，可判断该函数为上的奇函数且为增函数，从而可得正确的选项.
【详解】设，则该函数的定义域为，
且，故函数为上的奇函数，
当时，，故在上为增函数，
故为上的增函数，
又时，有，故，
而当时，由为上的增函数可得即，
故“”是“”的充要条件，
故选：D.
【例2】【2022南开二模】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，但，不充分，
时，必要性满足，故是必要不充分条件．
故选：B．
【例3】【2022河西二模】已知且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断即可求解.
【详解】因为，由可得即
所以由可得，充分性成立，
若，，可得，即，所以必要性成立，
所以且，则“”是“”的充要条件，
故选：C.
【例4】【2022河北二模】若a，b都是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
【详解】解：，都是实数，那么“” “”，
反之不成立，例如：，，满足，但是无意义，
“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【变式1-1】【2022河东二模】已知命题，命题，则命题p是命题q成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式，再根据充分、必要条件的判定方法，即可得到结果.
【详解】解不等式，可得，
又，
所以命题是命题成立的充分不必要条件.
故选：A．
【变式1-2】【2020红桥二模】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】本题首先可通过运算得出即以及即，然后根据与之间的关系即可得出结果.
【详解】，即，
，即，，
因为集合是集合的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题“若则”,如果可证明，则说明是的充分条件，如果可证明，则说明是的必要条件，考查推理能力与计算能力，是简单题.
【变式1-3】【2022滨海新区二模】设，则“且”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】取特殊值推导充分性，利用不等式性质推导必要性即可.
【详解】充分性：当，，满足且，
但且不成立，故充分性不成立；
必要性：当且时，根据不等式性质得，且成立，
故必要性成立.
综上所述：“且”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式1-4】【2022部分区二模】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】解：由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式1-5】【2022耀华中学二模】设x，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据表示在以为圆心，为半径的圆及其内部，表示在直线的左下方，利用数形结合法求解.
【详解】可表示为，
即在以为圆心，为半径的圆及其内部，
表示在直线的左下方，
如图所示：
由图象知：“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
【变式1-6】【2022天津一中五月考】设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分必要条件的定义结合不等式的性质得出答案.
【详解】，
，
，
可得“”是“”的充分条件；
由，
①当时，
可得，
即；
②当时，
可得，
即；
可得“”不是“”的必要条件；
所以“”是“”充分不必要条件；
故选：A.
题型二 全称量词存在量词命题
【例1】若命题p：，则命题p的否定为（ ）
A. B.
C. D.
答案B
【例2】若命题p：，总有（ ）
A. B.
C. D.
答案B
【例3】下面四个命题中（ ）
p1：对任意的,都有2x>0
p2：存在,都有
p3：对任意的,都有sinx<2x
p4：存在,都有
其中真命题是
A. B.
C. D.
答案D
【变式2-1】若命题p：，总有的否定形式为（ ）
A. B.
C. D.
答案D
【变式2-2】（2021·天津模拟题）若命题p：，则p为假命题，则a的取值范围为（ ）
B. C. D.
答案D
题型三 高考真题
（2022年真题）x为整数，是“2x+1”为整数的什么条件？（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件
答案A
（2021真题）已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件
【参考答案】A
（2020真题）设，则“”是“”的
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案A
（2019真题）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案B
（2018真题）设，则“”是“”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
答案A

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