资源简介

极坐标与参数方程
【思维导图】
t的几何意义补充：若为的中点，则
【重难点题型突破】：
考向一 直线与圆
【例1】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（为参数）．
（1）写出直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．
【变式训练1】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝asinθ（a≠0）.
（1）求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）设直线l截圆C的弦长是半径长的倍，求a的值.
【变式训练2】在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为1.求：
(1)圆C的极坐标方程；
(2)直线l被圆C所截得的弦长．
考向二 参数法
【例2-1】已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；
（2）过曲线上任意一点作与直线的夹角为的直线，交于点，求的最小值．
【变式训练1】.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数）。
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）当时，设分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值。
【例2-2】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.
（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.
【变式训练1】在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）.
（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.
【变式训练2】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程 (0≤θ≤π)．
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为，求m的值．
考向三 直线参数t的几何意义
【例3-1】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）求，，的值；
（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.
【变式训练1】. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点M的极坐标为，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率．
【变式训练2】在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于两点.
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若点，求的值.
【变式训练3】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，
（l）设为参数，若，求直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.
考向四 极径的运用
【例4-1】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中．
（1）求的值；
（2）若射线与直线相交于点，求的值．
【变式训练1】在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x＝4，曲线C的参数方程是(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）若射线与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围.
【例4-2】在极坐标系下，已知圆O：和直线
.求圆0和直线l的直角坐标方程；
.当时，求圆0和直线l公共点的极坐标.
【变式训练1】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）直接写出圆的普通方程；
（II）直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为，两点，与直线的交点为，求线段的长.
【变式训练2】在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程；
（2）射线:与圆的交点为，与，直线的交点为，求的范围.
考向五 综合运用
【例5-1】在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求，的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为,，求的面积．
【变式训练1】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上.
（1）求证：；
（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.
极坐标与参数方程历年真题
【22年全国甲卷】22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．
【22年全国乙卷】22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
【21年全国甲卷】22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【21年全国乙卷】22. 在直角坐标系中，圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【21年新高考1卷】21. 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
（一）直角坐标系下直角坐标方程的应用
1．【2020全国Ⅱ文理22】 已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．
（1）将的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．
2．【2020全国Ⅰ文理22】 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
3．【2018全国卷Ⅰ】 [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的直角坐标方程；
(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程．
(二) 直线的参数方程应用
4．【2018全国卷Ⅱ】[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
5．【2018全国卷Ⅲ】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．
(1)求的取值范围；
(2)求中点的轨迹的参数方程．
(三) 求最值问题—巧用圆或椭圆的参数方程
6．【2020全国Ⅲ文理22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），与坐标轴交于两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
7.【2019全国I理22】[选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
8．【2017新课标Ⅰ】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为(为参数)．
(1)若，求与的交点坐标；
(2)若上的点到距离的最大值为，求．
9．【2016年全国III】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．
(四) 极坐标系下极坐标方程的应用
10.【2019全国II理22】[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
11.【2019全国III理22】[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标.
12．【2017新课标Ⅱ】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为．
(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
13．【2017新课标Ⅲ】在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，为与的交点，求的极径．极坐标与参数方程
【思维导图】
t的几何意义补充：若为的中点，则
【重难点题型突破】：
考向一 直线与圆
【例1-1】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（为参数）．
（1）写出直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，∴，∴，．
（2）曲线为以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为，所以，最大距离为．
【变式训练1】．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝asinθ（a≠0）.
（1）求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）设直线l截圆C的弦长是半径长的倍，求a的值.
【答案】（1）圆C的方程为；直线l的方程为；（2）或.
【解析】（1）由题意，圆C的极坐标方程为，即，又由，所以，即圆C的直角坐标方程为，由直线l的参数方程为为参数），可得为参数），两式相除，化简得直线l的普通方程为.
（2）由（1）得圆C：，直线l：，因为直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以圆心C到直线l的距离，解得或.
【变式训练2】在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为1.求：(1)圆C的极坐标方程；
(2)直线l被圆C所截得的弦长．【答案】(1) ；(2)2.
【解析】(1)因为圆C的圆心是，半径为1，所以圆心的直角坐标为，半径为1，
所以圆C的方程为，,
故圆C的极坐标方程为.
(2) 因为直线l的极坐标方程为，所以，即，圆心满足直线l的方程，所以直线经过圆心，所以直线被圆C所截得的弦长等于直径2.
考向二 参数法
【例2-1】已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；
（2）过曲线上任意一点作与直线的夹角为的直线，交于点，求的最小值．
【答案】：（1）；（2）
【解析】：（1）
设
【变式训练1】.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数）。
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）当时，设分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值。
【答案】：（1） （2）
【解析】：（1）由：
普通方程为
由：有：
直角坐标方程为：
（2）当时，即：
设，则为点到直线距离的最小值
当时，.
【例2-2】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.
（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；（1）C与l交点坐标是（3，0）和
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.（2）a＝－16或a＝8.
【解析】（1）由题意，当 时，直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程为.由曲线C的参数方程为（θ为参数），即（θ为参数），平方相加，可得曲线C的标准方程是，联立方程，解得或，则C与l交点坐标是（3，0）和.
（2）直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，设曲线C上点P（3cosθ，sinθ），
则P到l距离，其中tanφ＝.
又点C到直线l距离的最大值为，所以|5sin（θ＋φ）－4－a|的最大值为17
若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.
综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.
【变式训练1】在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）.
（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.
【答案】（1）C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0，C2的普通方程为x2＋y2＝1；（2）.
【解析】（1）由题意，曲线C1的极坐标方程是，
即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由，
所以4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.
因为曲线C2的参数方程为（θ为参数），所以x2＋y2＝1，故C2的普通方程为x2＋y2＝1.
（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为为参数）.设N（2cosα，2sinα），则点N到曲线C1的距离
（其中满足）当sin（α＋φ）＝1时，d有最小值，所以|MN|的最小值为.
【变式训练2】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程 (0≤θ≤π)．
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为，求m的值．
【答案】（1）C1的普通方程为x－y＋m＝0.直角坐标方程为(0≤y≤1)．（2）m＝或m＝6.
【解析】(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0.
由曲线C2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，
∴曲线C2的直角坐标方程为(0≤y≤1)．
(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P到曲线C1的距离
d＝＝.∵α∈[0，π]，∴，
，由点P到曲线C1的最小距离为得，
若m＋<0，则m＋＝－4，即m＝－4－
若m－2>0，则m－2＝4，即m＝6.
若m－2<0，m＋>0，
当|m＋|≥|m－2|，即m≥时，－m＋2＝4，即m＝－2，不合题意，舍去；
当|m＋|<|m－2|，即m<时，m＋＝4，即m＝4-，不合题意，舍去．
综上，m＝－4-或m＝6.
向三 直线参数t的几何意义
【例3-1】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）求，，的值；【答案】（1）；（2）.
（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.
【解析】（1）由，得，则，所以，所以曲线的参数方程为，因为，，所以.
（2）将代入，得.设，两点对应的参数分别为，，则，.所以.
【变式训练1】. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点M的极坐标为，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率．
【解析】：（Ⅰ）当时，直线的直角坐标方程为；（1分）
当时，直线的直角坐标方程为． （2分）
（Ⅱ）点的直角坐标为，曲线的直角坐标方程为，（6分）
把代入曲线的直角坐标方程，化简得，由，得，所以直线的斜率为．（10分）
【变式训练2】在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于两点. （非标准参）
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若点，求的值.
【答案】（1）;（2）
【解析】（1），；
.
（2）注意到在直线l上，直线倾斜角为，， ，解得直线参数方程为为参数），联立C的直角坐标方程与l的参数方程，
整理得，设方程的解为，则，，异号.
不妨设，,有.
【变式训练3】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，
（l）设为参数，若，求直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.
【答案】（1）（为参数）；（2）1
【解析】（1）直线的极坐标方程为即，
因为为参数，若，代入上式得，
所以直线的参数方程为（为参数）
（2）由，得，由，代入，得 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得.（*）
则且，，设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.则，，，由题设得.
则有，得或.因为，所以
考向四 极径的运用
【例4-1】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中．
（1）求的值；
（2）若射线与直线相交于点，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意知，曲线C的普通方程为，因为，所以曲线C的极坐标方程为 ，即.
由，得，因为，所以.
（2）由题，易知直线的普通方程为，所以直线的极坐标方程为.又射线的极坐标方程为（），
联立，得，解得.所以点的极坐标为，
所以.
【变式训练1】在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x＝4，曲线C的参数方程是(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）若射线与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围.
【答案】（1）直线l：；曲线C：；（2）
【解析】（1）由，得直线l的极坐标方程为.
曲线C的参数方程为(φ为参数)，消去参数φ得曲线C的普通方程为，即，
将，，代入上式可得，
所以曲线C的极坐标方程为.
（2）设，，则，，所以，
因为，所以，则，
所以故的取值范围是.
【例4-2】在极坐标系下，已知圆O：和直线
.求圆0和直线l的直角坐标方程；
.当时，求圆0和直线l公共点的极坐标.
【答案】（1），，（2）
【解析】（1）由题意得：圆O的极坐标方程：，
，
所以圆O的直角坐标方程：，
直线，，
整理：，所以直线的直角坐标方程：，
（2）当时，联立直线与圆的极坐标方程：
联立， 解得：，
带回直线方程，得，故直线与圆的交点极坐标为
【变式训练1】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）直接写出圆的普通方程；
（II）直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为，两点，与直线的交点为，求线段的长.
【解析】：（I）；
（II）圆的极坐标方程为.设，则，解得，解得.
【变式训练2】在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程；
（2）射线:与圆的交点为，与，直线的交点为，求的范围.
【解析】（1）圆的普通方程是，将，，代入上述方程，
得， 由，化简得圆的极坐标方程为.
设，则有， 设，且直线的方程是，则有， 所以，所以.
考向五 综合运用
【例5-1】在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为,，求的面积．
【解析】（1）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）将代入，得，解得，,故，即.由于的半径为，所以的面积为.
【变式训练1】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上.
（1）求证：；
（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.
【解析】（1）由 ，则 ；
（2）由曲线的普通方程为：，联立直线的参数方程得：
解得；平面直角坐标为：，则；又得.
即四边形面积为为所求.
极坐标与参数方程历年真题
【22年全国甲卷】22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．
【答案】（1）；
（2）的交点坐标为，，的交点坐标为，．
【小问1详解】因为，，所以，即的普通方程为．
【小问2详解】因为，所以，即的普通方程为，
由，即的普通方程为．
联立，解得：或，即交点坐标为，；
联立，解得：或，即交点坐标为，．
【22年全国乙卷】22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
（1）因l：，所以，
又因为，所以化简为，
整理得l的直角坐标方程：
（2）联立l与C的方程，即将，代入
中，可得，所以，
化简为，要使l与C有公共点，则有解，
令，则，令，，对称轴为，开口向上，
所以，，所以，m的取值范围为.
【21年全国甲卷】22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；
（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.
【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
设，设,，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.
【21年全国乙卷】22. 在直角坐标系中，圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【答案】（1），（为参数）；（2）或.
【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得或【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
【21年新高考1卷】21. 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.（t的几何意义）
【答案】（1）；（2）.
【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
（2）设点，设直线的方程为，设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，求出的表达式，设直线的斜率为，同理可得出的表达式，由化简可得的值.
【详解】因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为；
（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，
不妨直线的方程为，即，联立，消去并整理可得，设点、，则且.由韦达定理可得，，所以，，
设直线的斜率为，同理可得，
因为，即，整理可得，
即，显然，故.因此，直线与直线的斜率之和为.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
一、直角坐标系下直角坐标方程的应用
1．【2020全国Ⅱ文理21】 已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．
（1）将的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．
【解析】（1）由得的普通方程为：，
由得：，两式作差可得的普通方程为：．
（2）由得：，即．
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，
所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，
所求圆的极坐标方程为．
2．【2020全国Ⅰ文理21】 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
【解析】（1）当时，曲线的参数方程为（为参数），两式平方相加得，
∴曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．
（2）当时，曲线的参数方程为（为参数），∴，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，
曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，
联立方程，整理得，解得或（舍去），，公共点的直角坐标为．
3．【2018全国卷Ⅰ】 [选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的直角坐标方程；
(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程．
【解析】(1)由，得的直角坐标方程为．
(2)由(1)知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
(二) 直线的参数方程应用
4．【2018全国卷Ⅱ】[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【解析】(1)曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
5．【2018全国卷Ⅲ】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．
(1)求的取值范围；
(2)求中点的轨迹的参数方程．
【解析】(1)的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
(2)的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为，，，则，
且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数，．
(三) 求最值问题—巧用圆或椭圆的参数方程
6．【2020全国Ⅲ文理22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），与坐标轴交于两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
【解析】（1）令，则，解得或（舍），则，即．
令，则，解得或（舍），则，即．
．
（2）由（1）可知，则直线的方程为，即．
由可得，直线的极坐标方程为．
7.【2019全国I理22】[选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【解析】（1）因为，且，
所以C的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为.
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.
C上的点到的距离为.
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.
8．【2017新课标Ⅰ】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为(为参数)．
(1)若，求与的交点坐标；
(2)若上的点到距离的最大值为，求．
【解析】（1）曲线的普通方程为．
当时，直线的普通方程为．
由解得或．从而与的交点坐标为，．
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
．
当时，的最大值为．由题设得，所以；
当时，的最大值为．由题设得，所以．综上，或．
9．【2016年全国III】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原
点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．
【解析】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，
所以 的最小值，即为到的距离的最小值，
．
当且仅当时，取得最小值，最小值为，
此时的直角坐标为．
(四) 极坐标系下极坐标方程的应用
10.【2019全国II理22】[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
【解析】（1）因为在C上，当时，.
由已知得.
设为l上除P的任意一点.在中，
经检验，点在曲线上.
所以，l的极坐标方程为.
（2）设，在中， 即.
因为P在线段OM上，且，故的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为 .
11.【2019全国III理22】[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标.
【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，.
所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为，
的极坐标方程为.
（2）设，由题设及（1）知
若，则，解得；
若，则，解得或；
若，则，解得.
综上，P的极坐标为或或或.
12．【2017新课标Ⅱ】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为．
(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
【解析】（1）设的极坐标为，的极坐标为．
由椭圆知，．
由得的极坐标方程．
因此的直角坐标方程为．
（2）设点的极坐标为．由题设知，，于是面积
．
当时，取得最大值．
所以面积的最大值为．
13．【2017新课标Ⅲ】在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，为与的交点，求的极径．
【解析】（1）消去参数得的普通方程；消去参数得的普通方程．
设，由题设得，消去得．
所以的普通方程为
（2）的极坐标方程为
联立得．
故，从而
代入得，所以交点的极径为．

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