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外接球——墙角模型（长方体，正方体）
一、知识要点：
墙角模型（长方体，正方体）——公式：
方法：找三条两两垂直的线段，利用公式，即求出R
二、例题精讲：
例1．长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】球O的半径为，
∴体积．
故选：A
例2．已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，
则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径，
∴该球的体积为．
故选：B
例3．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（ ）
A． B．4 C． D．．
【答案】B
【解析】解：正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，
则，解得，所以正方体的体对角线等于；
故选：B
例4．据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，
则外接球半径．
所以三棱锥外接球表面积．
故选：B．
例5.在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等．设，则．
根据，得，
解得．
设三棱锥外接球的半径为，则，所以．
故所求外接球的表面积为．
故选：A．
例6.如图在正三棱锥中，分别是棱的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在中，分别是棱的中点，
所以，因为，所以，
因为三棱锥为正三棱锥，所以（对棱垂直），
又因为面，，
所以面，因为面，所以，
在中，，
因为三棱锥为正三棱锥，所以是等腰三角形，是等边三角形，
所以，，
所以，即，
所以两两垂直，
将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于长，为，
则该正方体棱长为，外接球半径，
正方体外接球体积，
此正三棱锥的外接球体积和正方体外接球体积相同，为．
故选：D
三、习题精练：
1、《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同．
因为长方体外接球的半径，
所以该“阳马”外接球的表面积为：．
故选：C．
2、在三棱锥中，已知平面，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由平面，，知三棱锥可补形为以，为长宽高的长方体，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球的半径为，则，所以．
故选：A
3、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　．
【解答】解：如图，由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，
则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于，
则，又，，可得平面，则，
，分别是，的中点，，
又，即，，得平面，
正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径，，则球的体积为．
故答案为：．
4、《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥的所有顶点都在球上，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将鳖臑补形为长方体,求出长方体的外接球的半径即可.
【详解】
由题意,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球.
外接球的半径为
故选：A
5、在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将问题转化为棱长为的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球半径为体对角线长一半可得所求外接球半径，根据球的表面积公式可求得结果.
【详解】
如图所示，鳖臑的外接球即为棱长为的正方体的外接球，
该鳖臑的外接球半径，
该外接球表面积.
故选：C.
6、在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，分别是，的中点，且，则三棱锥接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，分别是，的中点，且，所以，
为中位线，
又，，，，平面
平面，，且
则，，两两垂直
如图将补成一个正方体
外接球半径，，
故选：．
7、若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：正方体外接球的球心在体对角线的中点，设半径为，则，
即，所以球的表面积为．
故选：．
8、在四面体中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面，则四面体的外接球的表面积为 　　．
【解答】解：是以为斜边的等腰直角三角形，，
又平面平面，平面平面，
平面，则，可得、、两两相互垂直，
且，
以为顶点，以、、为过点的三条棱构造正方体，
可得四面体外接球的半径，
四面体的外接球的表面积为．
故答案为：．
9、（外接球与基本不等式综合）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年.在该书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵中，，，鳖臑的体积为2，则阳马外接球表面积的最小值为__________．
【答案】
【分析】
【详解】
由于“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”，故可知阳马外接球球心为的中点，且为外接球的直径. 鳖臑的体积为，故堑堵的体积为.设，依题意.而，故阳马外接球表面积为，由基本不等式得，即阳马外接球表面积的最小值为.
10、在长方体中，四边形是边长为2的正方形，与所成的角是，则长方体的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图，在长方体中，，
相交直线与所成的角是异面直线与所成的角.
连接，由平面，得.
在Rt△ABD1中，就是与所成的角，即，
又，．
在中， ，设长方体外接球半径为，
则由长方体的对角线就是长方体外接球直径得，
长方体外接球表面积是．答案：
11、已知矩形，，，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意翻折可得几何体中：
,
即三棱锥可以补成以PB,PC,PE为边的长方体，
其对角线为外接球的直径：
故
外接球的表面积为：
故选
12、在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.
【答案】
【详解】
三棱锥的外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为
又，从而，于是，的外接圆半径为
故球心到面的距离为
从而，点到面距离的最大值是
故答案为：
13、已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
三棱锥，满足两两垂直，且，
如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,
以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,
则，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球，
是三棱锥外接球上一动点，
由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时，
点到平面的距离最大，
点到平面的距离的最大值为.故选C.外接球——墙角模型（长方体，正方体）
一、知识要点：
墙角模型（长方体，正方体）——公式：
方法：找三条两两垂直的线段，利用公式，即求出R
二、例题精讲：
例1、长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B．C． D．
例2、已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例3、已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（ ）
A． B．4 C． D．．
例4、据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
例5、在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例6、如图在正三棱锥中，分别是棱的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
三、习题精练：
1、《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2、在三棱锥中，已知平面，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　 ．
4、《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，，若三棱锥的所有顶点都在球上，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
5、在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6、三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，分别是，的中点，且，则三棱锥接球的表面积为　　
A． B． C． D．
7、若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
8、在四面体中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面，则四面体的外接球的表面积为 　　．
9、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年.在该书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵中，，，鳖臑的体积为2，则阳马外接球表面积的最小值为__________．
10、在长方体中，四边形是边长为2的正方形，与所成的角是，则长方体的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
11、已知矩形，，，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
12、在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.
13、已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是
A． B． C． D．

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