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苏教版（2019）高中数学一轮复习第17讲《平行和垂直》（原卷版）
【知识梳理】
空间点、线、面的位置关系 基本事实 1 用途 判断直线在平面内
2 不共线确定平面 确定平面
确定两平面的交线
3
两直线平行
4 ∥，∥∥
位置关系 点线面 ；
线线 共面（相交和平行）、异面（不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线）
线面 ，分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点
面面 ∥，，分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点
平行关系 …… 判定定理 性质定理
线面 线线平行线面平行 ∥，，∥ 线面平行线线平行
面面 线面平行面面平行 面面平行线线平行
垂直关系 线面 线线垂直线面垂直 ∥ 线线垂直线线平行
面面 线面垂直面面垂直 面面垂直线面垂直
二、【真题再现】
1、（2022全国乙卷）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A. 平面平面 B. 平面平面
C 平面平面 D. 平面平面
2、（2022北京卷）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
（1）求证：平面；
3、（2022全国甲卷理）在四棱锥中，底面．
（1）证明：；
4、（2022全国甲卷文）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
证明：平面；
5、（2022全国乙卷）如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
6、（2022新高考2卷）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
（1）证明：平面；
7、（2022浙江卷）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
（1）证明：；
考点1 平行问题（线线平行）
【例1】1、（2021·全国高三）如图，在四面体中，，分别为，的中点，过的平面与，分别交于点，.求证：
2、（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考（文））如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，为等边三角形，G是线段SB上的一点，且SD//平面GAC.求证：G为SB的中点
【变式训练】
1、（2020·安徽）如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，点G.E.F.H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点，平面GEFH.证明：
2、（2020·浙江高三）如图，平面，平面，，求证：
（2021·江苏高三）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，点在棱上，平面，求证：为的中点
考点2 平行问题（线面平行）
【例2】1、（2021·黑龙江佳木斯市）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中D是AC的中点，求证：B1C∥平面A1BD
2、（2021·合肥市第六中学）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接交于点为的重心，证明：平面
3、（2021·全国高三其他模拟）在四棱锥中，底面为梯形，，，若为的中点，求证：平面
4、（2021·广东）如图所示，四面体PABC中，E，F分别为AB，AC的中点，过EF作四面体的截面EFGH交PC于点G，交PB于点H，证明：GH/平面ABC
【变式训练】
1、（2021·黑龙江哈尔滨市）如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面
2、（2021·北京高三如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点，求证：平面
3、（2021·黑龙江佳木斯市）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点，求证：平面
4、（2020·安徽高三）如图所示，在三棱柱中，M为棱的中点，求证∶平面
考点3 平行问题（面面平行）
【例3】1、（2021·全国高三月考）如图所示，在多面体中，，，均垂直于平面，，分别为，的中点，证明：平面
2、（2021·广东）如图所示，在三棱台中，，，，，分别为，的中点，证明：平面
【变式训练】
1、（2021·山西太原市）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，分别是的中点，点在上，且，求证：平面平面
2、（2021·浙江高三）如图所示，四棱锥中，底面是矩形，点分别为的中点，证明：直线平面
3、（2021·陕西宝鸡市）如图，在四棱锥中，，，，，、、分别为线段、、的中点，证明：直线平面.
考点4 平行问题（平行中动点问题）
【例4】1、（2021·黑龙江哈尔滨市）直三棱柱所有棱长都为2，在边上是否存在一点，使平面，若存在给出证明，若不存在，说明理由
2、（2021·全国高三其他模拟）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，平面，，于点，试问在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
3、（2021·广东佛山市）在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由
【变式训练】
1．（2021·河南高三）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1⊥AC，D，D1分别为AC，A1C1的中点且AD=AA1，在棱AA1上找一点M，使得平面，并说明理由
2．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州）如图，在三棱锥中，底面，是正三角形，是棱的中点，如，在平面内寻找一点使得平面，并说明理由
考点5 垂直问题（线线垂直）
【例5】1、（2021·上海节选）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，求证：AC⊥BE
2、（2021·福建节选）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证：
【变式训练】
1、（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点，证明：
2、（2021·云南）如图，圆台的上底面半径为1，下底面半径为为圆台的母线，平面平面为的中点，为上的任意一点，证明：
考点6 垂直问题（线面垂直）
【例5】1、（2021·广东节选）如图，在直三棱柱中，为的中点，证明：平面
2、（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，E是的中点，求证：
（1）
3、（2021·吉林松原市·高三月考）在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，，，证明：平面
【变式训练】
1、（2021·安徽六安市·六安一中节选）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，求证：平面
3、（2021·安徽）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足，证明：AM⊥平面
考点7 垂直问题（面面垂直）
【例5】1、（2021·全国高考真题节选）在四棱锥中，底面是正方形，若，证明：平面平面
2、（2021·河南高三）如图，在三棱柱中，，，，，证明：平面平面
【变式训练】
1、（2021·湖南）如图，在四棱锥中，底面为正方形，且底面.
（1）求证：平面平面；
（2）若为棱的中点，在棱上求一点F，使平面.
2、（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且，证明：平面平面
考点8 垂直问题（垂直中动点问题）
【例5】1、（2021·湖南）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2、（2021·北京高考模拟（文））如图，在四棱锥中，平面，， ，，，，为侧棱上一点.
（1）若，求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1、（2021·山西高三月考）如图，在直三棱柱中，，点分别为和的中点.，）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由
2、（2021·上海）如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱和的中点，交于，试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论；苏教版（2019）高中数学一轮复习第17讲《平行和垂直》（解析版）
【知识梳理】
空间点、线、面的位置关系 基本事实 1 用途 判断直线在平面内
2 不共线确定平面 确定平面
确定两平面的交线
3
两直线平行
4 ∥，∥∥
位置关系 点线面 ；
线线 共面（相交和平行）、异面（不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线）
线面 ，分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点
面面 ∥，，分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点
平行关系 …… 判定定理 性质定理
线面 线线平行线面平行 ∥，，∥ 线面平行线线平行
面面 线面平行面面平行 面面平行线线平行
垂直关系 线面 线线垂直线面垂直 ∥ 线线垂直线线平行
面面 线面垂直面面垂直 面面垂直线面垂直
二、【真题再现】
1、（2022全国乙卷）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A. 平面平面 B. 平面平面
C 平面平面 D. 平面平面
【答案】A
【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】解：在正方体中，且平面，
又平面，所以，因为分别为的中点，
所以，所以，又，所以平面，
又平面，所以平面平面，故A正确；
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，
则，所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.
2、（2022北京卷）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
（1）求证：平面；
【答案】见解析
【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.
【详解】
取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
3、（2022全国甲卷理）在四棱锥中，底面．
（1）证明：；
【答案】（1）证明见解析；
【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
【详解】
证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因平面，
所以
4、（2022全国甲卷文）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
（1）证明：平面；
【答案】证明见解析；
【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
【详解】
如图所示：，
分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
5、（2022全国乙卷）如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
【答案】（1）证明过程见解析
【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
【详解】
因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
6、（2022新高考2卷）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
（1）证明：平面；
【答案】（1）证明见解析
【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；
【详解】
证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面
7、（2022浙江卷）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
（1）证明：；
【答案】（1）证明见解析；
【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得；
（2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出．
【详解】
过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
三、【考点精讲】
考点1 平行问题（线线平行）
【例1】1、（2021·全国高三）如图，在四面体中，，分别为，的中点，过的平面与，分别交于点，.求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】因为，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面
所以平面
又平面平面，平面
所以，所以.
2、（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考（文））如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，为等边三角形，G是线段SB上的一点，且SD//平面GAC.求证：G为SB的中点
【答案】见解析
【解析】证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接，
∵平面，平面平面，平面，
∴，而为的中点，∴为的中点.
【变式训练】
1、（2020·安徽）如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，点G.E.F.H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点，平面GEFH.证明：
【答案】证明见解析
【解析】∵平面GEFH，
又∵平面PBC且平面平面，∴.
又∵平面GEFH，
又∵平面ABCD且平面平面，∴，∴.
2、（2020·浙江高三）如图，平面，平面，，求证：
【答案】证明见解析
【解析】依题意，平面，平面，∴平面，
又平面，，∴平面平面，
∴平面平面，平面平面，∴；
（2021·江苏高三）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，点在棱上，平面，求证：为的中点
【答案】证明见解析
【解析】平面，平面平面，平面，所以.
因为四边形是正方形，，所以是的中点.
在中，是的中点，，所以为的中点.
考点2 平行问题（线面平行）
【例2】1、（2021·黑龙江佳木斯市）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中D是AC的中点，求证：B1C∥平面A1BD
【答案】证明见解析
【解析】证明：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，∵D为AC中点，∴PD∥B1C，
又∵PD 平面A1BD，B1C 平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD
2、（2021·合肥市第六中学）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接交于点为的重心，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】延长交于，连接，因为为的重心，则为的中点，且，
因为，所以，所以，因此，
又因为平面，平面，所以平面；
3、（2021·全国高三其他模拟）在四棱锥中，底面为梯形，，，若为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵在梯形中，，，为的中点，
所以且，∴四边形为平行四边形，所以，
∵平面，平面，所以平面．
4、（2021·广东）如图所示，四面体PABC中，E，F分别为AB，AC的中点，过EF作四面体的截面EFGH交PC于点G，交PB于点H，证明：GH/平面ABC
【答案】见解析
【解析】∵E，F分别为AB，AC的中点,∴EF∥BC,
又∵EF 平面PBC,BC 平面PBC,∴EF∥平面PBC,
∵EF 平面EFGH,平面EFGH∩平面PBC=GH,∴EF∥GH,
又∵GH 平面ABC,EF 平面ABC,∴GH∥平面ABC;
【变式训练】
1、（2021·黑龙江哈尔滨市）如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接交于，连接，
∵四边形是平行四边形．∴点为的中点．
∵为的中点，∴为的中位线，∴．
∵平面，平面，∴平面．
2、（2021·北京高三如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，与交于，在中，
分别为的中点，
,
平面平面，
平面；
3、（2021·黑龙江佳木斯市）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】设与相交于点，则为中点，连接，
∵为中点，∴，
又∵平面，∴平面；
4、（2020·安徽高三）如图所示，在三棱柱中，M为棱的中点，求证∶平面
【答案】证明见解析
【解析】证明∶连接A1B交AB1于点D，连接DM，则D为A1B的中点，
因为M为棱A1C1的中点，所以DMBC1.
因为平面AB1M，平面AB1M，
所以BC1平面AB1M.
考点3 平行问题（面面平行）
【例3】1、（2021·全国高三月考）如图所示，在多面体中，，，均垂直于平面，，分别为，的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，，
由题知，，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
2、（2021·广东）如图所示，在三棱台中，，，，，分别为，的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接，，由三棱台的性质知四边形是梯形，
因为是的中点，是的中点.所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为是的中点，是的中点所以为，
因为平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
【变式训练】
1、（2021·山西太原市）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，分别是的中点，点在上，且，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结，由题意可得与共线，且，
∵是的中点，，∴是的中点，
∴，∴，平面；平面；∴平面，
∵是的中点，∴，平面，平面；∴平面，
∵，平面，平面，∴平面平面；
2、（2021·浙江高三）如图所示，四棱锥中，底面是矩形，点分别为的中点，证明：直线平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：过点作交于点.连接.
因为为中点，所以为中点， 所以，所以，所以平面
同理可得，平面所以平面平面，所以平面.
3、（2021·陕西宝鸡市）如图，在四棱锥中，，，，，、、分别为线段、、的中点，证明：直线平面.
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接、，与相交于点，连接，
因为，，为线段的中点，，
所以四边形为矩形，为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，，
因为平面，平面，所以平面，
因为、分别为线段、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
考点4 平行问题（平行中动点问题）
【例4】1、（2021·黑龙江哈尔滨市）直三棱柱所有棱长都为2，在边上是否存在一点，使平面，若存在给出证明，若不存在，说明理由
【答案】存在，证明见解析
【解析】存在，是的中点，
直三棱柱中，连接交于点，如图：
则为中点，连接，而为的中点，则，又平面，平面，所以平面
2、（2021·全国高三其他模拟）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，平面，，于点，试问在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
【答案】存在，为线段的中点；理由见解析
【解析】当为线段的中点时，平面.
下面给出证明：
取的中点，连接，，则，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为，，所以为的中点，
又为的中点，，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，且，又，，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面，
3、（2021·广东佛山市）在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由
【答案】存在，当时，平面
【解析】当时，平面
证明如下：连接交于点G，连接，
因为，所以
又∵平面，平面
∴平面
【变式训练】
1．（2021·河南高三）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1⊥AC，D，D1分别为AC，A1C1的中点且AD=AA1，在棱AA1上找一点M，使得平面，并说明理由
【答案】M与A重合时，面，理由见解析
【解析】当M与A重合时，D1M∥面DBC1，理由如下：∵D1C1∥AD，且D1C1=AD，
∴四边形D1C1DA为平行四边形，∴D1A∥C1D，因为C1D 面BDC1，∴D1M∥面DBC1.
2．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州）如图，在三棱锥中，底面，是正三角形，是棱的中点，如，在平面内寻找一点使得平面，并说明理由
【答案】答案见解析.
【解析】延长至点，使得，延长至点，使得，连接，在直线上任取一点，则点满足平面.
理由如下：
是线段的中点，是线段的中点，是的中位线，，平面.
同理平面，
又，平面平面，
平面，平面.
(注：若此题点直接取或，理由充分，给分)
考点5 垂直问题（线线垂直）
【例5】1、（2021·上海节选）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，求证：AC⊥BE
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为平面，
又平面，所以，
因为是正方形，所以，
又，
所以平面．
又平面，所以．
2、（2021·福建节选）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证：
【答案】证明见解析
【解析】由题意，在直三棱柱中，，
不妨设，则，
由余弦定理可得，因为，可得，
又由是线段的中点，所以，且，
因为平面，平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以,
在直角中，，
因为是线段靠近点的四等分点，可得，
所以,可得，
又由且平面，所以平面，
因为平面，所以.
【变式训练】
1、（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点，证明：
【答案】证明见解析
【解析】连接AC,BD交于O，取AD的中点F，连接EF，
∵PA=PD,∴PF⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，AD面ABCD，
∴PF⊥面ABCD，∴PF⊥AC，
又∵EF为△ABD中BD边的中位线
∴平行且等于
又菱形的对角线相互垂直平分，则BD⊥AC,
∵PF,EF面EFP，PFEF=F，
∴AC⊥面EFP，又PE面EFP，
∴
2、（2021·云南）如图，圆台的上底面半径为1，下底面半径为为圆台的母线，平面平面为的中点，为上的任意一点，证明：
【答案】证明见解析
【解析】证明：取中点，连接，
因为圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，，
所以，又因为，所以为正三角形，
于是，．
因为为中点，所以，
因为平面平面，
所以平面平面，
所以，
又因为，所以平面，又因为平面，
所以．
考点6 垂直问题（线面垂直）
【例5】1、（2021·广东节选）如图，在直三棱柱中，为的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】∵为的中点，∴，
∵直三棱柱中，面面，面，面面，
∴面，又面，即，
由题设易知：，故，又，
∴，则，又，∴平面.
2、（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，E是的中点，求证：
（1）
【答案】证明见解析
【解析】连接，
由己知，E为中点，
又，故四边形为正方形，所以知
∵面面又面面，，平面
∴平面，故．同理可证
又，故平面连接，可知
又，∴可知平面
又平面∴
由已知，故四边形为平行四边形故∴可知
3、（2021·吉林松原市·高三月考）在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，，，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为，，所以，所以，
又因为为平行四边形，所以，，
因为，，，所以，所以，
因为，所以平面，所以，
因为，，，所以，所以，
因为，所以平面，所以，
因为，所以平面.
【变式训练】
1、（2021·安徽六安市·六安一中节选）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，求证：平面
【答案】证明见详解
【解析】平面平面，平面平面，，，
平面，又平面，，
又，，，
，，
，，，
又，平面；
2、（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】因为，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，所以平面，所以，
又因为，，
所以，所以，
又，所以平面；
3、（2021·安徽）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足，证明：AM⊥平面
【答案】证明见解析
【解析】联结AC，由知，，即，
由在直四棱柱中，平面ABCD，则
又，则平面ACM，又平面ACM，
则，又，则，由条件知，
且，故平面；
考点7 垂直问题（面面垂直）
【例5】1、（2021·全国高考真题节选）在四棱锥中，底面是正方形，若，证明：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
2、（2021·河南高三）如图，在三棱柱中，，，，，证明：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以，同理，又，平面,
所以平面,又平面，
所以平面平面.
【变式训练】
1、（2021·湖南）如图，在四棱锥中，底面为正方形，且底面.
（1）求证：平面平面；
（2）若为棱的中点，在棱上求一点F，使平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）点F为棱的中点（证明见解析）
【解析】（1）证明：因为底面，平面,所以；
又底面为正方形，所以,,所以平面,
又平面，所以平面平面,得证.
（2）如图所示，取的中点,的中点,连接、、,
所以会有,,又,,
所以且,
所以四边形为平行四边形，
所以,面,面,
所以平面平面,
所以点，即为我们要找的F点.
2、（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且，证明：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】因为底面，平面，所以，
又，，所以平面，
而平面，所以平面平面．
考点8 垂直问题（垂直中动点问题）
【例5】1、（2021·湖南）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.
【解析】（1）取中点，连接，，
在中，因为，分别是，中点，
所以，且，
在平行四边形中，因为是的中点，
所以，且，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）在线段上存在点，使得平面，
取的中点，连，连，
因为平面，平面，平面，
所以，，
在中，因为，分别是，中点，所以，
又由（1）知，所以，，
由得平面，
故当点是线段的中点时，平面.此时，.
2、（2021·北京高考模拟（文））如图，在四棱锥中，平面，， ，，，，为侧棱上一点.
（1）若，求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，,理由见解析.
【解析】
（1）设，连结，
由已知，，,得
.由,得.
在中，由，得.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以.
在直角梯形中，因，
故，，因，
所以.所以.又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（3）在平面内作于点，则即为所求的点，
由，，，
得平面.因为平面，所以.又，
所以平面.
由，，，得.
【变式训练】
1、（2021·山西高三月考）如图，在直三棱柱中，，点分别为和的中点.，）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由
【答案】存在点满足题意，且，证明详见解析
【解析】存在点满足题意，且.
证明如下：
取的中点为，连接.
则，所以平面.
因为是的中点，所以.
在直三棱柱中，平面平面，且交线为，
所以平面，所以.
在平面内，，，
所以，从而可得.
又因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
2、（2021·上海）如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱和的中点，交于，试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论；
【答案】中点；见解析
【解析】在棱上取中点，连、．
平面，以．
在正方形中，因为、分别为、的中点，
又因为平面，所以，所以，平面

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