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苏教版（2019）高中数学一轮复习第15讲《平面向量的概念和运算》（解析版）
【知识梳理】
平面向量 基本概念 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模
向量 长度为，方向任意的向量【与任一非零向量共线】
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量
相反向量 长度相等且方向相反的向量
向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是，的夹角记为
投影 ，叫做在方向上的投影【注意：投影是数量】
重要法则定理 平面向量 基本定理 不共线，存在唯一的实数对，使。若为轴上的单位正交向量，就是向量的坐标
一般表示 坐标表示
共线条件 （共线存在唯一实数，
垂直条件
线性运算 加法 运算 法则 的平行四边形法则、三角形法则
算律 ， 与加法运算有同样的坐标表示
减法 运算 法则 的三角形法则
分解
数乘 运算 概念 为向量，与方向相同， 与方向相反，
算律 ，， 与数乘运算有同样的坐标表示
数量积运算 概念
主要性质 ， ，
运算律 ，， 。 与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法
二级结论 三点共 线定理 对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝m＋n(x，y∈R)，则P，A，B共线 m＋n＝1
定比分点 坐标公式 设，，是线段的分点, 且,是实数，则 则 。 中点坐标公式
三角形 “四心“ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c： (1)是的重心 (2)为的垂心 (3)为的内心 (4)为的外心
二、【真题再现】
1、(2022全国甲卷理)设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．故答案为：．
2、(2022全国甲卷文)已知向量．若，则______________．
【答案】
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.故答案为：.
3、(2022全国乙卷理)已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，又∵
∴9，∴，故选：C.
三、【考点精讲】
考点1 基本概念辨析
【例1】1、（2021·全国高三专题练习）设为单位向量，下列命题中：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则，假命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3．故选：D
2、（2021·全国高三月考（文））对实数、和向量，，，正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】对于A：由数乘向量的性质可知：，故A正确；
对于B：表示与平行的某个向量，表示与平行的某个向量，显然不一定相等，故B错误；
对于C：当或时， ，显然成立，但不成立，故C错误；
对于D：当时，成立，但不一定成立，故D错误；故选：．
【变式训练】
1、（2021·全国高三专题练习（理））判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因向量共线，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，则是假命题，①不正确；因模相等的向量，方向不一定相同，即若，则是假命题，②不正确；
因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，则是假命题，③不正确；由相等向量的定义可知：若，则是真命题，④正确，
所以，正确命题的个数是1.故选：A
2、（2021·全国）下列命题中，正确的个数是（ ）
①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
②若||＝||，则＝或＝－；
③若 (λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若，则与共线．
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【解析】①错误，如在 ABCD中，，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；
②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；
③错误，若 (λ为实数)，则λ＝0或；
④错误，当λ＝μ＝0时，＝0，但与不一定共线．故选：A
3、（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是　　
A．若向量，共线，则向量，的方向相同
B．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
C．中，D是BC中点，则
D．若，则使
【答案】C
【分析】根据向量共线的定义，可知错误；选项忽略了零向量的情况，所以错误；选项可通过向量加法运算得到，所以正确.
【详解】选项：共线，则向量方向相同或相反，可知错误；
选项：和共线即，则未必在同一条直线上，可知错误；
选项：根据向量线性运算中的加法运算法则，可得，可知正确；
选项：若为非零向量，为零向量，则，此时不存在，使得，可知错误，本题正确选项：
考点2 线性运算
【例2】1、（2021·江西上高二中（文））如图，向量（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·三亚华侨学校高三月考）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）A
【解析】（1）由图可得，所以故选：D
（2）连结，则为的中位线，
，
故选：A
3、（2021·全国）在平行四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画出图形，如图所示：
.故选：A.
4、（2021·四川射洪中学高三月考（理））已知，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得故选：C
5、（2021·深圳市第七高级中学高三月考）已知向量， ，若则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【解析】由向量，，
∴，所以，
∴，∴，即.故选：B
【变式训练】
1、（2021·新疆高三（文））如图，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图知：，，则.
故选：A
2、（2021·陕西宝鸡·（文））如图，向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示，.
故选：D.
3、（2021·全国高三月考（理））已知平面上四点，，，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
因为，
故，故选项D正确.
故选：D.
4、（2021·全国高一课时练习）化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
故选：D.
5、（2021·海南昌茂花园学校高三月考）已知向量，，且，则的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．1
【答案】D
【解析】由题意，．故选：D．
6、（2021·全国高三专题练习）已知向量，则（ ）
A． B．2
C． D．50
【答案】A
【解析】由已知，，所以，故选：A.
考点3 共线问题
【例3】1、（2021·全国高三专题练习）已知向量且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
2、（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）向量不共线，点P、Q、S共线，已知，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A （2）D
【解析】（1）由，
可得，所以共线，所以A正确；
因为和，显然三点不共线，所以B错误；
由，，显然三点不共线，所以C错误；
又由，，显然三点不共线，所以D错误.故选：A.
（2）因为，又因为点P、Q、S共线，所以，所有，因此，
故，解得，故选：D.
3、（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.
【详解】对于A选项，
，故A选项正确；
对于B选项，因为B，F，D三点共线，设，由，所以存在唯一实数，使得，结合A可知，，因为不共线，所以，所以，故B选项正确；
对于C选项，结合B，，故C选项错误；
对于D选项，结合B，，故D选项正确. 故选：ABD.
4、（2021秋 辽宁期末）如图，在△AOB中，，，AD与BC相交于点M，设，．
（1）试用，表示向量；
（2）在线段AC上取一点E，在BD上取一点F，使得EF过点M，设λ，μ，求λ+μ的最小值．
【分析】（1）根据A，M，D 三点共线和E，M，F三点共线可得，根据向量相等可得λ1，λ2的值，从而表示出；
（2）由E，M，F三点共线，可得，由基本不等式可得λ+μ的最值．
【解答】解：（1）由A，M，D 三点共线可知，存在实数 λ1 使得，
由B，M，C三点共线可知，存在实数λ2，使得，
由平面向量基本定理知，
解得，所以．
（2）若，则，
又因为E，M，F三点共线，所以，
所以λ+μ＝（λ+μ）（），
由题意可知，0＜λ＜1，0＜μ＜1，
所以，
当且仅当，即μ2＝3λ2时，等号成立，
所以λ+μ的最小值为．
【变式训练】
1、（2021·全国（文））在中，，P为BD上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知B，P，D三点共线，所以，所以，， 故选D．
2、（2021·全国高三（理））在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，
∵，
∴，
∵B，D，E三点共线，∴，∴．故选：D．
3、（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知两个非零向量，互相垂直，若向量，共线，则实数λ的值为（ ）
A．5 B．3
C． D．2
【答案】C
【解析】因为，是非零向量，且互相垂直，所以，
因为共线，所以当且仅当有唯一一个实数，使，即，
所以，又因为，不共线，所以.故选：C.
4、如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.
（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值.
（1）；（2），.
解：由题意得，，所以，
（1）因为，，
所以
.
（2）由（1）知，而
而
因为与不共线，由平面向量基本定理得
解得
所以，即为所求.
考点4 平面向量基本定理
【例4】1、（2021·全国高三专题练习）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
B． C．1 D．
2、（2021·全国高三专题练习（理））已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）D
【解析】（1）由平面向量基本定理，
化简
，
所以，即，故选：A．
（2）根据题意，设AB的中点为D，是等边三角形，则，
AB的中点为D，则，
又由，则，则O是CD的中点，
又由的边长为4，则，，则，
则，故选：D．
3、（2021·四川射洪·高三（文））已知是不共线向量，设，，，，若△的面积为3，则△的面积为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】∵，，，，
如图，在平行四边形中，
，
设，则，即
同理，在平行四边形中，
，
可得，，∴，；
所以与的夹角为或其补角，
则
∴的面积为8，故选：A
4、（2022·重庆·模拟预测）已知中，在方向上的投影为为的中点，为的中点，则下列式子有确定值的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【分析】如图，以为原点，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系，根据题意设出点的坐标，然后逐个计算即可
【详解】如图，以为原点，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系，
因为在方向上的投影为3，
所以点的横坐标为5，设点坐标为，
，
因为为的中点，为的中点，
所以，,
对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D错误，
故选：AC
【变式训练】
1、（2021·江西省）如图，在中，，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2、（2021·天水市第一中学高三月考（理））如图所示，在中，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
故选：B
3、（2021·湖北）在中，，点D在上，，，则（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16.
【答案】C
【解析】在中，因为，
所以，
所以.
故选：C．
4、（2021·上海黄浦·卢湾高级中学高三月考）已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．
C．2 D．1
【答案】B
【解析】如下图所示，、分别是、中点，
由
得即，所以，
由，，设，，则，，由三角形相似比可得，解得，
因为，所以，即，所以，
所以，即的面积与的面积之比是故选：B.
考点5 平面向量的数量积
【例5】1、（2021年全国高考甲卷）若向量满足，则_________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵∴
∴.故答案为：.
2、（2022河北省沧州市高三9月教学监测）如图，中，，，分别是的三等分点，若，则（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 6
【答案】D
【分析】以为基底，表示出，根据数量积公式代入数据化简即可.
【详解】由题意得，
，所以.
所以
，故选:D
3、（2021·江苏扬州·高三月考）已知向量，满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得即，设向量，夹角为，则，
由数量积的定义可得：，因为，所以，
所以，当时，显然成立；当时，可得，
因为，所以，因为，所以，即，可得，
所以，所以的取值范围是：，故选：B.
4、（2021·全国高三月考（理））已知在中，，，点是边上的动点，则当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，.
，则当时，取得最小值，此时
，.故选：
5、（2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】连接CE，由正八边形的性质与余弦定理求出AC，再由对称性得到AC与AE的关系，从而根据向量的数量积的运算公式求得结果.
【详解】连接CE，因为正八边形ABCDEFCH的每一个内角都是135°，且，
所以,
由正八边形的对称性知，且，所以，
则，
故选:D.
【变式训练】
1、（2021年全国高考乙卷）已知向量，若，则__________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
2、（2022贵州省贵阳第一中学高三月考卷）已知向量，且，则（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】D
【分析】利用列方程，化简求得
【详解】因为，，所以，又因为，所以，化简得.
故选：D
3、（2021·福建南平市·）已知单位向量，的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，故.故选：C.
4、（2021·重庆北碚·西南大学附中高三月考）在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，即，取中点D，即，则
又BD是中线，所以是等腰三角形，BA=BC.由，即，
，则，
由，则，所以.故选：C．
5、（2022·辽宁大东·模拟预测）中，，D为AB的中点，，则（ ）
A. 0 B. 2 C. -2 D. -4
【答案】A
【分析】取为基底，表示出即可求解.
【详解】在中，D为AB的中点，，取为基底，
所以,
.
所以.
因为，，所以.
即.
故选：A苏教版（2019）高中数学一轮复习第15讲《平面向量的概念和运算》（原卷版） ）
【知识梳理】
平面向量 基本概念 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模
向量 长度为，方向任意的向量【与任一非零向量共线】
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量
相反向量 长度相等且方向相反的向量
向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是，的夹角记为
投影 ，叫做在方向上的投影【注意：投影是数量】
重要法则定理 平面向量 基本定理 不共线，存在唯一的实数对，使。若为轴上的单位正交向量，就是向量的坐标
一般表示 坐标表示
共线条件 （共线存在唯一实数，
垂直条件
线性运算 加法 运算 法则 的平行四边形法则、三角形法则
算律 ， 与加法运算有同样的坐标表示
减法 运算 法则 的三角形法则
分解
数乘 运算 概念 为向量，与方向相同， 与方向相反，
算律 ，， 与数乘运算有同样的坐标表示
数量积运算 概念
主要性质 ， ，
运算律 ，， 。 与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法
二级结论 三点共 线定理 对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝m＋n(x，y∈R)，则P，A，B共线 m＋n＝1
定比分点 坐标公式 设，，是线段的分点, 且,是实数，则 则 。 中点坐标公式
三角形 “四心“ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c： (1)是的重心 (2)为的垂心 (3)为的内心 (4)为的外心
二、【真题再现】
1、(2022全国甲卷理)设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
2、(2022全国甲卷文)已知向量．若，则______________．
3、(2022全国乙卷理)已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
三、【考点精讲】
考点1 基本概念辨析
【例1】1、（2021·全国高三专题练习）设为单位向量，下列命题中：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则，假命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
2、（2021·全国高三月考（文））对实数、和向量，，，正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【变式训练】
1、（2021·全国高三专题练习（理））判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、（2021·全国）下列命题中，正确的个数是（ ）
①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
②若||＝||，则＝或＝－；
③若 (λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若，则与共线．
A．0 B．1
C．2 D．3
3、（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是　　
A．若向量，共线，则向量，的方向相同
B．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
C．中，D是BC中点，则
D．若，则使
考点2 线性运算
【例2】1、（2021·江西上高二中（文））如图，向量（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·三亚华侨学校高三月考）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·全国）在平行四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
4、（2021·四川射洪中学高三月考（理））已知，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5、（2021·深圳市第七高级中学高三月考）已知向量， ，若则（ ）
A． B．5 C． D．
【变式训练】
1、（2021·新疆高三（文））如图，则（ ）
A． B．
C． D．
2、（2021·陕西宝鸡·（文））如图，向量（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·全国高三月考（理））已知平面上四点，，，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4、（2021·全国高一课时练习）化简（ ）
A． B． C． D．
5、（2021·海南昌茂花园学校高三月考）已知向量，，且，则的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．1
6、（2021·全国高三专题练习）已知向量，则（ ）
A． B．2
C． D．50
考点3 共线问题
【例3】1、（2021·全国高三专题练习）已知向量且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
2、（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）向量不共线，点P、Q、S共线，已知，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
3、（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4、（2021秋 辽宁期末）如图，在△AOB中，，，AD与BC相交于点M，设，．
（1）试用，表示向量；
（2）在线段AC上取一点E，在BD上取一点F，使得EF过点M，设λ，μ，求λ+μ的最小值．
【变式训练】
1、（2021·全国（文））在中，，P为BD上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·全国高三（理））在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知两个非零向量，互相垂直，若向量，共线，则实数λ的值为（ ）
A．5 B．3
C． D．2
4、如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.
（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值.
考点4 平面向量基本定理
【例4】1、（2021·全国高三专题练习）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
B． C．1 D．
2、（2021·全国高三专题练习（理））已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·四川射洪·高三（文））已知是不共线向量，设，，，，若△的面积为3，则△的面积为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
4、（2022·重庆·模拟预测）已知中，在方向上的投影为为的中点，为的中点，则下列式子有确定值的是（ ）
A. B. C. D.
【变式训练】
1、（2021·江西省）如图，在中，，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2、（2021·天水市第一中学高三月考（理））如图所示，在中，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·湖北）在中，，点D在上，，，则（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16.
4、（2021·上海黄浦·卢湾高级中学高三月考）已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．
C．2 D．1
考点5 平面向量的数量积
【例5】1、（2021年全国高考甲卷）若向量满足，则_________.
2、（2022河北省沧州市高三9月教学监测）如图，中，，，分别是的三等分点，若，则（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 6
3、（2021·江苏扬州·高三月考）已知向量，满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、（2021·全国高三月考（理））已知在中，，，点是边上的动点，则当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
5、（2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若，则（ ）
A. B. C. D.
【变式训练】
1、（2021年全国高考乙卷）已知向量，若，则__________．
2、（2022贵州省贵阳第一中学高三月考卷）已知向量，且，则（ ）
A． B． C．2 D．-2
3、（2021·福建南平市·）已知单位向量，的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4、（2021·重庆北碚·西南大学附中高三月考）在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、（2022·辽宁大东·模拟预测）中，，D为AB的中点，，则（ ）
A. 0 B. 2 C. -2 D. -4

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