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函数的单调性的判定及应用
一、基础知识：
1、对单调性的理解：（1）它是一个区间概念；（2）由函数单调性的定义知，可以正反互推；（3）函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式；（4）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。
2、常见函数的单调性：
①一次函数.当时，是这个函数的单调增区间；当时，是这个函数的单调减区间.
②反比例函数.当时，和都是这个函数的单调减区间，当时，和都是这个函数的单调增区间.
③二次函数.当时是这个函数的单调减区间，是它的单调增区间；当时是这个函数的单调增区间，是它的单调减区间；
④指数函数.当时，是这个函数的单调增区间，当时，是这个函数的单调减区间.
⑤对数函数. 当时，是这个函数的单调增区间，当时，是它的单调减区间.
⑥对勾函数: 增区间为：，
减区间为：；
3、单调性的判定法：
①定义法:即（1）设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x＜x；（2）判定f(x)与f(x)的大小；（3）作差比较或作商比较.
②图象法:
③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）:
④复合函数单调性判断法则：
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。
⑤导数法
二、题型：
（一）判断或证明函数的单调性：
1．如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是（ C ）
2. 给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是（ C）
A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④
3．已知定义在R上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，有．
（1）利用奇偶性的定义，判断的奇偶性；
（2）利用单调性的定义，判断的单调性；
（3）若，解不等式．
解析：（1）令，得，得．将“y”用“”代替，得，即，∴为奇函数．
（2）设、，且，则．
∵，∴，∴，即，∴在R上是增函数．
（3）=6，∴。
不等式即为，
∵是R上的增函数，于是，解之得。
（二）求函数的单调区间：
1．求函数的单调递增区间．
解：∵y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示：
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
2.函数的单调减区间为
（三）函数单调性的应用：
Ⅰ、求值或求参数的取值范围：
1.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
解：
要使函数在上单调递增，则，解得
2.若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是
简解：由已知可得，若函数的单调递增区间是 和
又因为函数在区间单调递增，所以或，解得或，
3．已知函数 在区间上是增函数，求实数的范围。
解：令=.因为，所以要使在上是增函数，只要在上是减函数，且>0借助二次函数的图象，有
解得：
评注：依函数的的单调性得到关于的不等式组是解决本题的关键。
4.已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 3
略解：由题意，，解得或
当时，幂函数，在区间上单调递减，不符合题意；
当时，幂函数，在区间上单调递增，符合题意；
5．已知函数 满足条件，对任意在，都有
，求实数的取值范围。
（简析：可将变形为）
6.已知函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围为( C )
A. B. C. D.
解析：因为在上单调递减函数,所以,
即,解得,故选C.
Ⅱ、比较大小：
1. 若，，，则a，b，c的大小关系为( B )
A. B. C. D.
【详解】因为，由指数函数单调递增，且可得，且，又因为，所以.故选：B.
【点睛】本题主要考查指数式，对数式比较大小，指数式的大小比较一般是化为同底数来进行，不同类的数值比较一般采用介值法进行，侧重考查数学抽象的核心素养.
2.已知，，，则、、的大小关系为（ A ）
A. B. C. D.
略解：，，
3. 已知，，，则，，的大小关系为（ C ）
A. B. C. D.
略解：，，，，
又因，，
4.已知，已知，，，则（ B ）
A. B.
C. D.
略解：是偶函数，且在上是减函数
又，，
5．已知函数且， ，，则
的值（A）
A．一定大于0； B．一定小于0； C．等于0； D．正负都有可能。
Ⅲ、解方程、不等式：
1. 奇函数满足，且在上单调递减，则的解集为（ B ）
A. B.
C. D.
提示：因为是奇函数，所以可变形为
所以或，又且在上单调递减
结合图象可知选B
2.设函数，则满足不等式的的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
提示：分类讨论或单调性,须注意定义域
3.已知函数，若，则实数的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
简析：用函数的奇偶性及单调性即可
4.已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集为
略解：因是偶函数，当时，，则时，
又因是偶函数，所以
则可化为
即，，，
5.已知函数，则满足不等式的的取值范围是
略解：令，则
，即
又的定义域为，且奇函数，在上为减函数
，解得
6. 已知函数，若，则的取值范围为
提示：易证是偶函数，再借助单调性即可。
7．已知定义在区间上的函数满足，且当时，.
（1）求的值；
（2）判断的单调性并予以证明；
（3）若，解不等式.
解:（1）令，代入得，故.
（2）任取，且则，由于当时，,
所以,即，因此.
所以函数在区间上是单调递减函数.
(3) 由得，而，所以.
由函数在区间上是单调递减函数，且，
得，因此不等式的解集为.
Ⅳ、求值域和最值：
1．函数的值域为__ (－∞，3) ___．
2．已知函数,若且，，则的取值范围是( C )
(A) (B)(C) (D)
【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=
又0f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
3.若函数的定义域和值域都是，则=（ B ）
A. B. C. D.
略解：对分和两种情况讨论，然后利用函数的单调性确定对应关系得
4.已知函数的值域为，则的取值范围是
略解：，在的值域为
在时，最大值必须大于等于0，即满足：，解得

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