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导数的综合应用(一)
---利用导数处理函数图像交点、方程的根、函数零点问题
研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题思路，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识．
一、讨论函数图像交点、方程的根、函数零点个数问题：
（一）讨论函数图像交点个数问题
1. 曲线函数与直线的交点个数（ C ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：令，则，解得，，
，，，，在处取得极小值，极小值为
当，，当，，画出函数图象知选C
（二）讨论方程的根的个数问题
1．已知函数，则关于的方程的实根个数（　　）
A．3 B．3或4 C．4或5 D．3或5
【分析】先利用导数研究函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，令，则，由可知方程有两个不相等的实根．设为，
由韦达定理得：，，不妨设，对的大小分情况讨论，结合函数的图象即可判断关于的方程的实根个数．
解：∵函数，，
∴，
令得：或，
∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
又，，
∴函数的大致图象，如图所示：
，
令，则关于的方程变为，
∵，∴方程有两个不相等的实根．设为，
由韦达定理得：，，不妨设，
①当时，∵，∴，此时关于的方程的实根个数为3个，
②当，∵，∴，此时关于的方程的实根个数为3个，
③当，∵，∴，此时关于的方程的实根个数为3个，
综上所述，关于的方程的实根个数为3个，故选：A．
（三）讨论函数零点及零点个数问题
1.定义在的函数满足,则的零点是____．
【解析】令,则,
又,所以,则函数为常函数, 又 ,
所以,令,所以.
2.二次函数的最小值为，且关于的不等式的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的零点个数.
【解析】（1）是二次函数, 且关于的不等式的解集为,
, 且.
, ,
故函数的解析式为
(2)
,
,,的取值变化情况如下：
(0,`1) 1 (1,2) 2
+ - +
单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加
当时,
故函数只有1个零点,且零点
二、由函数图像交点、方程的根、函数零点个数求字母的值或范围问题：
（一）由函数图像交点个数求字母的值或范围问题
1.已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围
略解：关于直线对称的直线为
所以直线与在上有交点，
所以方程在上有解，
所以方程在上有解，
设，则，令，则
则当时，，则在上是减函数
所以当时，，
（二）由方程根的个数求字母的值或范围问题
1.已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围（ C ）
A. B. C. D.
略解：方程在上有两个不等的实数根，
即为方程在上有两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实数根，
设，，则，
则，
结合图象可知
2.已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________.
【分析】由方程可解得或；分析函数的单调性与极值，画出的大致图像，数形结合即可得到满足4个根时的的取值范围．
【详解】解方程得，或；
又当时，，；
故在上单调递减，在上单调递增；且，
当时，，,
所以在上是增函数，画出的大致图像：
若有四个不相等的实数解，则有一个根记为，
只需使方程有3个不同于的根，则；即；
故答案为
【点睛】本题考查了利用导数研究方程根的问题，考查了函数的单调性、极值与图像的应用，属于中档题．
（三）由函数零点个数求字母的值或范围问题
1.若函数有且仅有1个零点，则实数的取值范围为_____或___．
【分析】令，参变分离得，令，对求导得函数的单调递增区间为,单调递减区间为，，，，由题意得函数与直线有且仅有一个交点，即可得出的取值范围．
【详解】令，可得：，令，
，令，解得x＝0或1，
x （﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
﹣ 0 + 0 ﹣
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
由表格可得：，，
且，.
由f（x）有且仅有一个零点，转化为函数h（x）与直线y＝a有且仅有一个交点．
∴当或时，函数h（x）与直线y＝a有且仅有一个交点．
故答案为：或
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的零点转化为图象的交点问题，也考查了分析推理转化解决问题与计算的能力，属于中档题．
2. 如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为________.
【分析】求出的零点2，设的零点，再根据题意求出，由，分离参数可得，设，利用导数求出函数的最值，确定函数的值域即可求解.
【详解】函数有唯一的零点2，
由题意知函数的零点满足，即.
因为，所以，
设，则，，
当时，，是增函数；
当时，，是减函数，
所以，又，，
所以实数的取值范围为. 故答案为：.
3. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

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