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多面体与球切、接问题的求解策略
一、解决多面体与球相接问题的方法：
（一）确定球心位置法：
1.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为__________．
【解析】作图，取中点，由条件易证，所以是两个直角三角的公共斜边，根据直角三角形斜边中点的性质知,所以是外接球的球心，因为，，所以，，所以，．
点睛：本题已知三棱锥底面为直角三角形，求三棱锥外接球的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的内接多面体等知识，属于中档题．解决此类问题的关键是找球心，求半径，本题根据两个共斜边的直角三角形的斜边中点性质，很容易得到到四个球上点等距离的点，即找到球心是斜边中点，即可解决问题．
2．正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若该四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为________．
解析：如图所示，取下底面正方形的中心，设球心为，球半径为，则，，，∴．
∵，∴．解之得．∴．
3.已知四面体的所有顶点都在球的表面上，，，，平面平面，则球的体积为
（利用确定球心的方法）取的中点，则球心在上，
则，，设，则，
由得，解得，
4．已知四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，，若四棱锥外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
解：如图，
设矩形的中心为，三角形的外心为，分别过、作所在平面的垂线，交于，则为四棱锥外接球的球心，
设，又，可得，，
∴．
∵四棱锥外接球的体积为，，解得：．
，
∴该四棱锥的表面积为．故选：B．
5. 在三棱锥中，平面，，，其外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为________.
【分析】设的外心为点，外接球的球心为，过点作于点，令，，由得，所以，利用导数求解体积的最大值.
【详解】如图所示，
令，，则，外接球表面积为，
所以半径，
在中，，即，
即，得，
所以体积，
令，，在上单调递增，在上单调递减，
所以时，的最大值为. 故答案为：
【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.
（二）公式法：
1．已知三棱锥的各顶点都在同一个球面上，且平面，若该棱锥的体积为1，且 ，，，则此球的表面积等于（ D ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】因为，，，由可得.又，
因为平面，该棱锥的体积为1，所以，
设外接圆的半径为，则，，
所以球的半径, 球的表面积 选D
2.已知三棱锥的体积为，底面，且的面积为4，三边的乘积为16，则三棱锥的外接球的表面积为　　．
【分析】设外接圆半径为，设三棱锥球半径为，由正弦定理，求出，再由勾股定理得，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．
解：设的外接圆的半径为，则，解得
∵三棱锥的体积为，底面，且的面积为4．
∴，∴
如图，设球心为，为的外接圆的圆心，则
则三棱锥的外接球的半径．
三棱锥的外接球的表面积为4πR2=8π．故答案为：
3. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上。若球的表面积为16π，则到平面的距离为（ C ）
A. B. C. 1 D.
【解析】设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形，，解得：，，
球心到平面的距离.
4. 设是同一个半径为6的球的球面上四点，且是边长为9的正三角形，则三棱锥体积的最大值为( D )
A. B. C. D.
解：设是同一个半径为6的球的球面上四点，且是正三角形
则
设球心为，的外心为，显然在的延长线与球的交点，如图
，
则三棱锥高的最大值为：
则三棱锥体积的最大值为
（三）多面体几何性质法：
1.已知四面体中，，，，⊥平面，则四面体的外接球半径为(　A　)
A． B． C． D．
解：由题意，已知⊥平面，，，
所以，由勾股定理得到：，
所以，为等边三角形，为等腰三角形
等边所在的小圆的直径
那么，四面体的外接球直径，所以，
2.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ D ）
A． B． C． D．
【分析】设，由的面积为2，得，进而得到外接圆的半径和到平面的距离为，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解.
【详解】如图所示，设，由的面积为2，得，
因为，外接圆的半径，
因为平面，且，所以到平面的距离为，
设球的半径为，则，
，当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D.
小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
3.已知、、、为空间不共面的四个点，且，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
略解：令三棱锥的底面为，记到平面的距离为，
，要使达到最大，则要最大，要最大，
易得：当底面为时，可达到最大，即
又，为等腰三角形，
法1（用不等式）：记为的中点，则，
令，则，
，
当且仅当时，即，时，最大，
此时，为等腰直角三角形
法2：用
然后利用性质即可求得外接球的半径为，
则外接球的表面积
（四）补形法
1.如图，边长为2的正方形中，点、分别是、的中点，将，，分别沿，，折起，使得、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（　B　）
A. B. C. D.
【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．
解：由题意可知是等腰直角三角形，且平面．
三棱锥的底面扩展为边长为1的正方形，
然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：．
∴球的半径为，∴球的表面积为.故选：B．
【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．
2.已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（ A ）
A． B． C. D．
【解析】由题意画出几何体的图形如图，
把扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
， 是正三角形，
所以. .
所求球的体积为： 故选A.
（五）寻求轴截面圆半径法
1.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .
解：设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图所示.
∴由球的截面的性质，可得.
又，∴球心必在所在的直线上.[
∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.[
在中，由，得.
是以为斜边的直角三角形.
∴是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.
小结:根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
2.已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（ A ）
A. 1 B. C. D. 2
【分析】设球心到底面距离为，通过正四棱锥的对角面求出棱锥的高，与底面边长，计算出体积后，利用导数的知识求出最大值，得出结论．
【详解】如图，是正四棱锥的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，是圆心（球心），
设正四棱锥底面边长为，则，，设，
则由得，，，，
，
， 当时，，递增，时，
，递减，∴时，取得极大值也是最大值．
此时高，，．故选：A．
【点睛】本题考查导数的实际应用，解题关键是引入变量，把棱锥体积表示为的函数，利用导数求得最大值．
二、多面体与球相切问题
1.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为__________．
【解析】设该阳马的外接球与内切球的半径分别为与，
则,即.
由得.
所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为.
2.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______．
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，
由于，故，设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：.
3.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为
略解：设圆锥底面半径为，球的半径为，由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以，
，
所以球与圆锥的表面积之比为

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