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【配套新教材】（3）函数的概念与基本初等函数
——2023届高考数学一轮复习巧刷易混易错
【知识点梳理】
1.如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有单调性，区间D叫做函数的单调区间.
2.
前提 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足.
条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. （3）对于任意的，都有； （2）存在，使得.
结论 M为最大值 M为最小值
若函数在闭区间上是增函数，则，；若函数在闭区间上是减函数，则，.
3.奇函数、偶函数的概念及图象特征：
奇函数 偶函数
定义 定义域 函数的定义域关于原点对称
对于定义域内任意的一个x
与的关系 都有 都有
结论 函数为奇函数 函数为偶函数
图象特征 关于原点对称 关于y轴对称
4.函数周期性的常用结论：
若对于函数定义域内的任意一个x都有：
（1），则函数必为周期函数，是它的一个周期；
（2），则函数必为周期函数，是它的一个周期；
（3），则函数必为周期函数，是它的一个周期.
5. 若二次函数恒满足，则其图象关于直线对称.
6.对幂函数，当时，其图象经过点和点，且在第一象限内单调递增；当时，其图象不过点，经过点，且在第一象限内单调递减.
7.指数函数图象可解决的两类热点问题及思路：
（1）求解指数型函数的图象与性质问题
对指数型函数的图象与性质问题（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.
（2）求解指数型方程、不等式问题
一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.
8.比较对数的大小：
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；
（2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
（3）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
9.函数图象的识别：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性（有时可借助导数判断），判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；
（5）从函数的特殊点（与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等），排除不合要求的图象.
10.判断函数零点个数的常用方法：
（1）直接法.令，则方程实根的个数就是函数零点的个数.
（2）零点存在的判定方法.判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数.
（3）数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题（画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数）.
11.根据函数零点求参数范围的一般步骤为：
（1）转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况.
（2）列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式.
（3）结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.
【提升练习】
1.已知，函数若，则实数a的值为( ).
A.3 B.1 C.-4 D.2
2.设a，b，c均为正数，且，则( )
A. B.
C. D.
3.函数的部分图像可能是( )
A. B.C. D.
4.已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点(1，0)对称，当时，，则的值为( ).
A.-2 B.-1 C.0 D.1
5.已知函数有4个不同的零点，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. (多选)已知定义域为R的奇函数，当时，，则下列结论正确的是( )
A.对任意且，恒有
B.对任意，恒有
C.函数与的图象共有4个交点
D.若的最大值为-1，则
7. (多选)关于函数，下列选项中正确的是( ).
A.的定义域为
B.为奇函数
C.在定义域上是增函数
D.函数与是同一个函数
8.里氏震级是1935年美国地震学家里克特和古登堡提出的一种地震震级标度，计算公式为，其中M是里氏震级，A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅.规定在距离震中100千米处地震仪记录到的最大振幅为1微米的地震为“标准地震”的振幅，即(单位：微米).现从距离震中100千米处观测地震，若地震仪记录到的最大振幅为10000微米，则里氏震级为__________级；里氏震级为8.3级的地震，在距离震中100千米处的地震仪上记录的最大振幅约是_________微米.(参考数据：)
9.已知函数若关于x的方程有两个不同的实根，则实数m的取值范围是______________.
10.若定义在上的函数满足对于任意的且，都有，且，则不等式的解集为__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由函数可得，则，解得.故选D.
2.答案：A
解析：因为a，b，c均为正数，所以由指数函数和对数函数的单调性得，，，所以.故选A.
3.答案：A
解析：因为，所以函数的定义域为R.又，所以函数是偶函数，故可排除B，D选项；因为，所以排除C选项.故选A.
4.答案：C
解析：因为是R上的偶函数，所以，又的图象关于点(1，0)对称，则，所以，则，得，即，所以是周期函数，且周期，当时，，则，，则，则.
5.答案：B
解析：当时，，，可得在上单调递减，在上单调递增，且，所以的大致图象如图所示，由，解得或.由的图象可知，当时，有1个根，所以要有3个根，故实数m的取值范围为，故选B.
6.答案：BD
解析：由题意，定义域为R的奇函数，当时，
作出函数的图象，如图所示，
不妨设，结合图象可得，，此时，故，所以A错误;
当时，函数为“凹函数”，所以满足对任意，恒有，所以B正确；
结合图象，可得函数的图象与直线共有5个交点，所以C错误;
若，当时，可得;当时，令，解得，因为函数为奇函数，所以，要使得当时，的最大值为-1，可得，即，所以D正确.故选BD.
7.答案：BD
解析：由题意，是，解得，所以函数的定义域是(-1，1)，所以A错误.
由A知函数的定义域为(-1，1).故的定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，所以B正确.
函数在定义域上是减函数，证明如下:任取，且，
则，因为，且，所以，可得，所以，即，所以，故函数
在定义域上是减函数，所以C错误.
函数的定义域为(-1，1)，且，故函数与是同一个函数，所以D正确.故选BD.
8.答案：4；
解析：当，时，.
当时，，又，所以，解得.
9.答案：
解析：由题意作出函数的图像，如图所示.
则关于x的方程有两个不同的实根等价于函数的图像与直线有两个不同的交点，
由图像可知当时，满足题意，故答案为.
10.答案：(0，2)
解析：不妨设任意的，因为，所以，则，所以在内单调递减，不等式等价于，又，所以等价于，又因为在内单调递减，所以，即不等式的解集为(0，2).

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