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【配套新教材】（6）数列
——2023届高考数学一轮复习巧刷易混易错
【知识点梳理】
1.等差数列通项公式：.
2.等差中项公式：.
3.等差数列前n项和公式：.
4.等差数列的性质：
已知数列是等差数列，是的前n项和.
（1）若，则有.
（2）等差数列的单调性：当时，是递增函数；当时，是递减函数；当时，是常数列.
（3）若是等差数列，公差为d，则是公差为的等差数列.
（4）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，其公差是的公差的.
（5）若是等差数列，分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则成等差数列，公差为（d为数列的公差）.
5.等比数列通项公式：.
6.等比中项公式：.
7.等比数列前n项和公式：.
8.等比数列的前n项和的性质：
（1）当（或且k为奇数）时，是等比数列.
（2）若，则成等比数列.
（3）若数列的项数为2n，与分别为偶数项与奇数项的和，则；若项数为，则.
9.数列求和的方法：
（1）公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解.
（2）分组求和法：根据数列或数列通项公式的特征，将其分解为一些可以直接求和的数列（如等差数列、等比数列、常数列等），再分组求和.
（3）错位相减法：在数列中，是等差数列，是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和.
（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和，分式型数列的求和多用此法.
常见的裂项方法：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥若为等差数列，公差为，则.
（5）倒序相加法
已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”.先把求和的式子倒过来写，然后对两个求和的式子进行相加，即可求出该数列的前n项和.
（6）并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和.形如，可采用并项求和法.
【提升练习】
1.已知在正项等比数列中，，且，，成等差数列，则该数列的公比q为( ).
A. B. C.2 D.4
2.已知在等差数列中，，则( )
A.8 B.6 C.4 D.3
3.程大位《算法统宗》里有诗云:“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意思为:996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，之后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止，分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传.则第八个孩子分得棉花的斤数为( )
A.65 B.176 C.183 D.184
4.已知是等比数列的前n项和，且公比，其中，且满足，则下列说法错误的是( )
A.数列的公比为2 B.
C. D.
5.1854年，爱尔兰学者辛克斯在大英博物馆所藏的巴比伦泥版K90上发现了一个记录月相变化的表，此表用15个数字来表示从第1天的新月到第15天的满月的月相(即月亮的可见部分)变化情况，这些数字可以构成一个“月相数列”：前5项构成递增的等比数列，第5-15项构成递增的等差数列.现将这个“月相数列”记为.已知，则( )
A.120 B.144 C.160 D.176
6. (多选)如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则( ).
A. B.
C. D.
7. (多选)已知数列的首项为4，且满足，则( ).
A.为等差数列
B.为递增数列
C.的前n项和
D.的前n项和
8.若数列满足，则称为“梦想数列”.已知数列为“梦想数列”，且，则的通项公式____________.
9.已知等比数列的前n项和，则____________.
10.设是等差数列的前n项和，，，则的最小值为_______________.
11.已知数列的前n项和为，，，.
（1）求；
（2）令，证明：.
12.已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求与；
(2)记，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：C
解析：是正项等比数列，且，，，.
，，成等差数列，，，.
2.答案：D
解析：由题意，设等差数列的公差为d，则，即，所以，故选D.
3.答案：D
解析：根据题意可得每个孩子分得棉花的斤数构成一个等差数列，其中公差，项数，前8项和.由等差数列的前项和公式可得，解得，所以.
4.答案：C
解析：根据题意知等比数列的公比为，记，则，所以解得故，则， ，所以，选项C错误，故选C.
5.答案：C
解析：设所构成的等比数列的公比为，等差数列的公差为，由题意可知，①.
由，可得②.
联立①②，可得，又，所以，
即，解得，则，所以，所以.故选C.
6.答案：ACD
解析：依题意可知，B错误.
由，，，，，
得，A正确.
由，，得，C正确.
由，得，D正确.故选ACD.
7.答案：BD
解析：由得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；因为，，所以，故，故C错误；因为，所以的前n项和，故D正确.
8.答案：
解析：由可得，故是公比为的等比数列，
由数列为“梦想数列”，得是以为首项，3为公比的等比数列，所以，则.
9.答案：98
解析：由题意可知，当时，，.
当时，，.，，，
.
10.答案：4
解析：设等差数列的公差为d，由题意可知解得，.所以，则.易知函数的零点为和，当n接近0或时，取得最小值，又，，，所以当时，取得最小值4.
11.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为，，
所以，
故，即，
所以是首项为，公差为1的等差数列，
故，则.
（2）因为，，
所以.
又符合上式，所以.
因为，
所以
，
所以.
12.答案：(1)；.
(2).
解析：(1)由得，
当时，得；
当时，，
得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.所以.
(2)由(1)可得，
则，
，
两式相减得，
所以
.

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