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专题一：集合与函数
集合（逻辑用语）
1、集合的概念
A. 元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
B．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
C. 常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
表示方法—列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
E．表示方法—描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
2、集合间的基本关系
Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
子集、真子集、集合相等的相关概念
若集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．
(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
注意：空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集．
思考：{0}与 相同吗？
不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则A C； ②若AB，BC，则AC.
(3)若A B，A≠B，则AB.
集合的基本运算
A．并集
1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作
A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2.并集的性质
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A A∪B.
B．交集
1.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
2.交集的性质
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B A.
C．并集与交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪ ＝A A∩ ＝
D．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
思考：全集一定是实数集R吗？
全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
E．补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
充分条件与必要条件
A．充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
(1)相同，都是p q.(2)等价．
B．充要条件
(1)一般地，如果既有p q，又有q p，就记作p q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
(1)正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
全称量词与存在量词
A．全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)．
B．存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”．
思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
C．含有一个量词的命题的否定﹁
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)；
存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
章末综合测评《9题》
一、选择题
1．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪( RB)＝(　　)
A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}
C．{x|12．命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A． x∈R，x3－x2＋1<0 B． x∈R，x3－x2＋1≥0
C． x∈R，x3－x2＋1>0 D． x∈R，x3－x2＋1≤0
3. “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a>1
5．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A B成立的所有a组成的集合为(　　)
A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}
C．{a|a≤7} D．
6．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是(　　)
二、解答题
7、某校高一某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的人数为________人．
8．已知集合,且,则满足条件的实数组成的集合为__________
9．已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
挑战：中档提升《20题》
1．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
2．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．
3．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
4．已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,10}，若－3∈A，则a＝______.
5．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
6．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
7．集合＝{0，a2，a＋b}，则a2 017＋b2 018的值为(　　)
A．0　　　　B．1 C．－1　　　 D．±1
8．若集合M＝，集合N＝，则(　　)
A．M＝N B．N M
C．MN D．以上均不对
9．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q P，那么a的取值是________．
10．集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的取值为________．
11．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A B，求m的取值范围．
12．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
13．设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a14．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪( RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
15．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则 UA＝________.
16．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a17．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　 )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
18、若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　 )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
19．若p：x－3<0是q：2x－320．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
21．下列命题中正确的个数是(　　 )
① x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　 D．3
函数的概念性质、应用
函数的概念及其表示
A．函数的概念
定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 自变量x的取值范围
值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}
思考：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
(1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)是函数符号．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，
B．区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
思考：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
C、函数的表示法
分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
思考：分段函数是一个函数还是几个函数？
分段函数是一个函数，而不是几个函数．
函数的基本性质
1．增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2)
结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图示
思考：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
B．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
思考：函数y＝在定义域上是减函数吗？
不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
利用定义证明函数单调性的步骤
1取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x12作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.
3定号：确定fx1－fx2的符号.
4结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性
C.函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
二次函数在闭区间上的最值
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
对称轴与区间的关系 －＜m＜n，即－∈(－∞，m) m＜－＜n，即－∈(m，n) m＜n＜－，即－∈(n，＋∞)
图象
最值 f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m) f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)
D.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I
结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
定义域关于原点对称．
用奇偶性求解析式
【例1】
(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
∵f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝
(2)由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝.
利用函数奇偶性求解析式的方法
1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
2要利用已知区间的解析式进行代入.
3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx.
提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0.
幂函数
A．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
B．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
C．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数
函数的应用
A.常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型 f(x)＝
章末综合测评《12题》
一、选择题
1．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)＝(　　 )
A．0 B．－1
C．1 D．2
2．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是(　　 )
A．[－4，＋∞) B．[－3,5]
C．[－4,5] D．(－4,5]
3．函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f(5)＝10，则f(－5)等于(　　 )
A．－10 B．－2
C．－6 D．14
4．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
5．函数y＝3x＋(x≥2)的值域是(　　 )
A. B．[6＋，＋∞)
C．[6，＋∞) D．[，＋∞)
6．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　 )
A．f(2)C．f(4)7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于(　　 )
A．－6 B．6
C．－8 D．8
二、填空题
8．已知f(x)为R上的减函数，则满足f>f(1)的实数x的取值范围为________．
9．已知函数f(x)＝ax2＋(b－3)x＋3，x∈[a2－2，a]是偶函数，则a＋b＝________.
三、解答题
10．若f(x)对x∈R恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x)．
11．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)，
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
(3)写出函数的值域．
12．设函数f(x)的定义域为U＝{x|x∈R且x>0}，且满足条件f(4)＝1.对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有>0.
(1)求f(1)的值；
(2)如果f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范围．
挑战：中档提升《30题》
1、求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2＋；(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；求函数y＝f(x＋1)的定义域．
2、 (1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.
3、指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
4．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
5、(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
6、已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)7．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1　　　 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－18、比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，.
9．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．
10、已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
11．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
12．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．
13．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋＋4；
(2)f(x)＝.
14．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是(　　)
A　 B　 C　 　D
15．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；
(3)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式．
16．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域．
17．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
18．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
19．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
20．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
21．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
22．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
23．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．
24．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
25．函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为________．
26．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.
(1)求f(x)在区间[2a－1,2]上的最小值g(a)；
(2)求g(a)的最大值．
27．函数g(x)＝2x－的值域为________．
28．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
29．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
30．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21 B．－21
C．26 D．－26
31．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．
32．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.专题一：集合与函数
集合（逻辑用语）
1、集合的概念
A. 元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
B．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
C. 常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
表示方法—列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
E．表示方法—描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
2、集合间的基本关系
Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
子集、真子集、集合相等的相关概念
若集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．
(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
注意：空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集．
思考：{0}与 相同吗？
不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则A C； ②若AB，BC，则AC.
(3)若A B，A≠B，则AB.
集合的基本运算
A．并集
1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作
A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2.并集的性质
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A A∪B.
B．交集
1.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
2.交集的性质
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B A.
C．并集与交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪ ＝A A∩ ＝
D．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
思考：全集一定是实数集R吗？
全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
E．补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
充分条件与必要条件
A．充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
(1)相同，都是p q.(2)等价．
B．充要条件
(1)一般地，如果既有p q，又有q p，就记作p q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
(1)正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
全称量词与存在量词
A．全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)．
B．存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”．
思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
C．含有一个量词的命题的否定﹁
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)；
存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
章末综合测评《9题》
一、选择题
1．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪( RB)＝(　　)
A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}
C．{x|1[ RB＝{x|x≥1}，∴A∪( RB)＝{x|x≥－1}]
2．命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A． x∈R，x3－x2＋1<0 B． x∈R，x3－x2＋1≥0
C． x∈R，x3－x2＋1>0 D． x∈R，x3－x2＋1≤0
3. “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a>1
[方程有一个正根和一个负根时，根据韦达定理知＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1.]
5．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A B成立的所有a组成的集合为(　　)
A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}
C．{a|a≤7} D．
[当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝ B；
当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠ ，
要使A B，需有解得2≤a≤7. 综上可知，a≤7.]
6．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是(　　)
[由题图A，充分不必要条件．由题图B，必要不充分条件．由题图C，充要条件．由题图D，既不充分也不必要条件．]
二、解答题
7、某校高一某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的人数为________人．
如图，设两门都得优的人数是x，
整理，得－x＋55＝45，解得x＝10，即两门都得优的人数是10人．
8．已知集合,且,则满足条件的实数组成的集合为__________
若集合，将-2带入B中，则应满足，，反求得集合,与假设矛盾，排除
若，则，即，
所以满足条件的组成的集合为
9．已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
（1）
（2）时，有，解得.所以实数的取值范围是.
挑战：中档提升《20题》
1．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
3　
2．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2.
3．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
{0,1}
4．已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,10}，若－3∈A，则a＝______.
－　
5．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
(1)a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．
(2). (3)当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素.
6．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
(1)当B＝ 时，2a>a＋3，即a>3.显然满足题意．
(2)当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或22}．
7．集合＝{0，a2，a＋b}，则a2 017＋b2 018的值为(　　)
A．0　　　　B．1 C．－1　　　 D．±1
C　
8．若集合M＝，集合N＝，则(　　)
A．M＝N B．N M
C．MN D．以上均不对
[M＝x＋，k∈Z＝x，k∈Z.
N＝＝.
又2k＋1，k∈Z为奇数，k＋2，k∈Z为整数，所以MN.]
9．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q P，那么a的取值是________．
0或±1
10．集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的取值为________．
1或－　[该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－.]
11．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A B，求m的取值范围．
化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集个数为28－2＝254(个)．
(2)①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝ A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1则只要即－1≤m≤2. 综上所述，知m的取值范围是
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
12．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
12
13．设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a[在数轴上表示集合S，T如图所示．因为S∪T＝R，由数轴可得解得－3]
14．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪( RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
[由于A∪( RB)＝R，则B A，可知a≥2.故选C.]
15．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则 UA＝________.
[若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．
故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则 UA＝{2}．]
16．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a(1)，由大角对大边，充要条件；(2)，充分条件但不是必要条件；
(3)，若a17．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　 )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
　[因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙丙，如图．综上，有丙 甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．]
18、若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　 )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
[由A∪B＝C知，x∈A x∈C，x∈Cx∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]
19．若p：x－3<0是q：2x－3{m|m＞3}　[由x－3<0得x<3，由2x－3由p是q的充分不必要条件知{x|x<3}，
所以(m＋3)＞3，解得m＞3.]
20．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足即0＜a≤.
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤.
21．下列命题中正确的个数是(　　 )
① x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　 D．3
[① x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③ x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确]
函数的概念性质、应用
函数的概念及其表示
A．函数的概念
定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 自变量x的取值范围
值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}
思考：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
(1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)是函数符号．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，
B．区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
思考：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
C、函数的表示法
分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
思考：分段函数是一个函数还是几个函数？
分段函数是一个函数，而不是几个函数．
函数的基本性质
1．增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2)
结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图示
思考：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
B．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
思考：函数y＝在定义域上是减函数吗？
不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
利用定义证明函数单调性的步骤
1取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x12作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.
3定号：确定fx1－fx2的符号.
4结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性
C.函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
二次函数在闭区间上的最值
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
对称轴与区间的关系 －＜m＜n，即－∈(－∞，m) m＜－＜n，即－∈(m，n) m＜n＜－，即－∈(n，＋∞)
图象
最值 f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m) f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)
D.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I
结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
定义域关于原点对称．
用奇偶性求解析式
【例1】
(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
∵f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝
(2)由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝.
利用函数奇偶性求解析式的方法
1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
2要利用已知区间的解析式进行代入.
3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx.
提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0.
幂函数
A．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
B．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
C．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数
函数的应用
A.常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型 f(x)＝
章末综合测评《20题》
一、选择题
1．已知f(x)＝x3＋2x，则f(a)＋f(－a)＝(　　 )
A．0 B．－1
C．1 D．2
[f(x)＝x3＋2x是R上的奇函数，故f(－a)＝－f(a)，∴f(a)＋f(－a)＝0.]
2．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是(　　 )
A．[－4，＋∞) B．[－3,5]
C．[－4,5] D．(－4,5]
[由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，当x＝2时，f(x)取到最小值－4，
当x＝5时，f(x)取得最大值5，故值域为[－4,5]．]
3．函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f(5)＝10，则f(－5)等于(　　 )
A．－10 B．－2
C．－6 D．14
[∵f(5)＝125a＋5b＋4＝10，∴125a＋5b＝6，
∴f(－5)＝－125a－5b＋4＝－(125a＋5b)＋4＝－6＋4＝－2.]
4．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[∵f(x)＝
由函数图象(图略)知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴由f(2－a2)>f(a)，得a2＋a－2<0，解得－25．函数y＝3x＋(x≥2)的值域是(　　 )
A. B．[6＋，＋∞)
C．[6，＋∞) D．[，＋∞)
[∵y＝3x＋在[2，＋∞)上是增函数，
∴ymin＝3×2＋＝6＋.
∴y＝3x＋(x≥2)的值域为[6＋，＋∞)．]
6．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　 )
A．f(2)C．f(4)[由f(2＋t)＝f(2－t)，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f(2)7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于(　　 )
A．－6 B．6
C．－8 D．8
[由f(x－4)＝－f(x) f(4－x)＝f(x) 函数图象关于直线x＝2对称．又函数f(x)在[0,2]上是增函数，且为奇函数，故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0.根据对称性知函数f(x)在[2,4)上大于0，同理推知f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)＝m(m>0)的两根关于直线x＝2对称，故此两根之和等于4.f(－6＋x)＝f[(x－2)－4]＝－f(x－2)＝－f[(x＋2)－4]＝f(x＋2)＝f[(6＋x)－4]＝－f(6＋x)＝f(－6－x)．
∴f(x)关于直线x＝－6对称．此两根之和等于－12.综上，四个根之和等于－8.]
二、填空题
8．已知f(x)为R上的减函数，则满足f>f(1)的实数x的取值范围为________．
[∵f(x)在R上是减函数，∴<1，解得x>1或x<0.]
9．已知函数f(x)＝ax2＋(b－3)x＋3，x∈[a2－2，a]是偶函数，则a＋b＝________.
[因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，所以∴a＝1，b＝3，∴a＋b＝4.]
三、解答题
10．若f(x)对x∈R恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x)．
[解]　2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①
将①中的x换为－x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，②
①②联立，得
把f(x)与f(－x)看成未知数解得f(x)＝x＋1.
11．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)，
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
(3)写出函数的值域．
[解]　(1)由于函数定义域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)．∴f(x)是偶函数．
(2)f(x)＝图象如图所示：
(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．
12．设函数f(x)的定义域为U＝{x|x∈R且x>0}，且满足条件f(4)＝1.对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有>0.
(1)求f(1)的值；
(2)如果f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范围．
(1)因为对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)设00.
又因为当x1≠x2时，>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在定义域内为增函数．
令x1＝x2＝4，得f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，即f(16)＝2.
当即x>0时，
原不等式可化为f[x(x＋6)]>f(16)．
又因为f(x)在定义域上为增函数，所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8.
又因为x>0，所以x>2.所以x的取值范围为(2，＋∞)．
挑战：中档提升《30题》
1、求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2＋；(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；求函数y＝f(x＋1)的定义域．
(1){x|x≠2}．(2){x|x>－1且x≠1}．(3){x|1≤x≤3}．
2、 (1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.
(1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．
(1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)2x＋或－2x－8　(3)x－1　
[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2．
法二(配凑法)：f(＋1)＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝a2x＋ab＋b＝4x＋8，
(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x]
3、指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
4．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
f(x)＝的图象，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
5、(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]
6、已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数．
又f(1－m)7．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1　　　 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－1[因为f(3)1或a<－2.]
8、比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，.
(1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
(2)0.9＝，＝1.1.∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>.
9．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．
(1)[因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.]
(2)因为－＝－1即b＝2a；又f(1)＝a＋b＋c＝1；
由条件③知：a>0，且＝0，即b2＝4ac，由上可求f(x)＝x2＋x＋.
10、已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
(1)由题意，得∴故f(x)＝.
(2)任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－10,1＋x>0.又－10，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
由f(t－1)＋f(t)<0得f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－111．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
[由题意知3a－1>a，则a>.]
12．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．
[由题意知即
解得0＜x＜2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)．]
13．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋＋4；
(2)f(x)＝.
(1)所以≤x≤，即函数的定义域为.
(2)即解得定义域为(－∞，－3)∪(－3,0)．
14．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是(　　)
A　 B　 C　 　D
[A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．]
15．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；
(3)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式．
(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，ax＋8a＋b＝2x＋21，f(x)＝2x＋5.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.得－2ax＋a－b＝4x
f(x)＝－2x2－2x＋1.
(3)∵f＝2＋2＋1＝2＋3.∴f(x)＝x2＋3.
16．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域．
(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，∴水的面积A＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|017．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
[在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．
由题意，可知2a＝－1，则a＝－.]
18．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8综上可知，f(x)＝
19．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
[当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去)．
当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.]
20．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
[函数f(x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，
又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.]
21．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
[由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－<0，故函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．]
22．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
[依题意得实数a满足解得023．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．
，　[函数f(x)＝2x2－3|x|＝
图象如图所示，f(x)的单调递减区间为
，.
24．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)．
从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以解得或(不合题意，舍去)．
所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1.
(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的对称轴为直线x＝－.
若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围为.
25．函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为________．
[∵y＝在区间上是减函数，y＝－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝－3x在区间上是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝－3×2＝－4.]
26．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.
(1)求f(x)在区间[2a－1,2]上的最小值g(a)；
(2)求g(a)的最大值．
(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；
当0＜2a－1＜2，即所以g(a)＝
(2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，∴g(a)≤g＝－3；
又当27．函数g(x)＝2x－的值域为________．
　[设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，
即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝22－，t≥0，
∴当t＝时，ymin＝－，∴函数g(x)的值域为.]
28．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
[在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．
根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．
所以f(x)＝所以f(x)的最大值为6.]
29．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
[∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.]
30．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21 B．－21
C．26 D．－26
[设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.]
31．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．
f(－2)当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0，
∴f(x)＝－x2＋2，∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．
又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．]
32．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴解得0∴原不等式的解集为.

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