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《高三一轮复习-函数专题》
考点1：定义域 3
考点2：解析式 7
考点3：值域 12
考点4：单调性 18
考点5：奇偶性 25
考点6：周期性 32
考点7：对称轴 38
考点8：指数、对数的运算 44
考点9：指数函数 51
考点10：对数函数 61
考点11：幂函数 75
考点12：零点定理 82
考点1：定义域
【思维导图】
【常见考法】
考法一 已知解析式求定义域
1.函数的定义域是 。
【答案】
【解析】∵函数f（x）=+lg（3x+1），∴；解得﹣＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）．
2函数的定义域是 。
【答案】
【解析】将化为，所以定义域为 因为，所以
综上，定义域为
3．函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得，解之可得，，时，不等式解集为 ，故的定义域为，故答案为.
4．函数的定义域为________.
【答案】
【解析】要使原式有意义，则，解得x∈．故答案为：．
考法二 抽象函数求定义域
1．已知的定义域为，则函数的定义域为 。
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得．
2．若函数=的定义域为,则函数的定义域是 。
【答案】
【解析】因为=的定义域为,所以,所以函数=的定义域是.
3.已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为 。
【答案】
【解析】由函数y＝的定义域为[-2，3]，∴
∴对y＝f（2x+1），有，解得，即y＝f（2x+1）的定义域为．
4．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为 。
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，所以的定义域为．
5.若函数的定义域为,则函数的定义域是 。
【答案】
【解析】设，则.由的定义域为知，
，即的定义域为，
要使函数有意义，必须满足，即，解得，
考法三 根据定义域求参数
1．函数的定义域，则实数的值为 。
【答案】3
【解析】由题意，函数有意义，满足，
又由函数的定义域为，所以，解得．
若函数的定义域为，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】因为f（x）的定义域为R又f（x）有意义需ax2+2ax+1≠0
所以ax2+2ax+1＝0无解当a＝0是方程无解，符合题意当a≠0时△＝4a2﹣4a＜0，解得 0＜a综上所述0≤a
若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是 。
【答案】
【解析】∵函数f（x）的定义域为R；∴不等式mx2mx+2>0的解集为R；
①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；
②m≠0时，则；解得0＜m<8；综上得，实数m的取值范围是
考点2：解析式
【思维导图】
【常见考法】
考点一：待定系数法
1.已知是一次函数，且，求的解析式.
【答案】或
【解析】设，则，
得，解得或.因此，或.
2.已知二次函数满足 试求：求 的解析式；
【答案】
【解析】设，则有，对任意实数恒成立，，解之得，.
考点二：换元法
1．已知，则的解析式为 。
【答案】．，且
【解析】令t=，得到x=，∵x≠1，∴t≠1且t≠0，∴且t≠0)
∴且x≠0)，
2.已知函数，则函数的解析式为 。
【答案】
【解析】令则，且
，，
3.已知，则的解析式为 。
【答案】
【解析】令，得，∴，∴．
4.已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)＝ .
【答案】f(x)＝ln x＋1
【解析】根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x为定值．设f(x)－ln x＝t，t为常数，则f(x)＝ln x＋t且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋1。
5.设若，则f(x)= .
【答案】
【解析】
考点三：配凑法
1．已知,则________．
【答案】
【解析】，又∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴．故答案为：
已知，则的解析式为 。
【答案】
【解析】，，
，，因此，.
考点四：解方程组
1．已知函数满足，则 。
【答案】
【解析】因为①，所以用替换，得 ②
由得
2．已知函数的定义域为，且，则______．
【答案】
【解析】在，用代替x，得，联立得 ，将代入中，可求得．
故填：
3．已知函数满足，则= 。
【答案】
【解析】由,将换成有,
即,故有
,两式相减化简得
考点五：利用解析式求值
1．已知函数满足，则 。
【答案】
【解析】在中,分别令和得:
①, ②,
联立①②消去, 解得:.
2．设函数对的一切实数都有，则=___________
【答案】-2017
【解析】时，，当时，
即 ，解得.故填：-2017.
3．已知函数满足，则______．
【答案】
【解析】由题意可得：
，解得：，
令可得：，则.
考点3：值域
【思维导图】
【常见考法】
考法一：单调性法
1.若函数的定义域是，，则函数的值域为　　．
【答案】【0,1】
【解析】函数在，上单调递增且，（2）．其值域为，．
2.函数的值域为 。
【答案】，
【解析】，，函数的值域为．
3.若函数，则函数的值域是 。
【答案】
【解析】当时，，当时，，综上，即函数的值域为。
4.函数，的值域为 。
【答案】
【解析】；时，；时，；
时，取最大值；又；的值域为．
考法二：换元法
1.函数在，上的值域为 。
【答案】
【解析】，
令，因为，，所以，，
原函数的值域等价于函数的值域，所以．
函数的值域为 。
【答案】，
【解析】由，得．
函数为上的增函数，函数为，上的增函数，
是，上的增函数，．
即函数的值域为，．
3.函数y＝x＋4＋的值域 。
【答案】[1,3＋4]
【解析】令x＝3cosθ，θ∈[0，π]，则y＝3cosθ＋4＋3sinθ＝3sin＋4.
∵0≤θ≤π，∴≤θ＋≤，∴－≤sin≤1，
∴1≤y≤3＋4，∴函数的值域为[1,3＋4]．
考法三：分离常数法
1．已知函数，则它的值域为 。
【答案】
【解析】，
，，，，，的值域为．
2.已知函数，则该函数在，上的值域是 。
【答案】，
【解析】，在上单调递减，在，上单调递增，
（2）是在，上的最小值，且（1），（3），
在，上的值域为，．
函数的值域是 。
【答案】或
【解析】，
当时，有，
当且仅当，即，也就是时上式等号成立；
当时，有，
当且仅当，即，也就是时上式等号成立．
函数的值域是或．
函数的值域是 。
【答案】，
【解析】，
，，则，
．即函数的值域是，．
5.函数的值域为 。
【答案】
【解析】，，，，，，即，即函数的值域为，
考法四：图像法
1.函数的值域是 。
【答案】
【解析】，
当时，单调递增，故；
当时，先减后增，当时，函数取得最小值，故，
综上可得，函数的值域为．
2．函数在区间上的最大值________.
【答案】3
【解析】因为函数在为减函数，在为增函数，
又 ，，又，即函数在区间上的最大值为3。
考点五：几何法
1.求函数y＝，x∈的值域．
【答案】
【解析】函数y＝的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，－1)两点决定的斜率，B(1，－1)是定点，A(x，sinx)在曲线y＝sinx，x∈上，如图，∴kBP≤y≤kBQ，即≤y≤.
2.
【答案】[10，＋∞)
【解析】如图，函数y＝＋的几何意义为平面内一点P(x,0)到点A(－3,4)和点B(5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)，连接AB′交x轴于一点P，此时距离之和最小，∴ymin＝|AB′|＝＝10，又y无最大值，所以y∈[10，＋∞).
考点六：利用值域求参数
1已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
【答案】，
【解析】函数的值域为，能够取到大于0的所有实数，则△，解得．实数的取值范围是，．
已知函数的值域为，，则的取值范围是 。
【答案】，
【解析】当时，对任意实数恒成立，不合题意；
要使函数的值域为，，则，解得．
的取值范围是，．
3.已知函数，的值域为，，则实数的取值应为 。
【答案】
【解析】时，；时，，依题意可得．
考点4：单调性
【思维导图】
【常见考法】
考法一：单调性的判断
1．下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　)
A．f(x)＝2x　　　　　　 　B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
[答案】C
【解析】　由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
2.下列函数值中，在区间上不是单调函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由一次函数的性质可知，在区间上单调递增；
由二次函数的性质可知，在区间上单调递增；
由幂函数的性质可知，在区间上单调递增；
结合一次函数的性质可知，在上单调递减，在 上单调递增． 故选：D．
考法二：求单调区间
1．函数的递减区间是__________.
【答案】
【解析】意可知，解得，所以的定义域是，
令,对称轴是，
在上是增函数，在是减函数，
又在定义域上是增函数，
是和的复合函数，
的单调递减区间是，故答案为：．
2.求的函数y＝|－x2＋2x＋1|的增区间 ，减区间 。
【答案】单调递增区间为(1－，1)和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)．
【解析】函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－，1)和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)．
3.求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的增区间 ，减区间 。
【答案】见解析
【解析】易知f(x)＝＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
4．函数的单调递减区间是 。
【答案】
【解析】由题意，可得，
令，即，解得，即函数的递减区间为.
考法三：比大小
1．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0　 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
【答案】B
【解析】∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，
∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
2．函数是上的减函数，若，，，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，，，，，是上的减函数，.故选：A.
考法四：解不等式
1．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】由已知可得解得－33.所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．故答案为：
2.设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是 。
[答案]　(－∞，2]
[解析]　易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]．
考法五：求参数
1．函数在上是减函数．则 。
【答案】
【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，
2函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】函数的对称轴方程为，
函数在区间上是增函数，所以，解得.
3．函数在上是增函数，则a的取值范围是 。
【答案】
【解析】当时，，满足题意.
当时，在上是增函数，满足，解得：.
当时，在上是增函数，满足，解得：.综上所述：.
4．若函数在区间上单调减函数则的取值范围为_________
【答案】
【解析】由对勾函数的性质可知：
函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在区间上单调减函数，所以，
解得，故答案为：
5．若函数，且在上单调递增，则实数m的最小值等于______.
【答案】1
【解析】由题知：，所以函数在为增函数，
又因为在上单调递增，所以，m的最小值为.故答案为：
6．已知函数在区间（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是 。
【答案】（0，1]
【解析】∵函数在区间上是增函数，
∴函数在上为减函数，其对称轴为，∴可得，解得.
7．已知函数，且对任意的，时，都有，则a的取值范围是________
【答案】
【解析】由于对任意的，时，都有，所以函数在上为增函数，所以，解得.故答案为：.
考点5：奇偶性
【思维导图】
【常见考法】
考法一：奇偶性的判断
1.下列函数中，既是奇函数，又在区间上递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对A, 为偶函数.故A错误.
对B, 为非奇非偶函数函数,故B错误.
对C, 为奇函数且在上递增.故C正确.
对D, 为奇函数但在先减再增,故D错误.故选：C
2.下列函数是偶函数，且在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于:,,所以不是偶函数;
对于:,,是偶函数,但是根据幂函数的性质可知,在上是减函数;对于:,是偶函数,当时在上是增函数,符合题意;对于:,所以不是偶函数,故选:C.
考点二：利用奇偶性求解析式
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝　________　.
【答案】
【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则f(x)＝－x2－4x(x<0)，∴f(x)＝
2.已知是偶函数,若当时,,则当时, .
【答案】
【解析】当时,，是偶函数当时，则，
所以当时，
考点三：求参数
1．若函数为奇函数,则= .
【答案】
【解析】由函数f（x）为奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴=，
∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）∴（4a﹣3）x2=0∴4a﹣3=0即a=
2．若函数是定义在上的偶函数,则的值域为 .
【答案】
【解析】依题意为偶函数，所以，解得，所以.另，即，，所以，根据二次函数的性质可知，当时，函数有最大值为，当时，函数有最小值为.所以函数的值域为.
3.若函数是奇函数，则 。
【答案】
【解析】由得，
∴，∴.
4.已知函数为偶函数，则 。
【答案】
【解析】由题意，函数为偶函数，又由函数为奇函数，
所以函数为奇函数，则，得，
所以，得，
所以。
考点四：奇偶性与单调性的综合
1．已知函数为偶函数，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，令，.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
因为，所以当时，，且单调递增.
又，所以，
在上单调递减，且
故.故选：
2．已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a【答案】C
【解析】依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，所以为偶函数．当时，有，
任取，则，由不等式的性质可得，
即，所以，函数在上递增，因此，，
故选：C．
3．已知函数且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以,为偶函数，
因为当时，单调递增，所以等价于，即，或，
4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若对于任意，恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为是偶函数，所以不等式可化为，又在上单调递增，所以，而的最小值为1，所以，，解得．
5.已知函数是上的奇函数，且在区间单调递增，若，则不等式的解集是__．
【答案】
【解析】函数是上的奇函数，在区间单调递增
∴函数在上单调递增，且，
∵，即．∴当时，，
当时，，当时，，
当时，，那么：，即或，
∴得：或．故答案为：．
6．若函数，则 .
【答案】8
【解析】由题意得：
9．已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为 .
【答案】6
【解析】因为奇函数f（x）在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为a＋3＋（－a＋3）＝6.
10．已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么= .
【答案】2022
【解析】由题可知，
，
在为增函数，
考点6：周期性
【思维导图】
【常见考法】
考点一：利用周期求值
1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，
f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
【答案】6
【解析】∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
2.已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为 。
【答案】
【解析】由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，∴f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．
∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.∴当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，
∴f(－1)＝2－1－1＝－，∴f(1)＝，∴f(16)＝.
3.已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝ 。
【答案】2
【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
4.已知函数f（x），则f（2019）＝ 。
【答案】
【解析】，
当时，，
则.
5.已知函数满足，，，则 。
【答案】
【解析】取，代入，
得，解得，
则当，时， ，解得；
当，时， ，解得；
当，时， ，解得；
当，时， ，解得；
当，时， ，解得；
当，时， ，解得；
是周期为的周期函数，余．
6．已知函数满足，，则等于 。
【答案】3
【解析】
则是以8为周期的周期函数.
所以．
7．函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则 。
【答案】1
【解析】将用替换，用替换，
由对任意实数，都有，
可得，由，
所以，即，
所以，所以函数的周期，
令，则，因为，
所以， 所以，
考点二：利用周期求解析式
1．设是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为______________
【答案】
【解析】∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）＝x，
∴x∈[﹣2，﹣1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，
此时f（x）＝f（4+x）＝4+x，x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，2﹣x∈[2，3]，
此时f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x，
综上可得：x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|故答案为：
2．已知函数，对任意实数都满足.当时，，则，函数的解析式为________.
【答案】
【解析】 即可改写为:
设 得:
可得: 则函数的周期,即可改写为:
设得:由于时，，
任取则，所以.
任取，则，
而 (可将中变为即可得到此式)
所以函数解析式为.故答案为:.
考点三：利用周期比大小
1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0C．f(1)<0【答案】C
【解析】由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.
由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．
又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，
所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<02．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x10恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(17)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aC．a【答案】B
【解析】由①知函数f(x)在区间[4,8]上单调递增．由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，所以b＝f(11)＝f(3)，c＝f(17)＝f(2×8＋1)＝f(1)．由③可知f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．因为函数f(x)在区间[4,8]上单调递增，所以f(5)3.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，所以，的周期.又，且有，
所以，.
又，所以，即，
因为时，，
所以
又，所以，所以，
所以.故选：C.
考点7：对称轴
【思维导图】
【常见考法】
考点一：对称轴
1．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则 。
【答案】2018
【解析】因为函数的图像关于直线x=2对称，所以，
所以
所以，所以函数的周期是8,
所以.
2．定义在R上的奇函数，满足，在区间上递增，则的大小关系 。
【答案】
【解析】因为，所以的图象关于直线 对称，
由可知，
又函数是R上的奇函数，所以 ，
所以 ，即函数的周期 ，所以
因为奇函数在区间上递增，所以在上递增，
因为的图象关于直线 对称，所以在上递减，
所以.
3．已知f（x）在（0，2）上是增函数，f（x+2）是偶函数， 的大小关系 。
【答案】
【解析】因为f（x+2）是偶函数，所以函数关于直线对称，即．
所以，，而f（x）在（0，2）上是增函数，且 ，故．
4．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 。
【答案】2
【解析】设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得。
5．已知函数y=f(x)的图象与函数y的图象关于原点对称,则f(x)= .
【答案】f(x)
【解析】设是函数图象上的任意一点，它关于原点的对称点为，
由题意在函数图象上，∴，即．．
考点二：对称中心
1．已知偶函数的图象关于对称，且当时，，则时，＝ .
【答案】
【解析】偶函数的图象关于对称则
得到，，故周期为4
设，则
2．已知函数对任意，都有的图象关于对称，且则 .
【答案】-4
【解析】函数对任意，都有,
,因此函数的周期，把的图象向左平移1个单位的的图象关于对称，因此函数为奇函数，.
3．已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则 .
【答案】
【解析】因为，
故函数的周期为4，则；
而，由可得；
而,解得．
4．已知函数是定义在R上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，那么的对称中心为 .
【答案】
【解析】函数是定义在R上的奇函数，则其图象关于原点对称
由于函数的图象向左平移一个单位得到函数的图象
则函数的图象关于对称
又因为函数的图象与函数的图象关于直线对称
所以函数的图象关于对称
考点三：综合运用
1．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，都有恒成立；②；③是偶函数．若，，，则，，的大小关系正确的是 .
【答案】
【解析】因为对任意的，都有恒成立，所以函数在上是增函数，由可得，即周期，
因为是偶函数，所以，即函数对称轴为
所以，，，
根据函数在上是增函数可知.
2．已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】
由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
3．已知函数，若，则 .
【答案】3
【解析】函数，可得.
从而有：.
所以由，可得.
4．已知函数是定义在R上的偶函数，对任意都有，当，且时，，给出如下命题：
①；
②直线是函数的图象的一条对称轴；
③函数在上为增函数；
④函数在上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为 .
【答案】①②④
【解析】①令，则由，函数是定义在上的偶函数，
可得：，故，故①正确
②由可得：，故函数是周期等于6的周期函数
是偶函数，轴是对称轴，故直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确
③当，且时，，
故在上为增函数
是偶函数，故在上为减函数
函数是周期等于6的周期函数
故在上为减函数，故③错误
④函数是周期等于6的周期函数
故函数在上有四个零点，故④正确
综上所述，则正确命题的序号为①②④
考点8：指数、对数的运算
【思维导图】
【常见考法】
考法一：指数运算
1．化简= 。
【答案】
【解析】依题意，原式.
2．计算：（（
【答案】109
【解析】原式＝（）6+1＝22×33+2﹣1＝108+2﹣1＝109．
3．计算：= 。
【答案】66
【解析】
4．已知＝3，求的值为 ．
【答案】
【解析】解法一　∵＝3，∴两边平方，得()2＝9，即x＋x－1＝7.
两边再平方得x2＋x－2＝47，将等式＝3两边立方，得＝27，
即＝18.∴原式＝.
解法二　设＝t，则，
∴原式＝＝.
6.已知，，求的值为 。．
【答案】
【解析】原式.
7．程的解为______.
【答案】
【解析】设,即转化为求方程的正实数根由得或(舍)所以，则故答案为：
考法二：对数的运算
1.计算= 。
【答案】-4
【解析】由对数的运算性质,化简可得
2．计算= ______________
【答案】
【解析】
3.计算 。
【答案】4
【解析】由对数的运算及换底公式,展开化简可得
.
4.计算2（lg）2+lg lg5= 。
【答案】1
【解析】2（lg）2+lg lg52（lg）2+lg lg5+1﹣lg
＝2lg（lglg）+1﹣lg＝lg1﹣lg＝1．
5．______.
【答案】
【解析】原式
.故答案为：
6．已知，那么等于______.
【答案】8
【解析】因为，所以，所以，所以.
故答案为：
7．已知，，试用、表示________．
【答案】
【解析】，，
即，解得，．
故答案为：.
8．方程的解为______.
【答案】或.
【解析】由，得，
即，化为，解得：或，
或.故答案为：或.
考法三：指数、对数的综合运算
1．计算：______．
【答案】0
【解析】原式。
故答案为：0
2．计算：__________．
【答案】
【解析】原式=,故填.
3．_____．
【答案】15
【解析】故答案为：15
4．化简计算__________．
【答案】
【解析】
故答案为：
5计算= 。
【答案】18
【解析】原式
6.若，则 。
【答案】1
【解析】，，，.
.
7．已知 ，且 ，则的值是 。
【答案】
【解析】由题意可得：log2A=x,log49A=y，∴=logA2+logA49=logA98=2，∴A2=98，
解得A=(舍去负值).
8．已知，且，，则________；=_________.
【答案】2
【解析】(1)由指对数的互化,
(2)
故答案为(1)2; (2)
考点9：指数函数
【思维导图】
【常见考法】
考法一：定义辨析
1．下列函数：①；②；③；④（且）.其中，指数函数的个数是 。
【答案】1
【解析】①函数是二次函数；②函数底数小于，故不是指数函数；③函数为，故不是指数函数；④且，可得出且，则是指数函数。指数函数个数为1.
2．若函数是自变量）是指数函数，则a的取值范围是 。
【答案】且
【解析】函数是自变量）是指数函数解得：且
3．若函数是指数函数，则实数的值为_________．
【答案】2
【解析】因为函数是指数函数,所以且,解得.故答案为:2
考法二：定义域
1．函数f(x)=的定义域为 。
【答案】( 3,0]
【解析】要使函数式有意义，需，则函数的定义域为( 3,0]．
2．函数的定义域为______________．
【答案】
【解析】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函数的定义域为，故答案为.
3．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为 。
【答案】
【解析】因为，所以，因为，
所以的定义域为．
4. 函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为 。
【答案】（0,1）
【解析】要使函数且有意义,则 ,即 ,
当时，；当时，，
因为的定义域为所以可得符合题意，的取值范围为.
5．已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
【答案】[-1，0]
【解析】∵f（x）的定义域为R，∴0对任意x∈R恒成立，
即恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．故答案为[﹣1，0]．
考法三：单调性
1．函数的单调递增区间为 。
【答案】
【解析】因为函数的单调递减区间为,所以原函数的单调递增区间为.
2．函数的单调减区间为 。
【答案】
【解析】设，则由.得到，即函数的定义域.又.所以在上单调递减。
3．已知函数，则不等式的解集为 。
【答案】
【解析】可知函数为减函数，由，可得，
整理得，解得，所以不等式的解集为．
若函数单调递增,则实数a的取值范围是 。
【答案】
【解析】函数单调递增，解得
所以实数的取值范围是．
5．，，则，，的大小关系为 。
【答案】
【解析】很明显，且：；，综上可得：.
6．已知，，，则 的大小关系 。
【答案】
【解析】因为在上递减，且，则，所以.
又因为在上递增，且，所以，即.因此，.
7．则的大小关系是 。
【答案】
【解析】，，，∴，
考法四：值域
1．设函数,则它的值域为 。
【答案】(0,1)
【解析】由题：，，，所以的值域为.
2．函数的值域是 。
【答案】
【解析】令，则，而，所以.
3．函数在上值域为 。
【答案】
【解析】，
令,因为则，所以，
而的对称轴，在上单调递增，
所以当时，有最小值；当时，有最大值；所以的值域为，
4．已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是 。
【答案】
【解析】实数且,若函数的值域为,
当时,当时,的值域为,与值域为矛盾,所以不成立
当时,对于函数,,函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即,解得（舍去）综上可知的取值范围为
5．已知函数,若的值域为，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】0不在的值域中，，又数形结合可知，
当，当时，
，的值域为，需满足，
当时，与的图象恰有两个交点和，
且当或时，图象位于的图象上方，
当时，图象位于的图象下方，
所以有或.
故答案为:.
6．若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
【答案】（﹣∞，﹣2]
【解析】设，若函数的值域为，，
则等价于，是值域的子集，，
设，则，则，
，当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，即，则，
即实数的取值范围是，.故答案为：，
考法五：定点
1．函数且的图象必经过定点 。
【答案】
【解析】当时，无论a取何值，
函数且的图象必经过定点
2．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 。
【答案】
【解析】定点为,，
当且仅当时等号成立，即时取得最小值.
3．已知函数（且）的图象恒过定点，则________.
【答案】3
【解析】根据指数函数过定点的知识可知，解得，所以.答案为：
考法六：图像
1．若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】指数函数过点,则函数过点,若图像不经过第二象限,则,即,
2．若函数（且）的图象不经过第一象限，则有 。
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【解析】函数图象不经过第一象限，则指数函数单调递减，即，且当时，，求解不等式可得：，综上可得：且.本题选择C选项.
3．函数f（x）=ax–b的图象如图所示，其中a，b为常数，则loga（1–b）的取值 。
A．恒等于0 B．恒小于0
C．恒大于0 D．无法判断
【答案】B
【解析】由图象为减函数可知，0显然a–b<1，即a–b0，1–b>1．∴loga（1–b）<0．故选B．
4．已知函数（其中的图象如图所示，则函数的图象是 。
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数的图象可知，，，则为增函数，，过定点，故选：．
考点10：对数函数
【思维导图】
【常见考法】
考法一：定义辨析
1．下列函数表达式中，对数函数的个数有 。
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
【答案】2
【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.
2．若函数是对数函数，_________.
【答案】5
【解析】由对数函数的定义可知，，解得．故答案为：
考法二：定义域
1．函数的定义域是 。
【答案】
【解析】由题意可知：.
2．函数的定义域是 。
【答案】(-1,0 ]
【解析】由题意可得：且，解得且x≤0 ，所以定义域为 (-1,0 ]．
3．已知函数，则函数的定义域为 。
【答案】
【解析】对于函数，，即，解得.对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
4．函数f(x)=lg(1+2cosx)的定义域为 。
【答案】
【解析】由题意得，所以，即得
5．函数的定义域为，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】∵的定义域为，∴恒成立，
即判别式，得，即实数的取值范围是
6．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 。
【答案】
【解析】试题分析：函数的定义域是R，则有恒成立.设，当时， 恒成立；当时，要使得恒成立，则有，解得.所以实数的取值范围是.
考法三：单调性
1．函数的单调递减区间为 。
【答案】
【解析】由得，或，则函数的定义域为，
又函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递增，由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数的单调递减区间为
2．函数的单调递增区间为 。
【答案】
【解析】函数所以定义域为,解得或
由复合函数“同增异减”的性质,可知函数的单调递增区间为
即为函数的单调递增区间
3．已知函数(其中，)在区间上单调递减，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】函数y＝loga（8﹣ax）（其中a＞0，a≠1）在区间[1，4]上单调递减，
当a＞1时，由函数t＝8﹣ax在区间[1，4]上单调递减且t＞0，故8﹣4a＞0，求得1＜a＜2．当0＜a＜1时，由函数t＝8﹣ax在区间[1，4]上单调递减，
可得函数y＝loga（8﹣ax）在区间[1，4]上单调递增，这不符合条件．综上，实数a的取值范围为（1，2）。
4．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间上递减,则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】令，其对称轴方程为，外函数对数函数是增函数，
要使函数在上递减，则，即：．实数的取值范围是．
5．已知函数在上单调,则的取值范围为 。
【答案】
【解析】
又 当时,是单调递减函数
在上是单调递减函数
根据分段函数的在定义域单调递减,即要保证每段函数上单调递减,也要保证在分界点上单调递减可得: 解得:.
6．当时，，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】当时， ， ，不成立，
当时，当时，，解得：，
如图，若时，时，.
7．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若（且），则a的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】因为已知是定义在R上的偶函数，所以由，又因为 上单调递减，所以有.
当时，；
当时，.
故答案为：
8．设，则a、b、c的大小关系 。
【答案】
【解析】由题意，，，显然，因此有．
9．若，，，则的大小关系 。
【答案】
【解析】，，，且，则
考法四：值域
1．已知函数，，则的值域是_________．
【答案】
【解析】因为,所以,则得,所以,即函数的值域为.故答案为:.
2．函数的值域是__．
【答案】
【解析】设函数，则函数，，∵，在上单调递增，∴当时，最小值为，故答案为：.
3．函数的值域为__________.
【答案】
【解析】由于函数，故当时，．
当时，．综上可得，，故函数的值域为，故答案为：．
4．函数的最小值为_______．
【答案】0
【解析】由题得，
，
，
，
令,则，
因为二次函数的对称轴为，所以当时，.故答案为0
5．已知函数的值域为R，则实数的范围是_________
【答案】
【解析】当时，，因此当时，的取值范围应包含，∴，解得．故答案为：．
6．已知的值域为，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】因为的值域为，
所以函数可以取到任意的正实数，
若，该式为，符合题意若，则，解得，
所以实数a的取值范围是，
7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】，
当时，不合题意；
当时，，此时，满足题意；
当时，要使函数的值域为，
则函数值域包含，
，解得，
综上实数的取值范围是.
8．函数，若的值域为，则的值为______.
【答案】
【解析】因为的值域为，所以，
函数的最小值为，即，解得，故答案为：
9．若在上恒正，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】因为函数,且，在上恒正,令，所以当时，，知，即.当时，，满足
或或
解不等式得：，所以实数的取值范围是.
10．若函数有最小值，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】由题意得，令，当时，为单调递增函数，所以要使得有最小值，必须，所以，解得，所以；
当时，没有最大值，从而不能使得函数有最小值。
考法五：定点
1．函数（且）的图象经过的定点是 。
【答案】
【解析】当时，函数值恒为，故定点为.
2．函数的图象过定点 。
【答案】
【解析】令有.代入得.
故函数的图象过定点.
3．已知函数(且)的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为 。
【答案】
【解析】依题意，故，由诱导公式和三角函数的定义得.
4．已知函数（，且）的图象恒过点，且点在直线上，那么的最大值
【答案】
【解析】当，即时，，
函数的图象恒过定点；
又点在直线上，
，
，
当且仅当时，“=”成立.所以ab的最大值为.
考法六：图像
1．图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是 。．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向轴靠近，
所以．故选．
2．在同一直角坐标系中，函数，的图像可能是 。
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时,对数函数单调递增,且幂函数往下凸,无满足选项.当时, 对数函数单调递减, 且幂函数往上凸.易得D满足条件.故选：D
3．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是 。
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，若，则在上单调递减，
又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D.
若，则在上是增函数，
函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，
因此B项不正确，只有选项A满足.
4．已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由于函数的图像不经过第四象限，所以，即，所以.故填：.
考法七：反函数
1．设常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝logax，若f（x）的反函数图象经过点（1，2），则a＝_____.
【答案】2.
【解析】常数且，函数，的反函数的图象经过点，
函数的图象经过点，，解得．故答案为：2．
2．函数与互为反函数，且过点，则 。
【答案】-1
【解析】由题意可得，又过点，则在上，
即，解得，所以，
所以，
3．函数的反函数的解析表达式为 。
【答案】
【解析】，又
所以函数的反函数为
4．若函数的反函数为,则不等式的解集为______.
【答案】.
【解析】∵,∴有,则,必有,
∴,解得.故答案为：.
考点11：幂函数
【思维导图】
【常见考法】
考法一：幂函数定义辨析
1．已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则 。
【答案】2
【解析】因为函数为幂函数,所以,所以,
又因为函数在上是单调递增函数,所以,所以,
因为,所以.当 时,函数 为奇函数,不合题意,舍去.
当 时.为偶函数,符合题意.所以.
2．幂函数在时是减函数，则实数m的值为 。
【答案】-1
【解析】由题意得.
3．若幂函数没有零点，则满足 。
A．在定义域上单调递减 B．在单调递增
C．关于y轴对称 D．
【答案】D
【解析】函数为幂函数，∴，解得或，
当时，，函数没有零点，是奇函数，且满足；
当时，，函数有零点，不满足题意.
4．已知幂函数y＝（m2﹣3m+3）xm+1是奇函数，则实数m的值为 。
【答案】2
【解析】根据幂函数得到或
当时，不是奇函数，排除；当时，满足题意；
考法二：幂函数的性质
1．函数的定义域 。
【答案】
【解析】由题得所以函数的定义域为.
2．若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是 。
【答案】
【解析】幂函数，,
所以，所以，所以函数的定义域是.
3．已知幂函数的图象过点，则该函数的单调递减区间为 。
【答案】
【解析】过点，即
单调递减区间为
4．若,则不等式的解集是 。
【答案】
【解析】由得是定义在上的增函数,
则由不等式得,解得:.
5．已知，则的取值范围__________.
【答案】
【解析】幂函数当时为偶函数，在上是减函数，在上是增函数，所以有，两边平方整理得，解得，故答案为：
6．已知函数，且，则实数的取值范围是______.
【答案】.
【解析】因为，且，所以其在上是减函数，
所以根据幂函数的性质，有，即，
所以或．故答案为：．
7．已知，，则的大小关系是 。
【答案】
【解析】由于为上的增函数，所以.由于在上递增，所以，即.所以.
考法三：图像问题
1．幂函数y=（m2-m-5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为______.
【答案】m=3
【解析】由题意，幂函数的图象分布在第一、二象限，
∴，解得或，
当时，函数的图象分布在第一、三象限，不符合题意；
当时，函数的图象分布在第一、三象限，符合题意；故答案为：3．
2．上图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于曲线、、、的依次为（ ）
【答案】，，，
【解析】设曲线、、、的函数解析式分别为、、、，
作直线，由图象可知，，
由于指数函数为增函数，所以，
因此，相应于曲线、、、的依次为，，，.
3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）
① ② ③ ④
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】B
【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ
4．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，不满足题意
当时，幂函数和直线重合，不满足题意
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
由图可知，满足题意综上，故答案为
考点12：零点定理
【思维导图】
【常见考法】
考点一：求零点
1．若幂函数的图象过点，则函数的零点是 。
【答案】9
【解析】∵幂函数的图象过点，∴，解得，
∴∴由，得．
2．函数的零点是____________.
【答案】
【解析】令f（x）=0，即x2+3x-4=0，解得：x=-4，x=1.
3．若函数，则函数的零点是___________.
【答案】0或
【解析】要求函数的零点,则令,即,
又因为：,①当时,,,解得.
②当时,,,解得（负值舍去）,所以.
综上所以,函数的零点是0或.故答案为：0或
4．函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .
【答案】8
【解析】
函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，
由图象可知,两个函数在[-2,4上共有8个交点,两两关于点(1,0)对称
设对称的两个点的横坐标分别为m、n则m+n=2×1=2，故所求的横坐标之和为8，故答案为8.
考点二：零点区间
1．函数的零点所在区间是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知函数为减函数，又，，根据零点存在性原理，可知函数的零点所在的区间是,故选D.
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数单调递增，∴f（0）=-4，f（1）=-1，f（2）=7＞0，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，故选B．
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数
f（1）=-2＜0，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3＞0
∴f（2） f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（2，3）故选：C．
4．已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，即，，因为是定义在上的单调函数，所以由解析式可知，在上单调递增．
而，，故，即．
因为，，
由于，即有，所以．
故，即的零点所在区间为．故选：C．
考点三：零点个数
1．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为 。
【答案】2
【解析】
分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.
2．方程的解的个数是 。
【答案】2
【解析】作出和的函数图象,如图所示:
由图象可知两函数图象有2个交点.
故方程的解的个数也为2个.
3．方程在区间上的解的个数为 。
【答案】8
【解析】由得，，分别画出和在的图像，如图：
两函数图像有8个交点，故方程在区间上的解的个数为8个
4．若函数是定义在上的偶函数,,且,则函数的零点个数为___________.
【答案】6
【解析】因为,即是周期为4的周期函数
为偶函数,且,画出函数图像如下图所示:
令可得.画出的图像如上图所示:
由图像可知,与图像共有6个交点
所以共有6个零点故答案为:
5．已知函数，则方程的不相等的实根个数为______.
【答案】7
【解析】方程可解出或
方程的不相等的实根个数即两个函数或的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数，的图象与函数的图象的交点个数相同，
如图：的图象与函数的图象的交点个数有四个
的图象与函数的图象的交点个数有三个， 故方程有7个解，故答案为7
6．已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为 。
【答案】3
【解析】当时，则，
此时有，
∵，∴，
∴函数是周期为2的周期函数．
令，则，
由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数．
在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），
结合图象可得两函数的图象有三个交点，
∴函数的零点个数为3．
7．已知函数 ，则的零点个数为 。
【答案】5
【解析】由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数，
设，则，作出的图象，
如图所示，结合图象可知，方程有三个实根，，，
则 有一个解，有一个解，有三个解，
故方程有5个解.
8．已知函数，则方程实根的个数为 。
【答案】4
【解析】当时，，，
∴有一实根；
当时，，，
∴，
∴或|，
分别画出函数以及，的图象如图，
由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个．
9．已知函数，则函数的零点个数为 。
【答案】4
【解析】令,则,
令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函数的图象,如下图,时,;时,;时,.
结合图象,若,有3个解;若,无解;若,有1个解.
所以函数的零点个数为4个.
考点四：根据零点求参数
1．已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是 。
【答案】
【解析】函数f(x)=x2+x+a的图象的对称轴方程为,故函数在区间(0,1)上单调递增，
再根据函数f(x)在(0,1)上有零点,可得，解得 22．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】由条件可知，即a(a－3)<0，解得03．若函数的零点所在的区间为,则k= 。
【答案】2
【解析】∵且单调递增,∴的零点所在的区间为（2,3）,∴.
4．已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 。
【答案
【解析】由得，作函数的图象及直线，它们有三个交点，则，∴．
5．函数有四个零点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题即有四个根,画出的图像有
当时,故a的取值范围是 故答案为
6．若函数，方程有两解，则实数m的取值范围为______ ．
【答案】
【解析】
二次函数的最高点为，有图可知与函数有两个交点，则取值范围为
7．偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】由，可知函数图像关于对称，又因为为偶函数，所以函数图像关于轴对称.所以函数的周期为2，要使函数有且仅有三个零点，即函数和函数图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，.
8．已知，若存在三个不同实数，，使得，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，故.
9．已知，若关于的方程有四个实根，则这四个根之积的取值范围________.
【答案】.
【解析】
与两图象交点问题，当，则
，其中，
，.填写:
考法五：二分法
1．用二分法求函数零点时,用计算器得到下表：
1.00 1.25 1.375 1.50
1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为( )
A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875
【答案】B
【解析】根据二分法的思想,因为,故的零点在区间内,
但区间的长度为,不满足题意,因而取区间的中点,
由表格知,故的零点在区间内,
但区间的长度为,不满足题意,因而取区间的中点,
可知区间和中必有一个存在的零点,而区间长度为,
因此是一个近似解,故选:B.
2．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，
则第二次所取的区间是或，
第三次所取的区间是或或或，故选：B.
3．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a） f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．故选C．
4．已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
【答案】C
【解析】在上单调递增.设近似值为，
由表格有，所以故选：C《高三一轮复习-函数专题》
考点1：定义域 2
考点2：解析式 6
考点3：值域 9
考点4：单调性 13
考点5：奇偶性 18
考点6：周期性 22
考点7：对称轴 26
考点8：指数、对数的运算 30
考点9：指数函数 35
考点10：对数函数 42
考点11：幂函数 51
考点12：零点定理 55
考点1：定义域
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日
【思维导图】
【常见考法】
考法一 已知解析式求定义域
1.函数的定义域是 .
函数的定义域是 .
3．函数的定义域为_____________.
4．函数的定义域为________.
考法二 抽象函数求定义域
1．已知的定义域为，则函数的定义域为 。
2．若函数=的定义域为,则函数的定义域是 。
3.已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为 。
4．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为 。
5.若函数的定义域为,则函数的定义域是 。
考法三 根据定义域求参数
1．函数的定义域，则实数的值为 .
若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
3.若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是 .
考点2：解析式
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日
【思维导图】
【常见考法】
考点一：待定系数法
1.已知是一次函数，且，求的解析式.
2.已知二次函数满足 试求：求 的解析式；
考点二：换元法
1．已知，则的解析式为 。
2.已知函数，则函数的解析式为 。
3.已知，则的解析式为 。
4.已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)＝ .
5.设若，则f(x)= .
考点三：配凑法
1．已知,则________．
2.已知，则的解析式为 。
考点四：解方程组
1．已知函数满足，则 。
2．已知函数的定义域为，且，则______．
3．已知函数满足，则= 。
考点五：利用解析式求值
1．已知函数满足，则 。
2．设函数对的一切实数都有，则=___________
3．已知函数满足，则______．
考点3：值域
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日
【常见考法】
考法一：单调性法
1.若函数的定义域是，，则函数的值域为　　．
2.函数的值域为 。
3.若函数，则函数的值域是 。
4.函数，的值域为 。
考法二：换元法
1.函数在，上的值域为 。
2.函数的值域为 。
3.函数y＝x＋4＋的值域 。
考法三：分离常数法
1．已知函数，则它的值域为 。
2.已知函数，则该函数在，上的值域是 。
3.函数的值域是 。
4.函数的值域是 。
5.函数的值域为 。
考法四：图像法
1.函数的值域是 。
2．函数在区间上的最大值________.
考点五：几何法
1.求函数y＝，x∈的值域．
2.
考点六：利用值域求参数
1已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
2.已知函数的值域为，，则的取值范围是 。
3.已知函数，的值域为，，则实数的取值应为 。
考点4：单调性
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日
【思维导图】
【常见考法】
考法一：单调性的判断
1．下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　)
A．f(x)＝2x　　　　　　 　B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
2.下列函数值中，在区间上不是单调函数的是（ ）
A． B． C． D．
考法二：求单调区间
1．函数的递减区间是__________.
2.求的函数y＝|－x2＋2x＋1|的增区间 ，减区间 。
3.求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的增区间 ，减区间 。
4．函数的单调递减区间是 。
考法三：比大小
1．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0　 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
2．函数是上的减函数，若，，，则( )
A． B．
C． D．
考法四：解不等式
1．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
2.设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是 。
考法五：求参数
1．函数在上是减函数．则 。
2函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。
3．函数在上是增函数，则a的取值范围是 。
4．若函数在区间上单调减函数则的取值范围为_________
5．若函数，且在上单调递增，则实数m的最小值等于______.
6．已知函数在区间（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是 。
7．已知函数，且对任意的，时，都有，则a的取值范围是________
考点5：奇偶性
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日【思维导图】
【常见考法】
考法一：奇偶性的判断
1.下列函数中，既是奇函数，又在区间上递增的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列函数是偶函数，且在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：利用奇偶性求解析式
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝　________　.
2.已知是偶函数,若当时,,则当时, .
考点三：求参数
1．若函数为奇函数,则= .
2．若函数是定义在上的偶函数,则的值域为 .
3.若函数是奇函数，则 。
4.已知函数为偶函数，则 。
考点四：奇偶性与单调性的综合
1．已知函数为偶函数，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a3．已知函数且，则实数的取值范围是 .
4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若对于任意，恒成立，则的取值范围是 .
5.已知函数是上的奇函数，且在区间单调递增，若，则不等式的解集是__．
6．若函数，则 .
9．已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为 .
10．已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么= .
考点6：周期性
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日【思维导图】
【常见考法】
考点一：利用周期求值
1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，
f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
2.已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为 。
3.已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝ 。
4.已知函数f（x），则f（2019）＝ 。
5.已知函数满足，，，则 。
6．已知函数满足，，则等于 。
7．函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则 。
考点二：利用周期求解析式
1．设是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为______________
2．已知函数，对任意实数都满足.当时，，则，函数的解析式为______________________.
考点三：利用周期比大小
1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0C．f(1)<02．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x10恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(17)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aC．a3.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
考点7：对称轴
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日
【思维导图】
【常见考法】
考点一：对称轴
1．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则 。
2．定义在R上的奇函数，满足，在区间上递增，则的大小关系 。
3．已知f（x）在（0，2）上是增函数，f（x+2）是偶函数， 的大小关系 。
4．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 。
5．已知函数y=f(x)的图象与函数y的图象关于原点对称,则f(x)= .
考点二：对称中心
1．已知偶函数的图象关于对称，且当时，，则时，＝ .
2．已知函数对任意，都有的图象关于对称，且则 .
3．已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则 .
4．已知函数是定义在R上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，那么的对称中心为 .
考点三：综合运用
1．已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
2．已知函数，若，则 .
3．已知函数是定义在R上的偶函数，对任意都有，当，且时，，给出如下命题：
①；
②直线是函数的图象的一条对称轴；
③函数在上为增函数；
④函数在上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为 .
考点8：指数、对数的运算
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日
【思维导图】
【常见考法】
考法一：指数运算
1．化简= 。
2．计算：（（= .
3．计算：= 。
4．已知＝3，求的值为 ．
6.已知，，求的值为 。．
7．程的解为______.
考法二：对数的运算
1.计算= 。
2．计算= ______________
3.计算 。
4.计算2（lg）2+lg lg5= 。
5．______.
6．已知，那么等于______.
7．已知，，试用、表示________．
8．方程的解为______.
考法三：指数、对数的综合运算
1．计算：______．
2．计算：__________．
3．_____．
4．化简计算__________．
5计算= 。
6.若，则 。
7．已知 ，且 ，则的值是 。
8．已知，且，，则________；=_________.
考点9：指数函数
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日【思维导图】
【常见考法】
考法一：定义辨析
1．下列函数：①；②；③；④（且）.其中，指数函数的个数是 。
2．若函数是自变量）是指数函数，则a的取值范围是 。
3．若函数是指数函数，则实数的值为_________．
考法二：定义域
1．函数f(x)=的定义域为 。
2．函数的定义域为______________．
3．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为 。
4. 函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为 。
5．已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
考法三：单调性
1．函数的单调递增区间为 。
2．函数的单调减区间为 。
3．已知函数，则不等式的解集为 。
4.若函数单调递增,则实数a的取值范围是 。
5．，，则，，的大小关系为 。
6．已知，，，则 的大小关系 。
7．则的大小关系是 。
考法四：值域
1．设函数,则它的值域为 。
2．函数的值域是 。
3．函数在上值域为 。
4．已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是 。
5．已知函数,若的值域为，则实数a的取值范围是________.
6．若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
考法五：定点
1．函数且的图象必经过定点 。
2．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 。
3．已知函数（且）的图象恒过定点，则________.
考法六：图像
1．若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 。
2．若函数（且）的图象不经过第一象限，则有 。
A．且 B．且
C．且 D．且
3．函数f（x）=ax–b的图象如图所示，其中a，b为常数，则loga（1–b）的取值 。
A．恒等于0 B．恒小于0
C．恒大于0 D．无法判断
4．已知函数（其中的图象如图所示，则函数的图象是 。
A． B．
C． D．
考点10：对数函数
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日
【常见考法】
考法一：定义辨析
1．下列函数表达式中，对数函数的个数有 。
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
2．若函数是对数函数，_________.
考法二：定义域
1．函数的定义域是 。
2．函数的定义域是 。
3．已知函数，则函数的定义域为 。
4．函数f(x)=lg(1+2cosx)的定义域为 。
5．函数的定义域为，则实数的取值范围是 。
6．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 。
考法三：单调性
1．函数的单调递减区间为 。
2．函数的单调递增区间为 。
3．已知函数(其中，)在区间上单调递减，则实数的取值范围是 。
4．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间上递减,则实数的取值范围为 。
5．已知函数在上单调,则的取值范围为 。
6．当时，，则的取值范围是 。
7．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若（且），则a的取值范围为_____________.
8．设，则a、b、c的大小关系 。
9．若，，，则的大小关系 。
考法四：值域
1．已知函数，，则的值域是_________．
2．函数的值域是__．
3．函数的值域为__________.
4．函数的最小值为_______．
5．已知函数的值域为R，则实数的范围是_________
6．已知的值域为，则实数的取值范围为 。
7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
8．函数，若的值域为，则的值为______.
9．若在上恒正，则实数的取值范围是 。
10．若函数有最小值，则的取值范围是 。
考法五：定点
1．函数（且）的图象经过的定点是 。
2．函数的图象过定点 。
3．已知函数(且)的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为 。
4．已知函数（，且）的图象恒过点，且点在直线上，那么的最大值 ？
考法六：图像
1．图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是 。．
A． B．
C． D．
2．在同一直角坐标系中，函数，的图像可能是 。
A． B．
C． D．
3．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是 。
A． B． C． D．
4．已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是______.
考法七：反函数
1．设常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝logax，若f（x）的反函数图象经过点（1，2），则a＝_____.
2．函数与互为反函数，且过点，则 。
3．函数的反函数的解析表达式为 。
4．若函数的反函数为,则不等式的解集为______.
考点11：幂函数
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日
【思维导图】
【常见考法】
考法一：幂函数定义辨析
1．已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则 。
2．幂函数在时是减函数，则实数m的值为 。
3．若幂函数没有零点，则满足 。
A．在定义域上单调递减 B．在单调递增
C．关于y轴对称 D．
4．已知幂函数y＝（m2﹣3m+3）xm+1是奇函数，则实数m的值为 。
考法二：幂函数的性质
1．函数的定义域 。
2．若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是 。
3．已知幂函数的图象过点，则该函数的单调递减区间为 。
4．若,则不等式的解集是 。
5．已知，则的取值范围__________.
6．已知函数，且，则实数的取值范围是______.
7．已知，，则的大小关系是 。
考法三：图像问题
1．幂函数y=（m2-m-5）x的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为______.
2．上图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于曲线、、、的依次为（ ）
3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）
① ② ③ ④
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
4．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.
考点12：零点定理
授课班级：高三数学 班 课程类型：复习 预习 □习题 上课日期： 年 月 日【思维导图】
【常见考法】
考点一：求零点
1．若幂函数的图象过点，则函数的零点是 。
2．函数的零点是____________.
3．若函数，则函数的零点是___________.
4．函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .
考点二：零点区间
1．函数的零点所在区间是( )
A． B． C． D．
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
考点三：零点个数
1．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为 。
2．方程的解的个数是 。
3．方程在区间上的解的个数为 。
4．若函数是定义在上的偶函数,,且,则函数的零点个数为___________.
5．已知函数，则方程的不相等的实根个数为______.
6．已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为 。
7．已知函数 ，则的零点个数为 。
8．已知函数，则方程实根的个数为 。
9．已知函数，则函数的零点个数为 。
考点四：根据零点求参数
1．已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是 。
2．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 。
3．若函数的零点所在的区间为,则k= 。
4．已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 。
5．函数有四个零点，则a的取值范围是________．
6．若函数，方程有两解，则实数m的取值范围为______ ．
7．偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是 。
8．已知，若存在三个不同实数，，使得，则的取值范围是 。
9．已知，若关于的方程有四个实根，则这四个根之积的取值范围________.
考法五：二分法
1．用二分法求函数零点时,用计算器得到下表：
1.00 1.25 1.375 1.50
1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为( )
A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875
2．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)
A． B． C． D．
4．已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066

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