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初高中数学衔接
---一元二次方程根的分布初步
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分三种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程（）的两个实根为，，且，则有：
结论1： ，，
结论2： ，，
结论3：
结论4：①，且；
②，且。
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（）
得出的结论
大致图象（）
得出的结论
综合结论（不讨论）
1.已知关于的方程有两个正根，求的取值范围.
解：根据关于的方程有两个正根，
可得，即，解得
2．在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？
分析：依题意有<0=>0<<3
3．有两个同号且不相等的实根,则的取值范围是__________ ()
二．一元二次方程的非零分布——分布
设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干结论：
结论1： 结论2：。
结论3：。
推论1 。推论2 。
结论4：有且仅有（或）
结论5： 或
结论6： 或
表二：（两根与的大小比较）
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即
大致图象（）
得出的结论
大致图象（）
得出的结论
综合结论（不讨论）
1．方程的两根都大于2,求实数的取值范围.
解：设f(x)= x2+(m－2)x+5－m, 则
原方程有大于2的实根f(x)= x2+(m－2)x+5－m
与x轴的两个交点的横坐标都大于2(如右图)
f(2)= 22+2(m－2)+5－m＞0
＞2 －5＜m≤－4
△=(m－2)2－4(5－m)≥0
2．已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围．
解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为
（1）即为，它的解集是．
（2）即为，它的解集是．
（3）的解集是．
所以，的取值范围是．
解二：二次方程有两个根的充要条件是．
设两根为，由于都小于1，即，其充要条件为：
即
因此，方程两个根都小于1的充要条件是：
以下同解法一（略）．
3.已知关于的方程一个根大于1，一个根小于1，求的取值范围.
解：设，由题意得，解得
4．如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.
解：∵f(0)=1>0
(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.
(2）当m>0时，则解得0＜m≤1
综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.
5.若关于的方程至少一个负根，则的取值范围是
解：当时，方程为，有一个负根，
当时，为一元二次方程，
关于的方程至少有一个负根，设根为，，
当时，即时，方程为，解得，满足题意，
当，即时，且时，
若有一个负根，则，解得，
若有两个负根，则，解得
综上所述，则实数的取值范围是，
故答案为：．
三．一元二次方程的根在区间上的分布：
表三：（根在区间上的分布）
分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象（）
得出的结论 或
大致图象（）
得出的结论 或
综合结论（不讨论） ——————
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）时，； （2）时，
（Ⅰ）在区间有两个实根
1．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围．
解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当 解得 - ≤a<-1.
∴ a的取值范围是 [ - , -1)．
2．已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围．
解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -3<2-3m<3 - （Ⅱ）在区间有且只有一个实根
3．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．
解：易知x1 = -1是方程的一个根，则另一根为x2 = ，
所以原方程有且仅有一个实根属于( -1, 1)当且仅当 -1< <1，
即 m< - 或m> ，
∴ m的取值范围为 (-,- )∪( , +).
4．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围．
解：设f(x) = ，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 ≠ 0，即m ≠ - .
f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)·f(2)<0 (5m+3)(m-2)<0 - 综上得：m的取值范围是(- , - )∪(- , 2)．
（Ⅲ）一根在内，另一根在内
5．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
解：条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则
，∴实数m的范围是.
6.已知方程，在下列条件下，求的范围：
（1）两个正根；
（2）两个负根；
（3）两个根都小于1；
（4）两个根都大于1；
（5）一个根大于1，一个根小于1；
（6）两个根都在内；
（7）两个根有且仅有一个在内；
（8）一个根在内，另一个根在内；
（9）一个根小于2，一个根大于4.
解：对于方程，令，
（1）方程有两个正根，等价于，解得；
（2）方程有两个负根等价于，解得；
（3）方程两个根都小于1等价于即，解得
（4）方程两个根都大于1，等价于，解得；
（5）方程一个根大于1，一个根小于1等价于，解得；
（6）方程两个根都在内，等价于，解得 ；
（7）方程两个根有且仅有一个在内，等价于，即，解得；
（8）一个根在内，另一个根在内，等价于，
（9）方程一个根小于2，一个根大于4，等价于，解得；
作业：
1．已知方程有两个负根，求的取值范围．
解：依题意有 ．
2．若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。
（）
3．已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。
（）
4．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
解：据抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 - 5．已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。
解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。
6.若关于的方程至少有一个负根，则的取值范围是
分析：分别考虑二次项系数，，利用二次方程的根与系数关系分别检验方程根的存在情况，可求的范围．
解：（1）当时，方程变为，没有实数根，故不符合题意；
（2）当时，，方程的两根满足，此时有且仅有一个负根，满足题意；
（3）当时，由方程的根与系数关系可得，
∴方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件，∴．
综上可得，的取值范围是．
故答案为：．
点评：本题主要考查了方程的根的存在情况的讨论，解题中不要漏掉a=0的考虑，另外还要注意：至少有一负根对方程根的个数的要求．
7.已知方程，在下列条件下，求的范围：
（1）两个正根；
（2）两个负根；
（3）两个根都小于；
（4）两个根都大于；
（5）一个根大于2，一个根小于2；
（6）两个根都在内；
（7）两个根有且仅有一个在内；
（8）一个根在内，另一个根在内；
（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大；
（10）一个根小于2，一个根大于4.

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