资源简介

正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用
一、利用正弦定理解三角形：
1．在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是( A )
A． B． C． D．
【解析】由题意知，
所以，故选A.
2. 的内角A，B，C的对边分别为,,,已知，则=_______.
【详解】由正弦定理，得．，
得，即，故选D．
3. 已知锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【解析】（1）在中，由，
利用正弦定理得，
所以，即，
因为，可得，所以，
又因为，所以.(6分)
（2）由（1）知，可得，可得，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，，且，
所以，，所以
故的取值范围为.
4.在中，内角的对边分别是，若，则的外接圆的面积为( C )
A. B. C. D.
略解：由得，
即，即，所以
5.在中，的对边分别为，已知
（1）求的值；
（2）若，，求边的值.
略解：（1）由得：，则
（2），
又因，即
所以，则
又因，联立解得, 由正弦定理得：
6.在锐角中， ，则的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
【分析】先根据已知求出的范围，即得，再利用正弦定理求出，即得解.
【详解】由题得
因为三角形是锐角三角形，所以.
由正弦定理得
所以.故选：B
【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．在中，、、分别是角、、的对边，且成等差数列.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求周长的取值范围.
解：（Ⅰ）由题意得
由正弦定理得：
∵， ∴，, 所以.
（Ⅱ）由正弦定理
则周长为
∵ ∴
从而周长的取值范围为.
8．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）由，根据正弦定理，有，
即有，则有，又，所以，．
（2）由（1），，则，又△ABC为锐角三角形，
所以，且，所以，于是．
则．
又，所以，的取值范围是．
二、应用余弦定理解三角形：
1. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ A ）
A. B. C. D.
【解析】在中，，，
根据余弦定理：,
可得 ，即
由, 故.
2. 的内角所对的边分别为，若，则内角的最大值为
略解：由得
即，又，
又，，所以内角的最大值为
3. 在△ABC中，,,分别是角,,的对边, ,则的取值范围为__________．
分析：由已知及余弦定理可求，即可求B，根据三角形内角和定理可求，利用三角函数恒等变换的应用可求，由A的范围利用正弦函数的图象和性质即可得答案.
详解：由条件，根据余弦定理得：，
B是三角形内角，，，即，
，
又，，.
故答案为.
点睛：本题主要考查了余弦定理、三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想.
4．在中，内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，在边上，且，，求．
解：（1）根据题意，若，则有：，
整理得：，可得：，
又在中，，∴．
（2）设，可得，
因为，，，
由余弦定理可得：，解得，①
又，解得，②
联立①②，解得，解得（负值舍去）．
5. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为_______.
【详解】因为，所以，即是钝角， 是锐角，
，即
得，
故 ，
因为，所以，
当且仅当时，即时最大，为，
故角取最大值，，故，
又由，故，即周长为.
6. 在中,内角的对边分别为,若,且,则的周长的取值范围是( B )
A. B. C. D.
解析：由,得,因为
所以,解得又,所以由余弦定理可得,
因为,当且仅当时取等号,所以
则即,所以△的周长,故选B.
三、正弦定理、余弦定理综合应用解三角形：
1. 在中，，,,则____12___.
【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可.
【详解】,
由余弦定理可知
, 故答案为：
2．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角的取值范围为（ A ）
A． B． C． D．
略解：因，，成等比数列，，
，
3.在中，，则（ A ）
A. B. C. D.
【详解】由已知得，故由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以，.故选：A.
4．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则（ D ）
A． B． C． D．
【解析】锐角中，，
由余弦定理可得，化简得：，
又
．
5．在中，分别是角的对边，，且，，求的值
提示：因，由正弦定理可得
由可得，再由余弦定理可求得的值
6．在中，，，的面积为，则外接圆面积为（ C ）
A． B． C． D．
【解析】在中，，则，
根据余弦定理：，
则，外接圆直径，则，
外接圆面积．
7.已知锐角的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
略解：（1）由余弦定理得
则有，即，再由正弦定理得，
，
（2），
，进而问题转化成在的条件下求的范围的问题。
，，，
，，，，
，
8. 的内角A，B，C的对边分别,,,已知，，则=( A )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
解：由已知及正弦定理可得，
由余弦定理推论可得，
故选A．
9. 在中，三内角的对边分别是，且，，为的面积，则的最大值为（ D ）
A. B． C. D.
略解：由得，设外接圆的半径为为，则，
，故选D

展开更多......

收起↑