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充分条件和必要条件
一、充分条件与必要条件
（一）、推断符号“”的含义：一般地,如果“若,则”为真, 即如果成立，那么一定成立,记作:“”;
如果“若,则”为假, 即如果成立，那么不一定成立,记作:“”.
用推断符号“和”写出下列命题：⑴若，则；⑵若，则；
（二）充分条件与必要条件
1、一般地，如果，那么称是的充分条件；同时称是的必要条件,与是否推出没有任何关系。
理解：若是的充分条件或是的充要条件，则说明由可以推出
2、如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？
由上述定义知“”表示有必有，所以是的充分条件，这点容易理解．但同时说是的必要条件是为什么呢？是的必要条件说明没有就没有,是成立的必不可少的条件,但有未必一定有.
充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．
必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非 则非”为真（即）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．
（三）、命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
（1）充分必要条件（充要条件），即 且；
（2）充分不必要条件，即且；称为：是的充分不必要条件或是必要不充分条件
（3）必要不充分条件，即 ，且称是必要不充分条件或是充分不必要条件
（4）既不充分又不必要条件，即且．（能推的就是充分，不能推的就是必要）
（四）充分、必要条件 的四种情形
原命题 逆命题 与的关系 结论
真 真 ，但 是的充分不必要条件；是的必要不充分条件
假 真 但 是的必要不充分条件；是的充分不必要条件
真 真 且即 与互为充要条件
假 假 且 是的既不充分也不必要条件；是的既不充分也不必要条件
（五）、充分、必要条件的判断
1、定义法：（1）、分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；（2）找推式：判断及是否成立；（3）、下结论：根据推式及定义下结论。
2、等价法：将命题转化为另一个等价的更便于判断的例题。
3、逆否法
若，则是的必要条件，是的充分条件；若且，则是的必要不充分条件；
若，则与互为充要条件；若，则即不是的充分条件，也不是的必要条件。
4、集合法：用集合法判断时，要尽可能用图示法、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度。
5、递推法：由于逻辑联系符号具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系。
（四）、从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件设
若A B，则p是q的充分条件，若，则p是q的充分不必要条件
若B A，则p是q的必要条件，若，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.
三、充要条件的证明
1、充要条件的证明思路根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明；
（1）、 充分性:把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出
（２）、 必要性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出
2、充要条件的证明分充分性的证明和很必要性的证明两个步骤，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
（1）、是充要条件，则由证的是充分性，由证的必要性。
（2）、的充要条件是，则由证的是必要性，由证的是充分性。
规律方法　一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p q.
3、例题讲解
1、已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}.(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|52、是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.
3、已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围.
4、已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
5、已知实数p：x2﹣4x﹣12≤0，q：(x﹣m)(x﹣m﹣1)≤0.(1)若m=2，那么p是q的什么条件；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
6、已知条件：，条件：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
7、已知命题关于的方程有实数根，命题．（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
8、求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
9、设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
10、求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.
11、求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
12、已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围.
14、已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
15、已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
16、求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是．
17、求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
18、已知，求证：的充要条件是．
19、求证：关于的方程有一个根为的充要条件是．
20、已知的三边为、、，求证：二次方程与有一个公共根的充要条件是.
21、命题；命题（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值
22、已知非空集合，集合，命题．命题．
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）当实数为何值时，是的充要条件．
解析与答案
1、已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}.(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5解　由M∩P＝{x|5(2)M∩P＝{x|5(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5故a<－3时为必要不充分条件.
(1)\、充分不必要的证明
2、是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.
解　由x2－x－2>0解得x>2或x<－1，令A＝{x|x>2或x<－1}.
由4x＋p<0，得B＝.当B A时，即－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1 x2－x－2>0，
∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件.
规律方法　(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p q可得A B；q p可得B A；若p是q的充分不必要条件，则A B.
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.
3、已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围.
解　设p对应的集合为A，q对应的集合为B.解不等式x2－8x－20＞0，得A＝{x|x＞10或x＜－2}.解不等式x2－2x＋1－a2＞0，得B＝{x|x＞1＋a或x＜1－a，a＞0}.依题意知p q，q /p，说明AB.于是有
(说明：“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取到)解得0＜a≤3.∴正实数a的取值范围是0＜a≤3.
4、已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
解　由题意知p：≤2 －2≤－1≤2 －1≤≤3 －2≤x≤10.
q：x2－2x＋1－m2≤0 [x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0.(*)∵p是q的充分不必要条件，
∴不等式≤2的解集是x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)的解集的真子集.
∵m＞0，∴不等式(*)的解集为{x|1－m≤x≤1＋m}，
且1－m＝－2与1＋m＝10不同时成立.∴ ∴m≥9.∴实数m的取值范围是[9，＋∞).
5、已知实数p：x2﹣4x﹣12≤0，q：(x﹣m)(x﹣m﹣1)≤0.(1)若m=2，那么p是q的什么条件；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
解：实数p：x2﹣4x﹣12≤0，解得：﹣2≤x≤6，q：(x﹣m)(x﹣m﹣1)≤0，解得：m≤x≤m+1，
令A=[﹣2，6]，B=[m，m+1]，（1）若m=2，则B=[2，3]，
，那么p是q的必要不充分条件；（2）若q是p的充分不必要条件，
即，则，解得：﹣2≤m≤5(等号不同时成立)，∴m∈[﹣2，5].
（2）、必要不充分的证明
6、已知条件：，条件：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：，即或，，
∵是的必要不充分条件，∴，∴，∴，即.
7、已知命题关于的方程有实数根，命题．（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）命题：关于的方程没有实数根，
∵是真命题，∴满足，即，解得.故实数的取值范围是.
（2） 由（1）可得当命题是真命题时，实数的取值范围是，
是的必要不充分条件，∴是的真子集，
即或，解得或.故实数的取值范围是.
（3）充要的证明
8、求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
解： 证明　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
9、设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
解、证明　充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，“xy≥0”是“等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立”的充要条件．
10、求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.
证明　①必要性：若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
即
解得k<－2.
②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2，
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.
11、求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx.
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.
②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
12、已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围.
解　由(x－a)2<1得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，∴a－1∵M是N的充分条件，∴M N，∴解得－2≤a≤7.故a的取值范围是－2≤a≤7.
13、已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解　p：－2≤x≤10. q：x2－2x＋1－m2≤0 [x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0 (m>0) 1－m≤x≤1＋m (m>0)．
因为q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有或，解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|014、已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
解　依题意a>0.由条件p：|x－1|>a 得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<，或x>1. 要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有或解得a≥. 令a＝1，则p：x<0，或x>2，此时必有x<，或x>1.即p q，反之不成立．∴a＝1.
15、已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
解：（1）必要性：由，得，即，又由，得，所以.
（2）充分性：由及，得，即.综上所述，的充要条件是
16、求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是．
解：充分性：，，方程有实根，设的两根为，，
由韦达定理知：，、同号，又，，同为负根；
必要性：的两个实根，均为负，且，
，．所以命题得证．
17、求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
解： (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
18、已知，求证：的充要条件是．
解：（1）证明必要性：因为，所以．
所以
．
（2）证明充分性：因为，
即，又，所以且．
因为，所以，即．
综上可得当时，的充要条件是．
19、求证：关于的方程有一个根为的充要条件是．
解：充分性：，，代入方程得，即．关于的方程有一个根为；
必要性：方程有一个根为，满足方程，
，即．故关于的方程有一个根为的充要条件是．
20、已知的三边为、、，求证：二次方程与有一个公共根的充要条件是.
解：必要性：设方程与的公共的公共根为，
则，两式相加得，解得，（舍）.
将代入，得，
整理得，所以，；充分性：当时，则，
于是，
该方程有两根，.同理，
该方程亦有两根，.显然，两方程有公共根，
故方程与有公共根的充要条件为.
21、命题；命题（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值
解：（1）若在上恒成立，则，
所以有，所以实数的范围为；
（2）或，根据条件的解集是，
即方程的二根为2和3，根据韦达定理有，
所以，。
22、已知非空集合，集合，命题．命题．
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）当实数为何值时，是的充要条件．
解：（1）解不等式，即，解得，则.
由于是的充分不必要条件，则，，
①当时，即当或时，，不合题意；
②当时，即当或时，，，则，解得，
又当，，不合乎题意.所以；
③当时，即当时，，则，此时.综上所述，实数的取值范围是；
（2）由于是的充要条件，则，
所以，和是方程的两根，由韦达定理得，解得.

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