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平面向量的数量积及应用
一、知识要点：
1．向量的夹角：
已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
2．平面向量的数量积：
(1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量||||cos θ 叫作与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即·＝0.
(2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积．
3．向量的数量积的性质：
①设两个非零向量，，其夹角为，则： ；
②当，同向时，＝，特别地，；
当与反向时，＝－；
当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；
当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；
③非零向量，夹角的计算公式：；
④。
⑤·=·=︱︱cos (为单位向量);
4．平面向量数量积的坐标表示：
设向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，θ为向量，的夹角．
(1)数量积：·＝||||cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：||＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量⊥的充要条件：·＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)| ·|≤||||(当且仅当∥时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
5．平面向量数量积的运算律：
(1) ·＝·(交换律)．
(2)λ·＝λ(b)＝·(λ)(结合律)．
(3)( ＋)·＝·＋·(分配律)．
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；
（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？
6．重要结论:
①向量垂直的充要条件： .
特别地。
②为的垂心；
辨析感悟：
1．对平面向量的数量积的认识：
(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量．(×)
(2)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为－.(×)
(3)若·＞0，则和的夹角为锐角；若·＜0，则和的夹角为钝角．(×)
2．对平面向量的数量积的性质、运算律的理解：
(4) ·＝0，则＝0或＝0.(×)
(5)( ·)·＝·(·)．(×)
(6) ·＝·(≠0)，则＝.(×)
[感悟·提升]
三个防范：一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；
二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量，的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，在的方向上投影为||，当θ＝180°时，在方向上投影为－||，如(2)；当θ＝0°时，a·＞0，θ＝180°，·＜0，即·＞0是两个向量，夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；
三是·＝0不能推出＝或＝，因为·＝0时，有可能⊥，如(4)．
二、题型：
(一) 向量的数量积的概念:
1．对于向量，，和实数，下列命题中真命题是（ B ）
A．若，则或 B．若，则或
C．若，则或 D．若，则
2.对于非零向量，，，下列命题正确的是（ C ）
A．若，则 B．若，则在上的投影为
C. 若，则 D．若，则
3．在中，
①点为所在平面内一点，且满足，则点为的重心；
②点为所在平面内一点，且满足，则点为的内心；
③若中，，则为钝角三角形；
④若中，，则为正三角形；
⑤若点为所在平面内异于、、的一定点，动点满足
，则动点必过的重心；
其中所有正确结论的序号是 ①④⑤
（二）求平面向量数量积：
(Ⅰ) 定义法：
1.已知圆是的外接圆，其半径为1，且，，则（ B ）
A. B. C. D.
略解：由题意知是直角三角形，且，，
2.在中，，，则的值为（　D　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】由题意可得，根据向量的加法的几何意义即可求出答案
解：，
两边平方可得
∴，∴，故选：D．
3.已知平面向量，满足，则在方向上的投影是
略解：由平方得，再由
(Ⅱ) 坐标法：
1.已知是边长为2的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值是（ B ）
A. B. C. D.
略解：以为轴，边上的高为轴建立坐标系，则，并设
则，时，最值
2．在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】画出图像如下图所示，
以，分别为，轴建立平面直角坐标系，故，，
设，所以，
根据二次函数的性质可知，对称轴，
故当或时取得最大值为0，当时取得最小值为，故的取值范围是．故选B．
(Ⅲ)基向量法：
1.在直角三角形中，为直角，且，点是斜边上的一个三等分点，则（ B ）
A. B. C. D.
略解：
2.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
试题分析：设，，∴，，
，∴，
故选B.
3．在中，边的边长分别为3，2，则　　　　　　　．
4.在中，若，，，为边的三等分点，则（ B ）
A． B． C． D．
5.已知点是边长为的正的边上的动点，则（ ）
A．最大值为 B．是定值 C. 最小值为 D．是定值
【分析】设=，=，=t，根据平面向量的数量积计算 ﹙+﹚的值．
【解答】设=，=，=t，则=﹣=﹣，==16，
=4×4×cos60°=8； ∴=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t，
又∵+=+，∴ ﹙+﹚=[﹙1﹣t﹚+t] ﹙+﹚
=﹙1﹣t﹚+[﹙1﹣t﹚+t] +t =﹙1﹣t﹚×16+8+t×16=24，
∴是定值24．故选：B．
点评：本题可用定义法，也可用坐标法，还可用基向量法
6.在平行四边形中，已知，为的中点
（1）求线段的长；
（2）若为线段的中点，求在上的投影；
（3）若为线段上的动点，求的取值范围。
提示：（2）基向量法
（3）用基向量法，设
(Ⅳ)方程组法：
1．设向量满足，，则（ A ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）5
解：两边平方得，
同理，两边平方得，两式相减.故选A.
【思路点拨】把，平方相减即可得到结果.
（三）求向量的夹角：
（Ⅰ）定义法：
1.已知,为单位向量，且，若，则______.
【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】因为，，所以，
，所以，
所以 ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
2.已知非零向量，，满足，且，的夹角为，，则，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
略解：，，再用定义法即可求得，的夹角
（Ⅱ）坐标法：
1.已知向量，则___________.
详解：．
【点睛】本题考点为平面向量的夹角，为基础题目，难度偏易．不能正确使用平面向量坐标的运算致误，平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
（Ⅲ）数形结合法：
1．已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
解：，∴A点在以C为圆心，为半径的圆上，
当OA与圆相切时对应的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置
OC与x轴所成的角为；与切线所成的为
所以两个向量所成的最小值为；最大值为.
【思路点拨】利用CA是常数，判断出A的轨迹为圆，作出A的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围．
（Ⅳ）逆向问题：
1.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若与的夹角为60°，则实数λ的值是 .
解析：，
，
，
，解得：．
2.已知向量，，，若为锐角，则实数的取值范围是 ．
解：∵，，若∥，则有，解得．
由题设知，，，
∵为锐角，∴，可得．
由题意知，当时，∥．
故当为锐角时，实数的取值范围是，
故答案为．
若∥，求得．求出和的坐标，由，可得．由此可得当为锐角时，实数的取值范围．
本题主要考查向量的表示方法，两个向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题．
（四）求向量的模：
（Ⅰ）定义法：
1．平面向量与的夹角为，且，，则( C )
A. B. C. 2 D.
【知识点】向量的数量积运算；向量的模的运算.
解：因为，故，所以，
而.
【思路点拨】下通过已知条件得到以及，然后代入即可.
2．已知向量的夹角为， ；
【知识点】向量加减法的应用；数量积表示两个向量的夹角．
解：因为向量的夹角为，所以
，则，同理，故.
【思路点拨】由条件求得利用两个向量的数量积的定义求得
的值，再求得以及的值，即可得到 的值
（Ⅱ）坐标法：
1．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，则a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝2.
综上，可知|a－b|＝2或2.
（Ⅲ）方程组法：
1．在中，若，，则的值为( C )
A、1 B、3 C、 D、
（Ⅳ）数形结合法：
1．已知向量的值是（ D ）
A． B． C． D．1
（五）平面向量的垂直问题：
1．与垂直的单位向量为_____, _______
2．已知为所在平面上一点，若,则为的( C )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【知识点】向量数量积的运算性质;三角形的垂心.
解：∵ ，
，可得,因此，点O在AC边上的高BE上，
同理可得：O点在BC边上的高AF和AB边上的高CD上
∴点O是△ABC三条高线的交点，因此，点O是△ABC的垂心,故答案为选C.
【思路点拨】将等式移项提公因式，结合减法法则化简整理可得，因此点O在AC边上的高BE上．同理可得O点也在BC边上的高AF和AB边上的高CD上，由此即可得到本题答案．
3.已知，.
（1）求证：；
（2）将与的数量积表示为关于的函数.
略解：由即可；
（2）由两边平方变形可得
4.已知向量，，且满足关系
（1）求与的数量积用表示的解析式.
（2）能否和垂直？能否和平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的值；
（3）求与夹角的最大值。
略解：（1）由两边平方变形可得
解：(1)由题， 且两边平方变形可得
(2)若则，而无解，因此和不可能垂直；
若则即，解得，
综上，和不可能垂直；当和平行时，；
(3)设与夹角为，则
因此，当且仅当即时，有最小值为，
此时，向量与的夹角有最大值为。
练习：
1.关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为　　②　　．（写出所有真命题的序号）
2.在中，，，若为外接圆的圆心，则= 8
分析：根据，将向量的数量积转化为：，如图，再根据向量数量积的几何意义即可得到答案．
【解析】由于，∴，
如图，设AB，AC的中点分别为F，E．根据向量数量积的几何意义得：
3.已知菱形的边长为2，，是线段上一点，则的最小值是
解析：以菱形的对角线的坐标轴建立坐标系，用坐标法即可
4.在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（ C ）
　 Ａ．6 Ｂ．12 Ｃ．24 Ｄ．48
略解：（基向量法），
，，又，
5.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（ B ）
A． B． C． D．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角．
解：由已知得 化简①得，再化简②可得，
令，则由
以及，可得四边形OACB为矩形，∠AOC即为向量与的夹角．
令OA=1，则OC=2，直角三角形OBC中，cos∠BOC==，∴∠AOC=．
【思路点拨】将平方，转化可得，，令，，数形结合求得cos∠BOC 的值，可得∠BOC 的值，即为所求．
6. 若向量，满足，且，则，的夹角为
（数形结合即可）
7.已知为钝角，则λ的取值范围是 且 .
8.已知单位向量的夹角为，则= 1
9.设，，若，则实数_____．
【知识点】向量的运算；向量垂直的充要条件.
解：，
又，即解得.
【思路点拨】先由向量的基本运算得到的坐标表示，再利用向量垂直的充要条件即可.
10.已知，与的夹角是.
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，？
略解：（1），
（2）

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