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《立体几何》专题8-1 外接球涉圆柱、圆锥
（6套6页含答案）
知识点：
外接球、内切球涉圆锥、圆柱、直棱柱、直棱锥、正棱锥： 求圆柱的外接球半径，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径。 求圆锥的外接球半径，可以先作其轴截面，其为三角形。该三角形中垂线的交点即为球心。 求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可。 求直棱椎的外接球，可以先求其外接直棱柱、圆柱，再利用该圆柱体的轴截面求半径即可。 求正棱椎的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径即可。
典型例题：
圆柱体高为4，底面半径为，则其外接球的体积为 [endnoteRef:0] [0: 答案：；]
已知直三棱柱ABC—A1B1C1的顶点都在球O上，且AB＝4, A A1＝6, ∠ACB＝30 ,则此直三棱柱的外接球O的表面积是（ [endnoteRef:1] ）
A. 25π B. 50π C. 100π D. [1: 答案：C；]
三棱锥中，且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为(　[endnoteRef:2]　) A. B． C． D． [2: 答案：C；]
已知圆锥体底面半径为2，母线为4，则其外接球的表面积为 [endnoteRef:3] [3: 答案：；]
已知正四棱锥，其底面边长为2，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积是[endnoteRef:4] ．
[4: 答案：；]
随堂练习：
圆柱体高为2，底面半径为，，则其外接球的体积为 [endnoteRef:5] [5: 答案：；]
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_[endnoteRef:6]________ [6: 答案：；
【解析】∵正六边形周长为３，得边长为，故其主对角线为１，从而球的直径 ∴ ∴球的体积.
]
在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为[endnoteRef:7]________． [7: 答案：；
【解析】
的外接球直径为，，.
【命题意图】本题考查四面体外接球表面积计算，考查直观想象和数学运算的核心素养，属基础题.
]
已知圆锥体底面半径为3，高为6，则其外接球的表面积为 [endnoteRef:8] [8: 答案：；]
正四棱锥的各棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为___[endnoteRef:9]___．
[9: 答案：； ]
《立体几何》专题8-2 外接球涉圆柱、圆锥
圆柱体高为3，底面半径为，则其外接球的表面积为 [endnoteRef:10] [10: 答案：；]
圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为[endnoteRef:11]__________________． [11: 答案：；
]
直三棱柱高为，AB＝7，BC＝4，AC＝，则该三棱柱外接球体积为[endnoteRef:12] 　　． [12: 答案：；]
已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（ [endnoteRef:13] ）
A． B． C． D． [13: 答案：C；]
已知圆锥的母线长为，它的底面圆周和顶点都在一个表面积为的球面上，则该圆锥的体积为（[endnoteRef:14] ） A. B. C. D. [14: 答案：B；
解：如图，圆锥的母线长，
它的底面圆周和顶点都在一个表面积为的球面上，
球半径，
设圆锥底面圆半径，
则，
，
，
解得，
该圆锥的体积．
故选：B．
球半径，设圆锥底面圆半径，则，由，列出方程求出，由此能出该圆锥的体积．
本题考查圆锥体积的求法，考查球、圆锥等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．]
已知正四棱锥的底面边长为2，高为1，则这个正四棱锥的外接球的表面积为　[endnoteRef:15]　． [15: 答案：9π；]
如图，是边长为1的正方体，S-ABCD是高为1的正四棱锥，
若点在同一球面上，则该球的表面积为（[endnoteRef:16] ）。
(A) （B） （C） （D）
[16: 答案：D；
【考点】空间几何体表面积计算。
【解析】按如图所示作辅助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知，则在中，，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为，故选D．
]
《立体几何》专题8-3 外接球涉圆柱、圆锥
圆柱体高为，底面半径为1，则其外接球的体积为 [endnoteRef:17] [17: 答案：；]
直三棱柱高为，底面三角形三边长分别为5、7、8，则该三棱柱外接球
表面积为[endnoteRef:18] ． [18: 答案：；]
《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）。在如图所示的堑堵中，，，，则阳马的外接球的表面积是[endnoteRef:19] 。
[19: 答案：B；
【解析】将阳马补为一个棱长为的长方体
则长方体的体对角线
,.故选]
已知圆锥的高为3，它的底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（[endnoteRef:20] ） A． B． C． D． [20: 答案：B；]
四棱锥P－ABCD的底面是边长为4的正方形，侧棱长都等于4，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_____[endnoteRef:21]____． [21: 答案：100；]
表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ [endnoteRef:22] ）
A． B． C． D． [22: 答案：A；
【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。
]
《立体几何》专题8-4 外接球涉圆柱、圆锥
圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，
则该圆柱的表面积为[endnoteRef:23] ． [23: 答案：80π；]
直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于 [endnoteRef:24] 。 [24: 答案：；
解:在中，，可得，由正弦定理，可得
外接圆半径r＝2，设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
]
如图，在平面四边形ABCD中，，，将其沿对角线折成四面体， 使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ [endnoteRef:25] ） （A） （B） （C） （D）
[25: 答案：A；]
轴截面为等边三角形的圆锥的表面积与其外接球表面积之比为____[endnoteRef:26]___ [26: 答案：；]
已知四棱锥P－ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P－ABCD的体积为[endnoteRef:27] ．
[27: 答案：6或54；]
如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，分别是的中点，，若在同一球面上，则此球的体积为__[endnoteRef:28]__.
[28: 答案：；
【解析】依题意得，过点作于，∵，∴，故为正方形的中心，易证平面，四棱锥为正四棱锥，
∵，∴四棱锥外切球的球心为，
∴球的体积.
]
《立体几何》专题8-5 外接球涉圆柱、圆锥
学生到工厂参加实践劳动，永薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是（[endnoteRef:29] ）
A. B. C. D. [29: 答案：B；]
已知三棱柱的各侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为2∶1，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为π，则此三棱柱的侧面积为(　[endnoteRef:30]　)(A) (B) (C)8 (D)6
[30: 答案：D；]
三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两成，且PA＝1，PB＝PC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为[endnoteRef:31] ．
[31: 答案： ；]
已知圆锥体高为6，底面半径为，则其外接球的体积为 [endnoteRef:32] [32: 答案：；]
蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知某鞠的表面上有四个点、、、，满足任意两点间的直线距离为，现在利用打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ [endnoteRef:33] ）
（参考数据：取，，，精确到）
A． B． C． D． [33: 答案：C；
正四面体外接球问题，所需要材料即为正四面体外接球体积与正四面体体积差。正
四面体的棱长为，则正四面体的高为，外接球半径为，内切球半径为．所
以打印的体积为：，又
，所以，故选C
]
《立体几何》专题8-6 外接球涉圆柱、圆锥
已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（ [endnoteRef:34] ） A． B． C． D． [34: 答案：D；]
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　[endnoteRef:35]　　　　　． [35: 答案：；
【解析】令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且. ]
已知正三角形的边长为4，将它沿高翻折，使点与点间的距离为2，则四面体ABCD外接球表面积为（ [endnoteRef:36] ） （A） （B） （C） （D）
[36: 答案：C； ]
已知圆锥体底面和母线夹作为60度，母线为8，则其外接球的半径为 [endnoteRef:37] [37: 答案：；]
已知正四棱锥P－ABCD的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( [endnoteRef:38] )
A． B． C. D．
[38: 答案：C；]
已知正四棱锥的底面边长为1，高为1，则这个正四棱锥的外接球的表面积为　　[endnoteRef:39]．
[39: 答案：；
]

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