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《立体几何》专题13-1 点线面
（4套，7页，含答案）
知识点1：
点线面基本概念： 直线、平面都是无限延伸的，平时可以用书本表示平面，用笔表示直线，加以想象，方便理解。 熟悉各种符号：∈、、∩、 、 ； 三个公理： 1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么________________在此平面内． 符号：________________________________． 公理2：过______________________的三点，____________一个平面． 3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线． 符号：________________________________．
答案：（[endnoteRef:0] [endnoteRef:1] [endnoteRef:2] ） [0: 答案：两点　这条直线　A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α；] [1: 答案：不在一条直线上　有且只有；] [2: 答案：一个　一条　P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l；]
典型例题1：
下列命题：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为(　[endnoteRef:3]　)
A．1 B．2 C．3 D．4 [3: 答案：A；
　[由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A．]]
用符号语言表示下列语句：
(1)点A在平面α内但在平面β外：______________．
(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________．
(3)直线l在面α内也在面β内：____________．
(4)平面α内的两条直线M、n相交于A：____________[endnoteRef:4]____________． [4: 答案：(1)A∈α，A β　(2)A∈α，B α且A∈l，B∈l　(3)l α且l β　(4)M α，n α且M∩n＝A；]
已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　[endnoteRef:5]　)
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线 α、β重合 [5: 答案：C；
　[∵A∈α，A∈β，
∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．]
]
空间中，可以确定一个平面的条件是(　[endnoteRef:6]　)
A．两条直线 B．一点和一条直线 C．一个三角形 D．三个点 [6: 答案：C；]
随堂练习1：
下列图形中，不一定是平面图形的是(　[endnoteRef:7]　)
A．三角形 B．菱形 C．梯形 D．四边相等的四边形 [7: 答案：D；]
把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)Aα，a α________． (2)α∩β＝a，Pα且Pβ________．
(3)a α，a∩α＝A________． (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O____[endnoteRef:8]____． [8: 答案：(1)C　(2)D　(3)A　(4)B；]
下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面； ④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是_____[endnoteRef:9]___． [9: 答案：③；]
空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有(　[endnoteRef:10]　)
A．2个或3个 B．4个或3个 C．1个或3个 D．1个或4个 [10: 答案：D；
　[四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]]
知识点2：
线线： 空间两条直线的位置关系有且只有三种：__________、__________、_________． 2．异面直线的定义：________________________________的两条直线叫做异面直线．
（可以这样理解：既不平行也不相交的两条直线叫做异面直线） 公理4：平行于同一条直线的两条直线____________． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应______，那么这两个角_____或_____．
答案：（[endnoteRef:11] [endnoteRef:12] [endnoteRef:13] [endnoteRef:14] ） [11: 答案：相交直线　平行直线　异面直线；] [12: 答案：不同在任何一个平面内；] [13: 答案：互相平行；] [14: 答案：平行　相等　互补；]
典型例题2：
若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有(　[endnoteRef:15]　)
A．∠BAC＝∠B′A′C′ B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180° D．∠BAC＞∠B′A′C′ [15: 答案：C；]
异面直线是指(　[endnoteRef:16]　)
A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 [16: 答案：D；
[解析]　对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．
对于C，如右图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.
规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．
]
正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有(　[endnoteRef:17]　)
A．3条 B．4条 C．6条 D．8条 [17: 答案：C；
[解析]　画一个正方体，不难得出有6条．
]
分别在两个平面内的两条直线的位置关系是______，不平行的两条直线的位置关系是_______，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是______，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为___[endnoteRef:18]____． [18: 答案：平行、相交、异面　相交、异面　平行、异面　平行、相交、异面；]
随堂练习2：
如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是_____[endnoteRef:19]___． [19: 答案：平行或异面；]
“a、b为异面直线”是指：
①a∩b＝ ，且a不平行b；②a 面α，b 面β，且a∩b＝ ；③a 面α，b 面β，且α∩β＝ ；
④a 面α，b 面α；⑤不存在面α，使a 面α，b 面α成立．
上述结论中，正确的是(　[endnoteRef:20]　) A．①④⑤ B．①③④ C．②④ D．①⑤ [20: 答案：D；]
给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是(　[endnoteRef:21]　) A．1 B．2 C．3 D．4 [21: 答案：B；
　[①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；
当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．
]
知识点3：
平面： 1．一条直线a和一个平面α有且仅有________________________三种位置关系．(用符号语言表示) 2．两平面α与β有且仅有________和________两种位置关系(用符号语言表示)．
答案：（[endnoteRef:22] [endnoteRef:23]） [22: 答案：a α，a∩α＝A或a∥α；] [23: 答案：α∥β　α∩β＝l；]
典型例题3：
下列说法中正确的是(　[endnoteRef:24]　)
A．镜面是一个平面 B．一个平面长10 m，宽5 m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍 D．所有的平面都是无限延展的 [24: 答案：D；
[解析]　镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确；故选D.]
经过一点可以作__________个平面；经过两点可作________个平面；经过不在同一直线上的三点可作____[endnoteRef:25]____个平面． [25: 答案：无数，无数，一；]
指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．
(1)如图，直线a在平面α内． (2)如图，直线a和平面α相交．
(3)如图，直线a和平面α平行．[endnoteRef:26]
[26: 答案：解　(1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：
(1)直线a在平面α内：
(2)直线a与平面α相交：
(3)直线a与平面α平行：
]
已知直线a∥平面α，直线b α，则a与b的位置关系是(　[endnoteRef:27]　)
A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 [27: 答案：D；]
以下结论中，正确的结论序号为_____[endnoteRef:28]___．
①过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行；
②过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行；
③过直线l外一点P，有且只有一条直线与l平行；
④过直线l外一点P，有且只有一个平面与l平行；
⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行；
⑥l∥α，A∈α，过A与l平行的直线l1必在α内． [28: 答案：②③⑥；
[解析]　①错，②对，见图一，过P有无数条直线都与α平行，这无数条直线都在平面β内，有且只有一个β∥α；
③对，④错，见图二，想一想打开的书页，一支笔与书脊平行；
⑤错，可以在其中一个平面内；⑥对，假设l1不在α内，直线l与点A确定一个平面β，与α相交得交线l′，∵a∥α，∴a∥l′，又l∥l1，∴l1∥l′，这与l1∩l′＝A矛盾，故l1 α.
]
随堂练习3：
空间中四点可确定的平面有(　[endnoteRef:29]　)
A．1个 B．3个 C．4个 D．1个或4个或无数个 [29: 答案：D；
[解析]　当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．]
若一直线a在平面α内，则正确的图形是(　[endnoteRef:30]　)
[30: [答案]　A；]
设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是(　[endnoteRef:31]　) A．①② B．②③ C．①④ D．③④
①P∈a，P∈α a α ②a∩b＝P，b β a β
③a∥b，a α，P∈b，P∈α b α ④α∩β＝b，P∈α，P∈β P∈b
[31: [答案]　D；
[解析]　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D.]
下列命题正确的有____[endnoteRef:32]____．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，则直线a∥b. [32: [答案]　①⑤；
[解析]　①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的．]
《立体几何》专题13-2 点线面
若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作(　[endnoteRef:33]　)
A．M∈b∈β B．M∈b β C．M b β D．M b∈β [33: 答案：B；]
空间不共线的四点，可以确定平面的个数是(　[endnoteRef:34]　)
A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定 [34: 答案：C；]
若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：
①∠ACB＝∠A′C′B′； ②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.
一定成立的是__[endnoteRef:35]______． [35: [答案]　③；
]
如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　[endnoteRef:36]　)
A．12对 B．24对 C．36对 D．48对 [36: 答案：B；]
若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　[endnoteRef:37]　)
A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 [37: 答案：D；
　[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]
]
分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　[endnoteRef:38]　)
A．异面 B．平行 C．相交 D．以上都有可能 [38: 答案：D；]
空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　[endnoteRef:39]　 )
A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 [39: 答案：B；
　[
易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，
故四边形EFGH为矩形．]
]
若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是(　[endnoteRef:40]　)
A．相交 B．b∥α C．b α D．b∥α或b α [40: 答案：D；]
若直线M不平行于平面α，且M α，则下列结论成立的是(　[endnoteRef:41]　)
A．α内的所有直线与M异面 B．α内不存在与M平行的直线
C．α内存在唯一的直线与M平行 D．α内的直线与M都相交 [41: 答案：B；]
三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为________[endnoteRef:42]______． [42: 答案：4,6,7,8；]
下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：
①∵A α，B α，∴AB α； ②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；
③∵A a，a α，∴A α； ④∵A α，a α，∴A a.
其中表述方式和推理都正确的命题的序号是(　[endnoteRef:43]　)
A．①④ B．②③ C．④ D．③ [43: [答案]　C；
[解析]　①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．
]
《立体几何》专题13-3 点线面
已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　[endnoteRef:44]　)
A．1条或2条 B．2条或3条 C．1条或3条 D．1条或2条或3条 [44: 答案：D；]
给出以下命题：
①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；
③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．
其中正确命题的个数是___[endnoteRef:45]_____． [45: 答案：0；]
分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　[endnoteRef:46]　)
A．一定平行 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面 [46: 答案：D；]
a，b为异面直线，且a α，b β，若α∩β＝l，则直线l必定(　[endnoteRef:47]　)
A．与a，b都相交 B．与a，b都不相交
C．至少与a，b之一相交 D．至多与a，b之一相交 [47: [答案]　C；
[解析]　若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.
]
直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　[endnoteRef:48]　)
A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能 [48: [答案]　D；
[解析]　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.
]
三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有(　[endnoteRef:49]　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条 [49: 答案：D；]
平面α∥β，且a α，下列四个结论：
①a和β内的所有直线平行； ②a和β内的无数条直线平行；
③a和β内的任何直线都不平行； ④a和β无公共点．
其中正确的个数为(　[endnoteRef:50]　)
A．0 B．1 C．2 D．3 [50: 答案：C；]
若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是_______[endnoteRef:51]___________． [51: 答案：b α，b∥α或b与α相交；]
下列命题中正确的是(　[endnoteRef:52]　)
A．圆心与圆周上两点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形 [52: [答案]　B；
[解析]　当圆心与圆周上两点共线时，由于共线的三点可以确定无数个平面，所以选项A不正确；选项C中，当A，B，C，D共线时，平面α和平面β可能相交，所以选项C不正确；选项D中，两组对边都相等的四边形可能不共面，所以选项D不正确；由于梯形的一组对边平行，则确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以选项B正确．
]
《立体几何》专题13-4 点线面
空间中可以确定一个平面的条件是(　[endnoteRef:53]　)
A．两条直线 B．一点和一直线 C．一个三角形 D．三个点 [53: 答案：C；]
已知α∩β＝M，a α，b β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示为____[endnoteRef:54]____． [54: 答案：A∈M；
解析　因为α∩β＝M，A∈a α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M上．]
如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_____[endnoteRef:55]___(填序号)．
[55: 答案：②④；
解析　①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．]
下列命题中，正确的结论有(　[endnoteRef:56]　)
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [56: [答案]　B；
[解析]　②④是正确的．
]
如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是(　[endnoteRef:57]　)
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．AB α [57: 答案：C；]
如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　[endnoteRef:58]　)
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 [58: 答案：D；]
正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有_[endnoteRef:59] 个． [59: 答案：3；]
下列命题正确的是 (　[endnoteRef:60]　)
A．若直线a在平面α外，则直线a∥α；
B．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交；
C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β；
D．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β； [60: 答案：D；]

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