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《空间向量》专题4-1 共线、垂直
（4套，4页，含答案）
知识点：
空间向量——共线： （1）共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
（2）共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.
基础例题：
设a＝(x，2y，3)，b＝(1，1，6)，且a∥b，则x＋y等于(　[endnoteRef:0]　)
A.　　　　　 B. C. D．2 [0: 答案：B；
解析：　∵a∥b，∴x＝2y＝，∴x＝，y＝.∴x＋y＝.]
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，证明：PQ∥RS.[endnoteRef:1]
[1: 答案：证明略；
证明：　证法一：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
则P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)．
＝(－3，2，1)，＝(－3，2，1)，所以＝，所以∥，所以PQ∥RS.
证法二：＝＋＝－＋，＝＋＝＋－，
所以＝，所以∥，所以RS∥PQ.]
随堂练习：
设a＝(x，4，3)，b＝(3，2，z)，且a∥b，则xz等于_____[endnoteRef:2]___． [2: 答案：9；
解析：　∵a∥b，∴＝＝，∴x＝6，z＝，∴xz＝9.]
如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点，N是BD中点，判断与是否共线？[endnoteRef:3]
[3: 答案：共线；
解析：　∵M，N分别是AD1，BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，连结AC，则N为AC的中点．
∴＝A－A＝A－＝(A－)＝
∴与共线．
]
知识点：
垂直： （1）定义：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：. （2） （3）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量. （4）求法向量的方法：
设法向量，令与平面内两个不共线的向量都垂直，然后解方程组即可。方程组有无数个解，可以假定其中一个值再求另外两个。主要方向。
典型例题：
若a＝(0，1，－1)，b＝(1，1，0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是(　[endnoteRef:4]　)
A．－1 B．0 C．1 D．－2 [4: 答案：D；
解析：　a＋λb＝(0，1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)，
因为(a＋λb)·a＝(λ，1＋λ，－1)·(0，1，－1)＝1＋λ＋1＝2＋λ＝0，所以λ＝－2.]
在平面ABCD中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于(　[endnoteRef:5]　) A．2 B．0 C．1 D．无意义 [5: 答案：C；
解析：　＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2)
设a＝(x，y，z)为平面ABC的法向量
则，即
令x＝－1，则y＝1，∴y2＝1.
]
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB和BC的中点，
试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.[endnoteRef:6]
[6: 答案：M(1，1，)；
解析：　如右图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)、B1(1，1，1)、C(0，1，0)、D1(0，0，1)、E、M(1，1，m)．
连结AC.则＝(－1，1，0)．
而E、F分别为AB、BC的中点，所以＝＝.
又因为＝，＝(1，1，m－1)，
因为D1M⊥平面EFB1，所以D1M⊥EF，且D1M⊥B1E，即·＝0，且·＝0.
所以，解得m＝.]
随堂练习：
设a＝(2，－3，1)，b＝(1，－2，0)，d＝(1，2，－7)，c⊥a，c⊥b，且c·d＝11，则c＝___[endnoteRef:7]___. [7: 答案：（2，1，－1）；]
若直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u＝(－2，2，－4)，则(　[endnoteRef:8]　)
A．l∥α B．l⊥α C．l α D．l与α斜交 [8: 答案：B；
解析：　∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α，故选B.]
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a.用向量法证明A1B⊥AC1；[endnoteRef:9] [9: 答案：证明略；
证明：因为＝A＋＋A，＝A－，所以·＝0，A1B⊥AC1；]
《空间向量》专题4-2 共线、垂直
已知空间三点的坐标为A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q+2)，若A，B，C三点共线，
则p＝　　　　　　，q＝　　　[endnoteRef:10]　　　． [10: 答案：3，2；
]
已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是(　[endnoteRef:11]　)
A．(1，1，1) B．(－2，－3，5) C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2) [11: 答案：D；
解析：　若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.]
已知|a|＝，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，则m⊥n，则λ＝___[endnoteRef:12]_____. [12: 答案：－；
解析：　m·n＝(a＋b)·(a＋λb)
＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18＋λ×3×4×cos 135°＋3×4×cos 135°＋λ×16
＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，
∵m⊥n，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－.]
已知正四棱锥(如图)，在向量－＋－，＋，＋，＋＋＋中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是____[endnoteRef:13]____． [13: 答案：　－＋－；
解析：　－＋－＝＋－＝－＝0，
而＋＝2，又⊥面ABCD知可以，
同样＋也可以，＋＋＋＝4当然也可以．
]
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．证明：CM⊥SN.[endnoteRef:14]
[14: 答案：证明略；
证明：　设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．
则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，M，N，S.
(1)＝，＝，因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.]
《空间向量》专题4-3 共线、垂直
已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标．[endnoteRef:15] [15: 答案：D(－1，1，2)；
解析：　设点D(x，y，z)，则＝(－x，1－y，－z)，＝(－1，0，2)，＝(－x，－y，2－z)，＝(－1，1，0)，∵DB∥AC，DC∥AB，∴∥，∥，
有解得所以D(－1，1，2)．
]
下列各组向量中不平行的是（ [endnoteRef:16] ）
A． B．
C． D． [16: 答案：D；
而零向量与任何向量都平行]
已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝___[endnoteRef:17]_____. [17: 答案：7；
解析：　因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7.]
若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－4，－8，4)，则(　[endnoteRef:18]　)
A.α∥β　 B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确 [18: 答案：A；
解析：　∵u＝－v ∴α∥β，故选A.]
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.[endnoteRef:19]
[19: 答案：证明略；
证明：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，
则AC＝1，CD＝，AD＝＝
A(0，0，0)；B(1，0，0)；C；D
P(0，0，1)；E；＝；＝
(1)∵·＝＝－＋＝0，∴⊥
(2)∵·＝0，·＝＝0
∴PD⊥AB，PD⊥AE，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
]
《空间向量》专题4-4 共线、垂直
已知向量若则实数____[endnoteRef:20]__，_______。 [20: 答案：；
]
设a＝(x，2y，3)，b＝(1，1，6)，且a∥b，则x＋y等于(　[endnoteRef:21]　)
A.　　　　　 B. C. D．2 [21: 答案：B；
解析：　∵a∥b，∴x＝2y＝，∴x＝，y＝. ∴x＋y＝.]
已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则(　[endnoteRef:22]　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直　　　 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 [22: 答案：A；
解析：　∵a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0，
a·c＝(4，－1，0)·( －3，12，－9)＝－12－12＝－24≠0.
b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，
∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.
∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.]
已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　[endnoteRef:23]　) A．(1，－1，1) B. C. D. [23: 答案：B；
解析：　要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即·n是否为0即可，
因此，要对各个选项进行逐个检验．
对于选项A，＝(1，0，1)，则·n＝(1，0，1)·(3，1，2) ＝5≠0，故排除A；
对于选项B，＝，则·n＝·(3，1，2)＝0，故B正确，
同理可排除C，D.故选B.]
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　[endnoteRef:24]　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
[24: 答案：B；]

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