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变化率与导数
学习目标：
1．了解导数形成的背景、思想和方法，理解导数的定义．
2．会用导数的定义求函数在某点处的导数．
知识梳理：
1．对于函数f(x)，当自变量x从x1变到x2时，函数值从f(x1)变到f(x2)，则称式子为函数f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上，自变量的改变量用
Δx表示，即Δx＝x2－x1，函数值的改变量用Δy表示，即Δy＝f(x2)－f(x1)，于是平均变化率可以表示为．
2．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ ．
课堂检测：
一、选择题（共10题）
1．已知函数f(x)＝3x2＋1，在x＝1，Δx＝0．1时，Δy的值为(　　)
A．0．63　　　　　　　　 B．0．21
C．3．3 D．0．3
2．若函数f(x)＝(2a＋1)x＋1，f ′(1)＝3，则实数a的值为(　　)
A．2 B．1
C． D．－
3．设f(x)存在导数，且满足 ＝－1，则f′(1)＝(　　)
A．－1 B．－2
C．1 D．2
4．如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(　　)
A．在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
5．自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
6．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．不确定
7．已知函数f(x)＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则 等于(　　)
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋Δx2
8．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a的值是(　　)
A． B．
C． D．
9．设函数f(x)可导，则 等于(　　)
A．f′(1)　　　　　　 B．3f′(1)
C．f′(1) D．f′(3)
10．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1．6×10－3 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为(　　)
A．1 000 m/s B．500 m/s
C．1 600 m/s D．800 m/s
二、填空题（共3题）
11．给出下列结论：①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f′(t0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v＝v(t)描述，其中v表示瞬时速度，t表示时间，那么该物体运动的加速度为a＝ ．其中正确的结论序号为________．
12．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在A，B两点间的平均变化率为________．
13．设f(x)在R上可导，已知f(－x)在x＝a处的导数为A，则f(x)在x＝－a处的导数为________．
三、解答题（共4题）
14．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t＋1，求速度为零的时刻．
用定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
16.若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1 s时的瞬时速度．
17.已知正弦函数y＝sin x，求该函数在x＝0和x＝附近的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明其含义．
参考答案
1解析：Δy＝f(1．1)－f(1)＝3×1．12－3＝0．63．
答案：A
2解析：∵f′(1)＝ ＝2a＋1＝3，∴a＝1．故选B．
答案：B
3解析：∵f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，∴f′(1)＝－1，故选A．
答案：A
4解析：由图可知，从0到t0范围内甲、乙的平均速度相等，从t0到t1范围内>，所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选C．
答案：C
5答案：A
6解析：k1＝
＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx．
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
答案：D
7解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy)，
∴2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2．
∴Δy＝(Δx)2＋2Δx．∴＝2＋Δx．
∴ ＝ (2＋Δx)＝2．故选A．
答案：A
8解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，
∴f′(－1)＝
＝
＝ (aΔx2－3aΔx＋3a＋3Δx－6)
＝3a－6＝4，解得a＝，故选D．
答案：D
9解析： ＝
＝f′(1)．
答案：C
10解析：设运动方程为s＝at2，
∴＝＝at0＋aΔt，
∴瞬时速度v＝ ＝at0＝5×105×1．6×10－3＝800 m/s，故选D．
答案：D
11解析：①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确．
答案：②③
12解析：由＝＝－1．
答案：－1
13解析：∵f(－x)在x＝a处的导数为A，
∴A＝ ，
∴f(x)在x＝－a处的导数
f′(－a)＝ ＝－A．
答案：－A
14解：∵Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)3－(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋1－＝
t2Δt＋tΔt2＋Δt3－3tΔt－Δt2＋2Δt，
∴＝t2＋tΔt＋Δt2－3t－Δt＋2，
∴ ＝t2－3t＋2，
由t2－3t＋2＝0，得t＝1或t＝2．
所以速度为零的时刻为1秒末和2秒末．
15解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝－1
＝＝
＝＝，
∴＝，
∴ ＝ ＝－．
即函数f(x)在x＝1处的导数为－．
16解：(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24 m/s．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18．
所以物体在t＝0处的瞬时变化率为
＝ (3Δt－18)＝－18．
即物体的初速度为－18 m/s．
(3)物体在t＝1 s时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝
＝3Δt－12．
所以物体在t＝1处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12．
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为－12 m/s．
17【解】　当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为
k1＝＝．
当自变量从变到Δx＋时，函数的平均变化率为
k2＝＝．
由于是在x＝0和x＝附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负．
当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2；
当Δx＜0时，k1－k2＝－
＝＝，
∵Δx＜0，∴Δx－＜－，∴sin＜－．
从而有sin＜－1，sin＋1＜0，
∴k1－k2＞0，即k1＞k2．
综上可知，正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率．
以上数据说明：正弦函数y＝sinx在x＝0处附近的变化率较大，图象比较陡峭，而在x＝附近变化率较小，图象比较平缓．

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