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《空间向量》专题3-1 非坐标运算
（4套，4页，含答案）
知识点：
非坐标运算： （1）加减与数乘运算： 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 ；；； （2）运算律：
⑴加法交换律：；
⑵加法结合律：；
⑶数乘分配律：； 用行路法分解向量，会比较简单，容易理解。
具体操作方法：假设自己行路，绕路行，如果行路方向与向量方向一致，则向量为正，否则为负；把行
路经过的向量相加即为该向量分解的结果。 （4）向量的数量积： ． 已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影. 可以证明的长度．
（5）空间向量数量积的性质： （1）．（2）．（3）．
（6）空间向量数量积运算律： （1）． （2）（交换律）（3）（分配律）．
典型例题：
在空间四边形OABC中， ＋－等于(　[endnoteRef:0]　)
A． B． C． D． [0: 答案：C；
解析：　＋－＝O－＝＋＝.]
如图所示，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，′＝b，D是四边形OABC的中心，则(　[endnoteRef:1]　)
A.＝－a＋b＋c B.＝－b－a－c C.＝a－b－c D.＝a－b＋c
[1: 答案：D；
解析：　＝＋＝＋＝＋(＋)＝a－b＋c.]
如图所示，已知正三棱锥A－BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，
且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，求下列向量的数量积：
(1)A·D；(2)A·B；(3)G·A；(4)E·B.[endnoteRef:2] [2: 答案：－a2，0，－a2，a2；
解析：　(1)|A|＝a，||＝a，〈A，D〉＝120°，
所以A·D＝|||D|cos 120°＝－a2.
(2)因为B＝A－A，
所以A·B＝A·(A－A)＝A·A－A·A，
又因为|A|＝a，||＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°，
所以A·B＝a2－a2＝0.
(3)因为点F，G是AD，DC上的点，
所以G＝＝－A，
所以G·A＝－，
因为＝a2，
所以G·A＝－a2.
(4)因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以E＝B，
所以E·B＝B·B，
结合图形可知〈B，B〉＝60°，
所以E·B＝B·B＝×a×a×cos 60°＝a2.
]
随堂练习：
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(　[endnoteRef:3]　)
①(＋)＋； ②(＋)＋； ③(＋)＋； ④(＋)＋.
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③④
[3: 答案：D；
解析：　①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
]
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c.试用a，b，c表示向量.[endnoteRef:4] [4: 答案：a－b＋c；
解析：　＝(＋)＝(＋＋)
＝(－＋－－)
＝－＋
＝a－b＋c.
]
在空间四边形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝___[endnoteRef:5]_____. [5: 答案：0；
解析：　设A＝b，A＝c，A＝d，
则C＝d－c，B＝d－b，＝c－b.原式＝0.
]
《空间向量》专题3-2 非坐标运算
在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z等于(　[endnoteRef:6]　)
A．1 B. C. D. [6: 答案：B；
解析：　如图，
＝＋＋
＝＋－，
所以x＝1，2y＝1，3z＝－1，
所以x＝1，y＝，z＝－，
因此x＋y＋z＝1＋－＝.]
如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，OM=2MA，BN=CN，则（ [endnoteRef:7] ）
A． B．
C． D．
[7: 答案：B；]
如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为(　[endnoteRef:8]　) A. B. C. D.
[8: 答案：D；
解析：　∵＝A＋A＋，
∴||＝＝
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°.
∴|A|＝＝.]
《空间向量》专题3-3 非坐标运算
如图所示，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与 相等的向量是(　[endnoteRef:9]　)
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c [9: 答案：A；
解析：　＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.]
如图所示，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设O＝a，O＝b，O＝c，E、F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：B、B、A、E.[endnoteRef:10]
[10: 答案：B＝－a－b＋c，B＝－a－b＋c，A＝－a＋b＋c，E＝a；
解析：　连结BO，则B＝B＝(B＋O)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
B＝B＋C＝－a＋C＝－a＋(C＋O)＝－a－b＋c.
A＝A＋P＝A＋O＋(P＋O)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
E＝C＝O＝a.
]
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝____[endnoteRef:11]____.(用a，b，c表示)
[11: 答案：－a＋b－c；
解析：　＝－＝－(＋)＝－a＋b－c.]
《空间向量》专题3-4 非坐标运算
已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M、N分别为BC、PD的中点，求满足M＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．[endnoteRef:12]
[12: 答案：x＝－1，y＝0，z＝；
解析：　＝＋＋＝＋＋＝－＋(－)＝－＋，
∴x＝－1，y＝0，z＝.
]
如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．
(1)化简＋＋，并在图上标出结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．[endnoteRef:13]
[13: 答案：作图略，α＝，β＝，γ＝；
解析：　
(1)如图所示，取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，则＝＋＋.
(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋.
∴α＝，β＝，γ＝.
]
在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.[endnoteRef:14]
[14: 答案：a；
解析：　∵M＝M＋B＋C＝A＋(A－A)＋(A－A)＝－A＋A＋A.
∴M·M＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A)
＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.
故|M|＝＝a.
即|MN|＝a.
]

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