资源简介

平面与平面平行
【学习目标】
1．通过学习空间两平面的位置关系，培养直观想象的数学核心素养。
2．借助两平面平行的判定与性质的学习，提升逻辑推理、数学抽象的核心素养。
【学习重难点】
1．掌握空间两个平面的位置关系，并会判断。
2．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题。
3．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。
【学习过程】
一、初试身手
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是 （ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是（ ）
A．平面AA1D1D B．平面AA1B1B
C．平面DD1C1C D．平面ABCD
3．过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________。
4．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β。
其中错误命题的序号为________。
二、新知探究
平面与平面间的位置关系
【例1】 已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a α，b β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a α，则a与β一定相交。
其中正确的是________（将你认为正确的序号都填上）。
平面与平面平行的判定
【例2】 如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG。
面面平行的性质定理的应用
[探究问题]
1．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点。你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？
[提示] 如图，连接SB，
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB．
又∵SB 平面BDD1B1，EG 平面BDD1B1．
∴直线EG∥平面BDD1B1．
2．上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1．
[提示] 连接SD．∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD．
又∵SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1．
又EG∥平面BDD1B1，
且EG 平面EFG，FG 平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
【例3】 如图，已知平面α∥β，P α，且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________。
[思路探究] 面面平行 线线平行 分线段比例相等。
【母题探究】
1．将本例改为：若点P位于平面α，β之间（如图），其他条件不变，试求BD的长。
2．将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F。
已知AB＝6，＝，求AC．
【学习小结】
1．两个平面的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点个数
两平面平行 α∥β 0个
两平面相交 α∩β＝l 无数个点（共线）
2．平面与平面平行的判定与性质
（1）平面与平面平行的判定
①文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
②符号语言：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α。
③图形语言：如图所示。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
（2）平面与平面平行的性质定理
①文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
②符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥B．
③图形语言：如图所示。
④作用：证明两直线平行。
（3）三个平面平行的性质
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
【精炼反馈】
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）没有公共点的两平面平行。 （ ）
（2）若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行。 （ ）
（3）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。 （ ）
2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（ ）
A．若α与β相交，a α，b β，则a与b一定相交
B．若a α，b β，a∥b，则α∥β
C．a∥β，b∥β，a α，b α α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________。
4．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD．E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P 平面ABCD．
求证：平面PAB∥平面EFG。
答案：
【学习过程】
一、初试身手
1．A [由面面平行的性质定理可知选项A正确。]
2．A [根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D．]
3．平行 [由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1．]
4．①② [对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误。]
二、新知探究
【例1】③④ [①错。a与b也可能异面；
②错。a与b也可能平行；
③对。∵α∥β，∴α与β无公共点。又∵a α，b β，
∴a与b无公共点；
④对。由已知及③知：a与b无公共点，
那么a∥b或a与b异面；
⑤错。a与β也可能平行。]
【例2】[解] （1）因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1．
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面。
（2）因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC．
因为EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG。
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB．
因为A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG。
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG。
[探究问题]
【例3】[思路探究] 面面平行 线线平行 分线段比例相等。
[因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD．所以＝，即＝。所以BD＝。]
【母题探究】
1．[解] 与本例同理，可证AB∥CD．
所以＝，即＝，所以BD＝24．
2．[解] 由题图可知＝ AC＝·AB＝×6＝15．
【精炼反馈】
1．[答案] （1）√ （2）× （3）×
[提示] （1）由平面与平面平行的定义知正确。
（2）若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误。
（3）两平面可能相交。
2．D [A错误，a与b，可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确。]
3．CD∥α [因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α。]
4．[证明] ∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，
∴EF∥AB，又EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB．
又∵EF∩EG＝E，
∴平面PAB∥平面EFG。

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