资源简介

平面与平面垂直
【学习目标】
1．通过平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养。
2．借助线面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养。
【学习重难点】
1．了解面面垂直的定义。
2．掌握面面垂直的判定定理和性质定理。
3．灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题。
【学习过程】
一、基础铺垫
一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个______。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为______，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。
如图所示，在二面角α-1-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作______于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的______。二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。
特别地，平面角是直角的二面角称为______。
二、合作探究
平面与平面垂直的判定
【例1】 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
面面垂直性质定理的应用
【例2】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB．
[思路探究] （1）―→―→
（2）要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可。
垂直关系的综合应用
[探究问题]
1．如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？
[提示] ∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC．
同理可证PD⊥AD，
∵AD 平面ABCD，DC 平面ABCD，且AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD．
2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD．
[提示] 连接CO（图略），由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO。
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，∴PD⊥CD，
由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，
又PA 平面PAB，∴PA⊥CD．
3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系。
[提示] 垂直问题转化关系如下所示：
【例3】 如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点。求证：
（1）EN∥平面PDC；
（2）BC⊥平面PEB；
（3）平面PBC⊥平面ADMN。
[思路探究] （1）证明EN∥DM；
（2）由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；
（3）利用（2）可证PB⊥平面ADMN。
【学习小结】
1．平面与平面垂直的判定
（1）平面与平面垂直
①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。
②画法：
记作：α⊥β。
（2）判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直 α⊥β
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
符号语言 a⊥β
图形语言
【精炼反馈】
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面。 （ ）
（2）如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。 （ ）
（3）如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直。 （ ）
2．下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
3．下列四个命题中，正确的序号有________。
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ。
4．（2019·全国卷Ⅲ）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°。将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
图1 图2
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的四边形ACGD的面积。
答案：
【学习过程】
二、合作探究
【例1】
[证明] 连接AC，BC，
则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
【例2】
[证明] （1）如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．
（2）如图，连接PG。
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD．又∵PG∩BG＝G。
∴AD⊥平面PBG。
而PB 平面PBG，∴AD⊥PB．
[探究问题]
【例3】
[证明] （1）∵AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，
∴AD∥平面PBC．
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，
∴AD∥MN。
又∵BC∥AD，∴MN∥BC．
又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点。
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E为AD的中点，∴MN∥DE，且MN＝DE。
∴四边形DENM为平行四边形。
∴EN∥DM，且EN 平面PDC，DM 平面PDC．
∴EN∥平面PDC．
（2）∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD．
又∵侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，
∴PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面PBE。
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB．
（3）由（2）知AD⊥平面PBE，
又PB 平面PBE，
∴AD⊥PB．
又∵PA＝AB，N为PB的中点，
∴AN⊥PB．
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN。
又∵PB 平面PBC．
∴平面PBC⊥平面ADMN。
【精炼反馈】
1．[答案] （1）√ （2）× （3）×
[提示] （1）正确。
（2）错误。必须要在其中一个平面内作直线才能成立。
（3）错误。可能平行，也可能相交或异面。
2．D [如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的。]
3．①② [③④不正确，如图所示，
α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直。]
4．[解] （1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面。
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE。
又因为AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE。
（2）取CG的中点M，连接EM，DM。
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，
所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG。
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM。
因此DM⊥CG。
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，故DM＝2．
所以四边形ACGD的面积为4．

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