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微专题1　平面向量的综合应用
一、向量的线性运算
例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是(　　)
A.(7，－2) B.(1，－2)
C.(1，－3) D.(7,2)
(2)设D为△ABC所在平面内一点，则＝3，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝－ D.＝－＋
跟踪训练1　在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
二、向量的数量积运算
1、平面向量数量积的计算
例1　(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
(2)在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________.
2、平面向量数量积的应用
1）.求模
例2－1　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||＝________.
2）.求夹角
例2－2　已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________.
3）.垂直问题
例2－3　△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A.|b|＝1 B.a⊥b
C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥
例2-4　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
跟踪训练2　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为 .
三、余弦定理、正弦定理
1.解斜三角形共包括四种类型：
(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；
(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；
(3)已知三边(先用余弦定理求角)；
(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数).
例3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n.求A.
跟踪训练3　在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求C的大小；
(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值.
1、判断三角形解的个数
下列三角形是否有解？有解的作出解答．
a＝7，b＝8，A＝105°； b＝10，c＝5，C＝60°；
a＝2，b＝6，A＝30°. ,,
,, ,,
2、判断三角形形状
在中，直线b x+ y cosA+ cosB=0与a x+ y cosB+ cosA=0平行，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形　　 D．等腰或直角三角形
（1）（上高县校级月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则一定是　　
A．等腰三角形非直角三角形 B．直角三角形非等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
（2）在中，，则这三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形　　 D．等腰或直角三角形
（3）在中，，则这三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形　　 D．等腰或直角三角形
三、平面向量的数量积与三角函数的综合问题
例3　(1)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值.
(2)已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.
①若m⊥n，求α；
②若|m－n|＝，求cos 2α的值.
一．解答题
1、在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范围.
2、已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1).
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值.
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.求tan C的值.
4、甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？
6、如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置.

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