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第六讲 解三角形
模块一：正余弦定理
一、在中的三个内角，，的对边，分别用，，表示．
正弦定理：
2．余弦定理：
二、解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用
① ．
② ；．
③ ；．
④ ．
考点1：已知三角形的任意两个角与一边
（1）在中，，，c=2，求，b，C
（2）在中，角，，所对应的边分别为，，．若，，，则　　
A．1 B． C．2 D．
考点2：已知三角形的两边与其中一边的对角
（1）中，a=2，b=6，A=30，求B、C、c
考点3：已知两边及其夹角
（1）中，a=2，c=+，B=45，求b、A
考点4：已知三角形的三边
中，a=7 、b=3 、c=5，求最大角和sinC
考点5：正余弦定理综合
（1）中，角，，的对边分别为，，，若，．且，则的面积为　　
A．2 B．3 C．4 D．
（2）在中，内角，，所对应的边分别是，，，已知，则的大小为　　
A． B． C． D．
例6.（1）在中，角，，对边分别为，，．已知，，则角　　
A． B． C． D．
（2）在中，，，分别是角，，的对边，且，则　　
A． B． C． D．
模块二：判断三角形解的个数
分类：
当A为锐角时，
当A为钝角或直角时，
【例1】下列三角形是否有解？有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，A＝105°；
(2)b＝10，c＝5，C＝60°；
(3)a＝2，b＝6，A＝30°.
（1）在三角形中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 。
A．,, B．,,
C．,, D．,,
（2）（莲都区校级月考）在中，若，，，那么满足条件的　　
A．有一个 B．有两个 C．不存在 D．不能确定
（3）（上高县校级月考）满足下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中有两个解的是　　
A．①② B．①④ C．①②③ D．③④
模块三：判断三角形形状
1．与三角形形状相关的几个结论
① 在中，若，则为等腰三角形或直角三角形；
② 在中，若，则为等边三角形；
③ 在中，若，则为直角三角形；
④ 在中，若，则为直角三角形；
⑤ 在中，若，则为直角三角形．
在中，直线b x+ y cosA+ cosB=0与a x+ y cosB+ cosA=0平行，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形　　 D．等腰或直角三角形
（1）（上高县校级月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则一定是　　
A．等腰三角形非直角三角形 B．直角三角形非等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
（2）在中，，则这三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形　　 D．等腰或直角三角形
（3）在中，，则这三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形　　 D．等腰或直角三角形
课后作业：
1.的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　
A．12 B．42 C．21 D．63
2.在中，，，分别是角，，的对边，且，则　　
A． B． C． D．
3.满足下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中有两个解的是　　
A．①② B．①④ C．①②③ D．③④
满足条件的三角形的个数是　　
A．1个 B．2个 C．无数个 D．不存在
5.在中，内角，，所对应的边分别是，，，已知，则的大小为　　
A． B． C． D．
6.在中，，，其面积为，则等于　　
A． B． C． D．
模块四：实际问题
考点1：求高度
例1、如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(　　)
例2、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=（ ）m.
在一座高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为， 塔底俯角为， 那么这座塔的高为　　
A． B． C． D．
考点2：求距离
例2、如图所示，A，B是海平面上的两个小岛，为测量A，B两岛间的距离，测量船以15海里/时的速度
沿既定直线CD航行，在t时刻航行到C处，测得∠ACB=75°，∠ACD=120°，1小时后，测量船到达D
处，测得∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A，B两小岛间的距离.（注：A、B、C、D四点共面）
如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到点需要多长时间？
考点3：角度问题
例3　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
（1）　当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
1如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)
A.10 m B.5 m
C.5(－1) m D.5(＋1) m
2.已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　)
A.10 海里 B. 海里
C.5 海里 D.5 海里
3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
4.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为 .
5.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.
考点4：正余弦定理综合应用
例4.（1）在中，角，，的对边分别为，，，，的外接圆半径为，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．
（2）在中，已知三个内角为，，满足，则　　
A． B． C． D．
（3）已知的面积为，角，，的对边分别为，，，若，，则　　
A．16 B．12 C．8 D．4
（4）（梅河口市校级月考）在中，，，其面积为，则等于　　
A． B． C． D．
课后作业
1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
2.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为(　　)
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
3.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　)
A. B. C.－1 D.－1
4.两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile,2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A.3a n mile B.a n mile
C.a n mile D.a n mile
5.如图，已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
6.一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为 km.
7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α.
8.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.求索道AB的长.
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