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★大庆英杰工作室★总复习辅导资料
第二单元 相互作用
一、考纲要求
1、力是物体间的相互作用，是物体发生形变和物体运动状态变化的原因。力是矢量。力的合成和分解。 Ⅱ
2、重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力。重心。 Ⅱ
3、形变和弹力，胡克定律。 Ⅱ
4、静摩擦，最大静摩擦力。 Ⅰ
5、滑动摩擦，滑动摩擦定律。 Ⅱ
6、共点力作用下物体的平衡。 Ⅱ
第6讲 力的合成与分解 共点力作用下物体的平衡
〖基本概念〗
一、合力与分力
1、一个力如果它产生的效果跟几个力共同作用所产生的效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，那几个力就叫做这个力的分力．
2、合力与它的分力是力的效果上的一种等效替代关系。
3、共点力：作用在物体上的同一点，或作用线的延长线交于一点的力，叫共点力，高中物理学中研究的主要是共点力作用下的物体的平衡。
二、力的合成与分解
1、求几个力的合力过程叫力的合成，求一个力的分力过程叫力的分解．
2、运算法则：
⑴、平行四边形法则：求两个互成角度的共点力F1，F2的合力，可以把F1，F2的线段作为邻边作平行四边形，它的对角线即表示合力的大小和方向；
⑵、三角形法则：求两个互成角度的共点力F1，F2的合力，可以把F1，F2首尾相接地画出来，把F1，F2的另外两端连接起来，则此连线就表示合力F的大小和方向；
⑶、合力和分力之间的基本关系
①、合力与分力的大小关系：当两分力之间的夹角θ≤90 ，合力的大小大于任何一个分力；当两分力相等，且两分力之间的夹角θ=120 时，合力等于任何一个分力；当两分力之间的夹角θ>90 ，合力与两分力间的大小关系无法确定。合力可能比分力大，也可能比分力小，F1与F2同向时合力最大，F1与F2反向时合力最小，合力大小的取值范围是 | F1－F2|≤F≤（F1＋F2）
②、合力与分力的位置关系：合力位于两分力之间，同时和较大的力接近。当两分力相等时，合力位于两分力组成角的角平分线上。
③、几种典型角度合力的求法：当θ=0 ，F合=F1+F2；当θ=90 ，F合=；当F1=F2，θ=120 时，F合=F1=F2 θ为任意角度时，F合=2F1cosθ/2
④、变化关系：共点的两个力F1，F2的合力F的大小，与它们的夹角θ有关，θ越大，合力越小；θ越小，合力越大，当F合一定时，θ越大，分力越大，θ越小，分力越小。
⑤、三个或三个以上力的合力分析：除最大力以外的其他力之和若大于最大的这个力，则合力的取值为0≤F≤| F1+F2＋…Fn|；若小于最大的这个力，则合力的取值为| Fn-F1-F2-…Fn-1|≤F≤| F1+F2＋…Fn|。
三、力的分解计算
力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形法则，两个分力的合力是唯一确定的，而一个已知力可以分解为大小、方向不同的分力，即一个力的两个分力不是唯一的，要确定一个力的两个分力，应根据具体条件进行。
按力产生的效果进行分解
按问题的需要进行分解
具体问题的条件有：
①已确定两个分力的大小，可求得分力的方向。
②已确定两个分力的方向，可求得分力的大小。
③已确定一个分力的大小和方向，可求得另上个分力的大小和方向。
④已确定一个分力的大小和另一个分力的方向，可求得一个分力的大小和另一个分力的方向。
做法：
1、已知合力和一个分力，求另一个分力，利用作平行四边形求解。此时解唯一。
2、已知合力和两个分力的方向，利用作平行四边形求解。此时解唯一。
3、已知合力和一个分力的方向、一个分力的大小，利用作圆求解，圆和另一分力交点的个数及为解的组数。
4、已知合力的两个分力的大小，利用作圆求解，两圆交点的个数即为解的组数。
四、正交分解法
物体受到多个力作用时求其合力，可将各个力沿两个相互垂直的方向直行正交分解，然后再分别沿这两个方向求出合力，正交分解法是处理多个力作用用问题的基本方法，步骤为：
①正确选择直角坐标系，一般选共点力的作用点为原点，水平方向或物体运动的加速度方向为X轴，使尽量多的力在坐标轴上。
②正交分解各力，即分别将各力投影在坐标轴上，分别求出坐标轴上各力投影的合力。
Fx=F1x＋F2x＋…＋Fnx
Fy=F1y＋F2y＋…＋Fny
③共点力合力的大小为F=，合力方向与X轴夹角
五、共点力作用下物体的平衡
⑴、共点力
物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫共点力．
⑵、平衡状态
物体保持静止或匀速运动状态（或有固定转轴的物体匀速转动）．
说明：这里的静止需要二个条件，一是物体受到的合外力为零，二是物体的速度为零，仅速度为零时物体不一定处于静止状态，如物体做竖直上抛运动达到最高点时刻，物体速度为零，但物体不是处于静止状态，因为物体受到的合外力不为零．
⑶、共点力作用下物体的平衡条件
物体受到的合外力为零．即F合=0
说明；①三力汇交原理：当物体受到三个非平行的共点力作用而平衡时，这三个力必交于一点；
②物体受到N个共点力作用而处于平衡状态时，取出其中的一个力，则这个力必与剩下的（N-1）个力的合力等大反向。依次类推，其中两个力的合力是其他N-2个力合力的平衡力。
③若采用正交分解法求平衡问题，则其平衡条件为：FX合=0，FY合=0；
⑷、平衡的临界问题
由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，临界状态可以理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要发生变化的状态。往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
⑸、平衡的极值问题
极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或最小值。可分为简单极值问题和条件极值问题。
〖考点分析〗
考点1 力的合成
1、合力与分力
⑴、定义：如果一个力单独作用的效果与几个力同时作用的共同效果相同，这个力就叫那几个力的____力，而那几个力就叫这个力的_____力．
⑵、关系：合力与分力之间在效果上是___________的关系．
⑶、力的合成与分解：求几个力的合力的过程叫力的_____，求一个力的分力的过程叫力的____________．
2、平行四边形定则
如果用表示两个共点力的线段为邻边作平行四边形，则合力的大小和方向就可以用这两个邻边之间的________来表示，这就是力的平行四边形定则(如图)．平行四边形定则是________运算的普遍法则．
3、两个共点力求合力
⑴、F1与F2大小不变，夹角θ变化时，合力F的变化如下：
①、θ＝0 时，合力F最大．
②、θ＝90 时，合力F可由勾股定理计算．
③、θ＝180 时，合力F最小．
因此两个力的合力F满足：_____________________，当两力夹角变大时，合力 F 变________．
⑵、F1与F2夹角θ不变，使其中一个力增大时，合力F的变化如下：
①当θ>90 时，若 F2 增大，其合力的大小变化如图所示．
②当 0<θ<90 时，合力随着其中一个力的增大而增大．
(3)、两个大小为F的力，夹角为θ 时，其合力大小为F合＝2Fcos，方向在两个力夹角的平分线上．当θ＝120 时，F合＝F.

答案：1、⑴、合力、分力；⑵、等效替代；⑶、力的合成、力的分解 2、对角线、矢量 3、
小
〖例题分析〗
〖例1〗(多选)下列关于合力与分力的说法中，正确的是
A、分力与合力同时作用在物体上
B、分力同时作用在物体上产生的效果与合力单独作用在
物体上产生的效果相同
C、几个力的合力就是这几个力的代数和
D、合力可能大于、等于或小于任一分力
答案：BD
〖例2〗大小为6N与8N的两个共点力，关于它们的合力下列说法中正确的是（ ）
A、可以等于1N B、可以等于6 N
C、一定大于6N D、一定小于14 N
解析：两个分力的大小是确定的，F1＝6 N，F2＝8 N，当
它们之间的夹角变化时，其合力的范围为：2 N≤F≤14 N.
答案：B
〖例3〗体操吊环运动有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环，如图甲，然后身体下移，双臂缓慢张开到图乙位置，则在此过程中，吊环的两根绳的拉力T(两个拉力大小相等)及它们的合力F的大小变化情况为（ ）
A、T 减小，F 增大 B、T 增大，F 增大
C、T 增大，F 减小 D、T 增大，F 不变
答案：D
〖例4〗(多选)下列几组共点力分别作用在一个物体上，有可能使物体达到平衡状态的是（ ）
A、7 N，5 N，3 N B、3 N，4 N，8 N
C、4 N，10 N，5 N D、4 N，12 N，8 N
答案：AD
〖例5〗小明同学要在客厅里挂上一幅质量为1.0kg的画(含画框)，画框背面有两个相距1.0 m、位置固定的挂钩，他将轻质细绳两端分别固定在两个挂钩上，把画对称地挂在竖直墙壁的钉子上，挂好后整条细绳呈绷紧状态，如图 所示。设细绳能够承受的最大拉力为10 N，取g＝10m/s2，则细绳至少需要多长才不至于断掉（ ）
A、 m B、 m C、 m D、1.0 m
思路点拨：一个大小方向确定的力分解为两个等大的力时，合力在分力的角平分线上，且两分力的夹角越大，分力越大．题中当绳子拉力达到T＝10 N的时候，绳子间的张角最大，此时细绳的长度最短．
解析：画框受到重力和绳子的拉力，三个力为共点力．绳子与竖直方向的夹角为θ(如图2－2－10所示)，F合＝G＝2Tcosθ，则cosθ＝，当T＝10 N时，θ＝60°，此时细绳最短，最短长度为l＝ m＝ m.
答案：A
〖同步练习〗
1、(多选)两个力的合力与这两个力的关系，下列说法中正确的是：（ ）
A、合力比这两个力都大
B、合力至少比两个力中较小的力大
C、合力可能比这两个力都小
D、合力可能比这两个力都大
答案：CD
2、设有五个力同时作用在质点P，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，如图所示，这五个力中的最小力的大小为F，则这五个力的合力等于（　 　）
A、3F　 B、4F 　 C、5F　 D、6F
答案：D
3、如图所示，滑轮本身的质量可忽略不计，滑轮轴O安在一根轻木杆B上，一根轻绳AC绕过滑轮，A端固定在墙上，且绳保持水平，C端下面挂一个重物，BO与竖直方向夹角45°，系统保持平衡，若保持滑轮的位置不变，改变的大小，则滑轮受到木杆的弹力大小变化情况是（摩擦力忽略不计）（ ）
A、只有角变小，弹力才变大
B、只有角变大，弹力才变大
C、不论角变大或变小，弹力都不变
D、不论角变大或变小，弹力都变大
答案：C
4、如图为三种类型吊杆的示意图，OA为杆，重力不计，杆的O端用铰链固定于地面或墙面，AB为质量不计的缆绳。当它们吊起相同重物时，杆OA受力的关系是（　 　）
A、a=b=c B、a=b>c C、a>c=b D、a>b>c
答案：B
5、如图，ACB是一光滑的、足够长的、固定在竖直平面内的“∧”形框架，其中CA、CB边与竖直方向的夹角均为θ．P、Q两个轻质小环分别套在CA、CB上，两根细绳的一端分别系在P、Q环上，另一端和一绳套系在一起，结点为O．将质量为m的钩码挂在绳套上，OP、OQ两根细绳拉直后的长度分别用l1、l2表示，受到的拉力分别用F1和F2表示（ ）
A、若 l1= l2 ，则两绳受到的拉力F1 = F2
B、若 l1= l2 ，则两绳受到的拉力F1 > F2
C、若 l1 < l2 ，则两绳受到的拉力F1< F2
D、若 l1> l2 ，则两绳受到的拉力F1= F2
答案：AD
6、如图所示。一条细绳跨过相同高度的两个定滑轮，两端分别栓上质量为m1和m2(m1>m2)的物体A和B，在滑轮之间一段绳上的某点O系一质量为m的物块P(P不可在绳上移动)，设悬挂A、B的绳足够长，不计摩擦和绳重，欲使系统保持平衡状态，试求m应满足的条件。
考点2 力的分解
1、力的分解是力的合成的逆运算，力的合成与分解都遵循___________定则．把一个已知力分解为两个互成角度的分力，如果没有条件限制，可以分解为_________对分力．在力的分解过程中，常常要考虑到力实际产生的__________，这样才能使力的分解具有唯一性．
2、分解某个力时，既可以按照这个力产生的效果分解，也可以进行__________分解．分解某个已知力时：
⑴、已知两个分力的方向，求两个分力的大小，有一组解．
⑵、已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向，有一组解．
⑶、已知一个分力的大小和另一个分力的方向，有一组或两组解．
⑷、已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，有一组或两组解．
3、力的正交分解
在物体受多个力作用时，常把各力都分解在两个互相_____的方向(通常把这两个方向分别称为 x 轴和 y 轴，但这并不一定是水平和竖直方向)，然后分别求每个方向上的力的代数和．这样就可把复杂的矢量运算转化为互相垂直方向上的简单的代数运算．
力的正交分解法是力学分析中最重要的方法。
答案：1、平行四边形、无数、效果 2、正交 3、垂直
〖例题分析〗
〖例1〗F1、F2是力F的两个分力。若F = 10N，则下列哪组力不可能是F的两个分力（ ）
A、F1=10N F2=10N B、F1=20N F2=20N
C、F1=2 N F2=6N D、F1=20N F2=30N
答案：C
〖例2〗把一个力分解为两个力时（ ）
A、一个分力变大时，另一个分力一定变小
B、两个分力不能同时变大
C、无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
D、无论如何分解，两个分力不能同时等于这个力
解析：A选项，当两个分力在同一方向上时才成立，一般情况下，由于分力的方向未知，当一个分力变大时，另一分力有可能变大，也有可能变小，故A、B均错误．C选项，假设分力F1、F2同时小于合力F的一半，则它们合力的最大值Fm在F1、F2同向时，Fm＝F1＋F2<＝F，所以Fm
答案：C
〖例3〗如图所示，将细线的一端系在右手中指上，另一端系上一个重为G的钩码。用一支很轻的铅笔的尾部顶在细线上的某一点，使细线的上段保持水平，笔的尖端置于右手掌心．铅笔与水平细线的夹角为θ，则（ ）
A、中指受到的拉力为Gsinθ
B、中指受到的拉力为Gcosθ
C、手心受到的压力为
D、手心受到的压力为

思路点拨：钩码竖直向下拉细线的力产生两个作用效果：
一效果是拉手指，另一效果压手心．
答案：C
〖例4〗(多选)将一个已知力分解为两个分力时，下列情况得到唯一解的是（ ）
A、已知一个分力的大小和另一个分力的方向，求另一个
分力的方向和另一个分力的大小
B、已知两个分力的大小，求两个分力的方向
C、已知一分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向
D、已知两个分力的方向，求这两个分力的大小
正确解析：一个已知力分解为两个互成角度的分力，如果
没有条件限制，可分解为无数对分力，即分解不唯一；如果知道了力有两个方向的作用效果(即两个分力的方向)或知道了一个分力(即一个分力的大小和方向确定)时，只能画出一个平行四边形，求出唯一解．处理时可画平行四边形解决．C、D正确．
指点迷津：力的合成与分解是互为逆运算.要清楚在平行四边形定则中，对角线为合力，相邻两条边为分力，根据平行四边形的性质，对应合力与分力进行分析.
答案：CD
〖例5〗如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为（ ）
A、mg B、mg C、mg D、mg

解析：由力的合成及平衡可得3Fcos 30°＝mg，F＝mg，选项D正确．

答案：D
〖例6〗（多选）如图所示，用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间处于静止状态，AO绳水平，OB绳与竖直方向的夹角为θ。则AO绳的拉力T1、OB绳的拉力T2的大小与G之间的关系为（ ）
A、T1=G B、T1=
C、T2= D、T2=G
答案：AC
〖同步练习〗
1、如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若接触面间的摩擦力忽略不计，楔形石块侧面所受弹力的大小为（ ）
答案：A
2、如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为（ ）
A、mg和mg B、mg和mg
C、mg和μmg D、mg和μmg

解析：对三棱柱受力分析，如图7所示，由受力平衡得：沿斜面方向f＝mgsin30°＝mg，垂直斜面方向上FN＝mgcos30°＝mg.

答案：A
3、三根不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力
相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A 端、B 端固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳（ ）
A、必定是OA B、必定是OB
C、必定是OC D、可能是OB，也可能是OC
解析：以结点O为研究对象，受力分析如图6，比较可得OA绳上的拉力最大，故A选项正确．
答案：A
4、如图所示，重3N的小球在竖直挡板作用下静止在倾角为30°的光滑斜面上，已知挡板也是光滑的，求：斜面及挡板对小球的作用力．
解：取小球作为研究对象，分析它的受力，如图5所示．它受重力G、斜面对它的支持力FN1和挡板对它的弹力FN2这三个力的作用而平衡，合成两个弹力，由共点力的平衡条件可知
FN1＝＝2 N
FN2＝Gtan30°＝ N.

5、如图所示，重物的质量为m，轻绳AO与BO的A端、B端是固定的，平衡时AO水平、BO与水平面夹角为θ，则绳AO的拉力 F1和绳BO的拉力F2分别是多大？
解：解法一：合成法．结点O受F1、F2和T＝mg三个力的作用．F1、F2的合力与T是平衡力，再由图10甲中的三角关系可知，F1＝mgcotθ，F2＝.
解法二：分解法(如图10乙)．将T沿F1、F2的反方向分解得到G1、G2，然后再由平衡条件F1＝G1和F2＝G2即可求得F1和F2.

〖强化训练〗
1、（多选）a、b两车在同一直线上做匀加速直线运动，v－t图象如图所示，在15 s末两车在途中相遇，由图象可知(　　)
A、a车的速度变化比b车慢
B、出发前a车在b车之前75 m处
C、出发前b车在a车之前150 m处
D、相遇前a、b两车的最远距离为150 m
答案：AD
2、驽又称十字弓，是一种装有臂的弓，主要由弩身、弩绳、弦槽和扳机组成，如图所示，设未加弩箭时，弩绳与弩身垂直且处于自然伸长状态，其固定端之间的直线距离为L＝80 cm，弩绳的弹性系数为k＝20 N/cm，现将弩箭向后拉 30 cm，则弩绳中的弹力与弩箭受到的弹力分别为(弩绳严格遵守胡克定律，忽略弓的形变，弩绳与弩箭之间的滑轮附加装置，cos 53°＝0.6)(　　)
A、400 N　480 N B、400 N　240 N
C、200 N　480 N D、200 N　240 N
答案：D
3、（多选）匀速运动的汽车从某时刻开始刹车，匀减速运动直至停止。若测得刹车时间为t，刹车位移为x，根据这些测量结果，可以求出 (　　)
A、汽车刹车过程的初速度
B、汽车刹车过程的加速度
C、汽车刹车过程的平均速度
D、汽车刹车过程的制动力
答案：ABC
4、（多选）在一次救灾活动中，一辆救灾汽车由静止开始做匀变速直线运动，刚运动了8 s，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以又紧急刹车，匀减速运动经4 s停在巨石前，则关于汽车的运动情况，下列说法正确的是
A、加速、减速中的加速度大小之比为a1∶a2等于2∶1
B、加速、减速中的平均速度大小之比等于1∶1
C、加速、减速中的位移之比x1∶x2等于2∶1
D、加速、减速中的加速度大小之比a1∶a2不等于1∶2
答案：BC
5、（多选）甲、乙两物体同时、同向且沿同一直线运动．乙在前面做初速度为0、加速度为a2的匀加速运动，甲在后面做初速度为v0、加速度为a1的匀加速运动，则(　　)
A、若a1＝a2，则两物体只能相遇一次
B、若a1>a2，则两物体一定相遇两次
C、若a1D、若a1解析：选择乙物体为参照系．如果a1＝a2，则物体甲相对物体乙做初速度为v0的匀速直线运动，所以两物体只能相遇一次，A正确．如果a1>a2，则物体甲相对物体乙做初速度为v0、加速度为(a1－a2)的匀加速运动，所以两物体只能相遇一次，B错误．如果a1答案：AD[ ]
6、火车匀减速滑行，其前端通过信号灯时速度为v，末端恰好停于信号灯处，则前半列火车跟后半列火车通过信号灯的时间之比为(　　)
A、1∶1　　　　　　　　　　B、∶1
C、(－1)∶1 D、(＋1)∶1
解析：逆着车行方向，火车做初速度为零的匀加速运动，设加速度大小为a，火车全长为l，后半列火车逆向通过信号灯的时间为t2，前半列火车逆向通过信号灯的时间为t1，则有
＝at，l＝a(t1＋t2)2
联立可得t1＋t2＝t2
所以＝，选项C正确．
答案：C
7、一物体以1 m/s2的加速度做匀减速直线运动至停止，求该物体在停止前倒数第4秒内的位移(减速运动时间大于4 s)．
解析：本题若用正向思维的方法求解，显然条件不够，但换个思路用逆推法解就容易多了，将物体视为初速度为零的匀加速直线运动，求它在第1秒内的位移(逆向思维)
s1＝at＝×1×12 m＝0.5 m．再由s1∶s4＝1∶7.
所以第4秒内的位移s4＝3.5 m.
答案：3.5 m
8、汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上匀速前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，若汽车恰好碰不上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？
解析：汽车与自行车运动示意图如图(1)所示，利用v－t图象进行求解，如图(2)所示，图线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的运动图线，其中画斜线部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行车的距离s.图线Ⅰ的斜率即为汽车减速运动的加速度，所以应有
s＝＝·＝ m＝3 m.
　
图(1)　　　　　　　　　　　　　　　图(2)
答案：3 m
9、甲、乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1＝16 m/s的初速度、a1＝－2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，乙车以v2＝4 m/s的初速度、a2＝1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间．
解析：速度相等时，两车相距最远，设经过时间t1相距最远．
由题意得v1＋a1t1＝v2＋a2t1
所以t1＝＝ s＝4 s
设两车各自的位移为s1、s2，此时两车相距的最大距离
Δs＝s1－s2＝v1t1＋a1t－(v2t1＋a2t)＝[16×4＋×(－2)×42] m－(4×4＋×1×42) m＝24 m.
再次相遇时，两车的位移相等，即s1＝s2
设经过时间t2，两车再次相遇
则v1t2＋a1t＝v2t2＋a2t
解得t2＝0(舍)或t2＝8 s，所以8 s后两车再次相遇．
答案：24 m　8 s
|F1－F2|≤F≤F1＋F2
l1
θ
θ
l2
A
B
m
P
Q
C
O

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