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幂函数解析与答案
（一）、选择题
1、已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)
A. B.1 C. D.2
解：因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，所以＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.
2、在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：因为，所以是幂函数；由于出现系数2，因此不是幂函数；
是两项和的形式，不是幂函数；（），可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B.
3、下列函数中哪个是幂函数（ ）
A． B． C． D．
解：幂函数是，，显然，是幂函数. ，，都不满足幂函数的定义，所以A正确．故选：A．
4、若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
解：本题主要考查的是幂函数的图像与性质。设幂函数为，因为图像过，所以。由幂函数的性质：当时，在上是减函数。又为偶函数，所以在上是增函数。应选D。
5、若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是(　　)
A.f(x)＝x2－2x＋1 B.f(x)＝x2－1 C.f(x)＝2x D.f(x)＝2x＋1
解：由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝≠0.只有选项A中，f(x)＝x2－2x＋1关于x＝1对称.
6、已知，则(　　)
A.b解：因为a＝2＝4，b＝3，c＝5又y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b.
7、若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a解：因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝.所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0b＝，因为y＝是减函数，所以a＝（二）、填空题
8、 已知函数的图象经过点(1,3),又其反函数图象经过点(10,2),则的解析式为_________.
解：∵的图象经过点(1,3),?∴3=1+m,即m=2.?又∵其反函数图象经过点(10,2),?∴10=2a+2,可解得a=3.?∴的解析式为
9、已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
解：∵函数的图像与x轴，y轴都无交点，∴m2－1<0，解得－1∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
10、若幂函数y＝xα的图像经过点(8，4)，则函数y＝xα的值域是________.
解：幂函数图象经过点，解得函数的值域为.
11、幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________.
解、由题意知解得m＝1.
12、幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m等于________．
解析：因为幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－5<0，即m<，又m∈N，所以m＝0或m＝1，因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，当m＝0时，f(x)＝x－5，是奇函数；当m＝1时，f(x)＝x－2，是偶函数．所以m＝1.
13、已知>，则x的取值范围是____.
思路解析：如下图.
解：x∈（-∞，0）∪（1，+∞）
（三）、解答题
14、讨论下列函数的定义域、值域.
（1）；（2）；（3）；（4）.
解：（1）函数的定义域为R，值域为.
（2）因为，所以函数的定义域为，值域为.
（3）因为，所以，且，所以函数的定义域为，值域为.
（4）因为，所以函数的定义域为R，值域为.
15、比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)2.3，2.4； (2)，；(3)(－0.31)，0.35.
解： (1)∵y＝为R上的增函数，又2.3<2.4，∴2.3<2.4.
(2)∵y＝为(0，＋∞)上的减函数，又<，∴()>().
(3)∵y＝为R上的偶函数，∴＝.
又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.
16、已知幂函数的图象与轴、轴都无交点，且关于轴对称，试确定的解析式．
解:由题意,得m2-2m-3<0,∴-1∵当m=0或2时,m2-2m-3为-3;当m=1时,m2-2m-3为偶数-4,∴y=x -4.
17、已知幂函数为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求函数f(x)的解析式．
解：　∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，－118、已知幂函数f(x)＝xa的图象经过点A(1)求实数a的值；(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
解：　(1)∵f(x)＝xa的图象经过点A，∴a＝，即2－a＝2，∴a＝－.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝x2－－x1－＝－＝＝.∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，
且·(＋)>0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)19、已知幂函数的图象经过点.（1）求实数 的值；（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.
解：（1）∵的图象经过点，∴，即，解得.
（2）证明：由（1）可知，，任取，且，则，
∴ ，
即.∴ 在区间（0，+∞）上是减函数.
20、已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，则f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，又f(0)＝1，所以c＝1，因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).幂函数
一、幂函数的概念：
1、幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.
条件：1、系数为1；2、自变量是底数；3、指数是常数
例、判断在函数中，哪几个函数是幂函数？
2、幂函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
二、性质：
1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
2、时，图像都经过定点（0，0）（1，1）；时，图像经过定点（1，1）
3、、幂函数的图像都没有经过第四像限。
4、、当时，图像在第一象限形如：是增函数；当，图像在第一像限形如：是增函数
当时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
5、确定幂函数在第一像限的图像后，再利用奇偶性确定图像的另一个象限，如是偶函数其图像关于Y轴对称，另一半在第二象限，如是奇函数其图像关于X轴对称，另一半在第三像限，如是非奇非偶函数其图像只能在第一象限。
6、幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
7、单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
8、奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
9、图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
三、经典练习
（一）、选择题
1、已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)
A. B.1 C. D.2
2、在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3、下列函数中哪个是幂函数（ ）
A． B． C． D．
4、若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
5、若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是(　　)
A.f(x)＝x2－2x＋1 B.f(x)＝x2－1 C.f(x)＝2x D.f(x)＝2x＋1
6、已知，则(　　)
A.b7、若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a（二）、填空题
8、 已知函数的图象经过点(1,3),又其反函数图象经过点(10,2),则的解析式为_________.
9、已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
10、若幂函数y＝xα的图像经过点(8，4)，则函数y＝xα的值域是________.
11、幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________.
12、幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m等于________．
13、已知>，则x的取值范围是____.
（三）、解答题
14、讨论下列函数的定义域、值域.
（1）；（2）；（3）；（4）.
15、比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)2.3，2.4； (2)，；(3)(－0.31)，0.35.
16、已知幂函数的图象与轴、轴都无交点，且关于轴对称，试确定的解析式．
17、已知幂函数为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求函数f(x)的解析式．
18、已知幂函数f(x)＝xa的图象经过点A(1)求实数a的值；(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
19、已知幂函数的图象经过点.（1）求实数 的值；（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.
20、已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.

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