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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题27 空间几何体及其表面积、体积
1．（2022·新高考Ⅱ卷）正三棱台高为1，上下底边长分别为 和 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（　　）
A．100π B．128π C．144π D．192π
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或 ，即 或 ，解得 ，所以球的表面积为 ．
故答案为：A
2．（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，
代入棱台的体积公式，得，
故选：C
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点 但不一定相等 延长线交 于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2.直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
　　 名称 几何体　　 表面积 体积
柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh
台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S表＝4πR2 V＝πR3
【常用结论】
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形．
考点一　基本立体图形
【方法总结】空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
1．下列命题正确的是(　　)
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
【答案】D
【解析】A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；
B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行．棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等．
2．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
【答案】2＋
【解析】DC＝ABsin 45°＝，
BC＝ABcos 45°＋AD＝＋1，
S梯形ABCD＝(AD＋BC)·DC
＝×＝＋，
S＝S梯形ABCD＝2＋.
考点二　表面积与体积
【方法总结】1．表面积：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
2．求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则几何体的体积，直接利用公式
割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
3．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为________．
【答案】(60＋4)π
【解析】由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体．如图，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂足为F.
则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，
EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cos 45°＝2，
CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝＝5.
故圆台的上底面半径r＝2，
下底面半径R＝5，高h＝4，母线长l2＝5.
圆锥底面半径r＝2，高h＝2，母线长l1＝2.
所以圆台侧面积
S1＝π(R＋r)l2＝π(5＋2)×5＝35π，
圆锥侧面积
S2＝×2πr×l1＝×2π×2×2＝4π，
圆台下底面面积S3＝πR2＝25π.
故该几何体的表面积
S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4π＋25π
＝(60＋4)π.
4．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是(　　)
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈 D．8立方丈
【答案】B
【解析】如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．
则它的体积
V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM
＝·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋·FH·S矩形NBCM
＝×1×1×3＋×3×1×2＋×1×1×3
＝5(立方丈)．
一、单选题
1．（2022·和平模拟）已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（　　）
A．3：4 B．1：2 C． D．2：1
【答案】A
【解析】解：圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，
设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，则球的半径，
所以圆柱的表面积为：；
球的表面积为，
则圆柱的表面积与球的表面积之比为．
故答案为：A．
2．（2022·湖北模拟）已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】旋转体的轴截面如图所示，其中为内切球的球心，
过作的垂线，垂足分别为，则（为内切球的半径），
故，，
故，故，故，
故旋转体的内切球的表面积为，
故答案为：B
3．（2022·安丘模拟）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图， 是正四棱锥 的高，
设底面边长为 ，则底面积为 ，
因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 是正三角形，面积为 ，
所以 ，即正四棱锥的侧面与底面的面积之比为
故答案为：D.
4．（2022·菏泽二模）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径 ，圆柱体部分的高 ，圆锥体部分的高 ，则这个陀螺的表面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为 ，
所以圆锥体的侧面积为 ，
圆柱体的侧面积为 ，圆柱的底面面积为 ，
所以此陀螺的表面积为 （ ），
故答案为：C
5．（2022·枣庄模拟）若圆锥的母线长为，侧面积为，则其体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则，可得，则，
因此，该圆锥的体积为.
故答案为：D.
6．（2022·北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点P作底面的射影点O，则由题意， ，所以 ，当CO上存在一点Q使得 ，此时QO=1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆内，所以面积为π.
故答案为：B
7．（2022·昆明模拟）一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高．如图1，西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2，已知杯底的直径为cm，杯口直径为cm，杯的深度为cm，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
【答案】A
【解析】解：如图所示，作出“球台”的轴截面，设球心为，过作交于点，交于点，
依题意，，，
设球的半径为，则且，
即，解得，
即球面的半径为；
故答案为：A
8．（2022·安徽模拟）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．64π B．128π C．40π D．80π
【答案】D
【解析】由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图，
则三棱柱的外接球即为所求.
设外接球的球心为，则的外心为，则，
又，则外接球的半径，
表面积，
故答案为：D
9．（2022·焦作模拟）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点E是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为PF固定，所以要使的周长最小，只需最小，
如图，将四棱雉的侧面PAB沿AB展开，使得与矩形在同一个平面内，当P，E，F三点共线时，取得最小值，
易得，，，，
设的外接圆半径为，则，
设三棱锥外接球的半径为，则，
所以三棱锥外接球的表面积。
故答案为：D.
10．（2022·浙江模拟）如图，在三棱锥中，，且，则三棱锥体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，且，
∴，作于D，则，
设三棱锥的高为，
∴..
故答案为：A.
二、填空题
11．（2022·河南模拟）正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为　 　．
【答案】
【解析】设底面的中心为，连接，则，
设四棱锥的内切球的半径为，连接，得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为，
∴，
即，
解得，
∴该四棱锥的内切球的表面积为.
故答案为：.
12．（2022·湖北模拟）已知一个圆锥的母线长为3，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为　 　．
【答案】
【解析】设圆锥底面圆半径为r，因圆锥的母线长为3，侧面展开图是半圆，
于是得，解得，圆锥的高，
所以圆锥的体积.
故答案为：
13．（2022·射洪模拟）四棱锥中，底面ABCD是矩形，面面ABCD，，，则四棱锥ABCD的外接球的表面积为　 　．
【答案】28π
【解析】先找到矩形ABCD的外心，球心在的正上方.然后找到等边△PAD的外心，即等边△PAD的重心，球心在的正上方，由此可得到球心的位置如下图所示.
，，故球的半径，故球的表面积为.
14．（2022·马鞍山模拟）三棱锥的顶点、、、均在球的球面上，且，，，则三棱锥体积的最大值为　 　．
【答案】2
【解析】取线段的中点，连接、，
因为，则，
所以，点即为三棱锥的外接球球心，即点与球心重合，
过点在平面内作，连接，
因为，则，
因为，，，所以，，
所以，，即，，
，平面，且，
，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故答案为：2.
15．（2022·河南模拟）如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球心C在线段VO上，球的半径为R，圆锥VO的底面半径为r，圆锥的表面积为，则　 　．
【答案】或
【解析】设圆锥的母线长为，因为圆锥的表面积为，所以
又，，所以
即，又，所以
整理得，即，解得或。
故答案为：或。
三、解答题
16．（2022·上海）如图，在圆柱 中，底面半径为1， 为圆柱母线.
（1）若 ，M为 中点，求直线 与底面的夹角大小；
（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
【答案】（1）根据直线与平面所成角的定义，易知 直线MO1与底面的夹角为∠MO1A1
则由题意得，
则∠MO1A1= ；
（2）设圆柱的底面圆的半径为r,高为h,
则因为圆柱的轴截面为正方形，
所以h=2r=2
所以圆柱的侧面积为
圆柱的体积为
【解析】根据直线与平面所成角的定义，以及圆柱的侧面积与体积公式求解即可.
17．（2020高三上·拉萨月考）在直三棱柱 中，∠ABC=90°，AB=BC=1.
（1）求异面直线 与AC所成角的大小；
（2）若直线 与平面ABC所成角为45°，求三棱锥 —ABC的体积.
【答案】（1）解：在直三棱柱 中 ，所以异面直线 与AC所成角为 （或其补角），
又∠ABC=90°，AB=BC=1，所以 ，
所以异面直线 与AC所成角为 ；
（2）解：在直三棱柱 中， 平面 ，所以直线 与平面ABC所成角为 ，所以 ．
，
所以 ．
【解析】(1)结合直三棱柱的几何性质得到线线平行由此即可找出异面直线所成的角为 （或其补角） ，利用三角形的几何计算关系结合已知条件即可求出角的大小。
(2)由直三棱柱的几何性质得到线面垂直再由线面垂直的性质定理结合线面角的定义即可求出线面角，再由已知的几何关系代入到三棱锥的体积公式计算出结果即可。
18．（2022·全国甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8（单位：cm）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直．
（1）证明： 平面 ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】（1）证明：分别取 的中点 ，连接 ，
因为 为全等的正三角形，所以 ， ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：分别取 中点 ，
由（1）知， 且 ，同理有， ， ， ，由平面知识可知， ， ， ，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 倍．
因为 ， ，点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离 ， ，所以该几何体的体积 ．
【解析】（1）依题意，根据直线与平面垂直的判定定理可得EM⊥平面ABCD，FN⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN，即可知四边形EMNF为平行四边形，可得EF//MN，再根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取AD，DC中点K，L，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍，即可解出．
19．（2022·安丘模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形， 底面ABCD， ， ， ，E为PA的中点．
（1）证明：平面 平面BCE；
（2）若二面角P-BC-E的余弦值为 ，求三棱锥P-BCE的体积．
【答案】（1）证明：因为 底面ABCD， 面 ，则 ，
由 ， ，则 ，又 ，则 ，
若 为 中点，连接 ，易知： 为正方形，则 ，又 ，即 ，
所以 ，
综上， ，即 ，
又 ，则 面 ，又 面 ，
所以平面 平面BCE.
（2）解：由题设，可构建如下图示的空间直角坐标系，若 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
若 为面 的一个法向量，则 ，令 ，则 ，
若 为面 的一个法向量，则 ，令 ，则 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，即 ，易得： ，
由 底面ABCD， 面 ，则 ，又 ，即 ，
由 ，则 面 ， 面 ，即 ，
所以在直角△ 中， ，
在△ 中， 、 、 ，即 ，则 ，
所以 .
由上有： 且面 的一个法向量 ，
则 ，故 到面 的距离 ，
所以 .
【解析】（1）线面垂直的性质可得， 若 为 中点 ，连接，由正方形的性质及勾股定理可得，再由线面垂直的性质有面 面 ，最后根据面面垂直的判定证结论.
（2）构建空间直角坐标系，设求相关点坐标，再求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示，结合二面角的余弦值求参数m，最后求、向量法求 到面 的距离 ，再由体积公式求棱锥的体积.
20．（2022·徐汇模拟）如图，在正三棱住中，，异面直线与所成角的大小为．
（1）求正三棱柱的体积；
（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）解：异面直线与所成角的大小为，且，
，又，
，即正三棱柱的底面边长为．
．
则
（2）解：在底面三角形中，过作，垂足为，
则为中点，又平面平面，平面平面，所以平面，连接，
则为直线与平面所成角，
因为，，
，
．
即直线与平面所成角的大小为．
【解析】（1）由已知可得，又，求得正三棱柱的底面边长为．再求出底面积，代入棱柱体积公式可得正三棱柱的体积；
（2）在底面三角形中，过作，垂足为，则为直线与平面所成角，解三角形即可求解．<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题27 空间几何体及其表面积、体积
1．（2022·新高考Ⅱ卷）正三棱台高为1，上下底边长分别为 和 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（　　）
A．100π B．128π C．144π D．192π
2．（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（　　）
A． B． C． D．
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点 但不一定相等 延长线交 于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2.直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
　　 名称 几何体　　 表面积 体积
柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh
台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S表＝4πR2 V＝πR3
【常用结论】
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形．
考点一　基本立体图形
【方法总结】空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
1．下列命题正确的是(　　)
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
2．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
考点二　表面积与体积
【方法总结】1．表面积：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
2．求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则几何体的体积，直接利用公式
割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
3．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为________．
4．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是(　　)
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈 D．8立方丈
一、单选题
1．（2022·和平模拟）已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（　　）
A．3：4 B．1：2 C． D．2：1
2．（2022·湖北模拟）已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·安丘模拟）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·菏泽二模）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径 ，圆柱体部分的高 ，圆锥体部分的高 ，则这个陀螺的表面积是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·枣庄模拟）若圆锥的母线长为，侧面积为，则其体积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·昆明模拟）一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高．如图1，西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2，已知杯底的直径为cm，杯口直径为cm，杯的深度为cm，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
8．（2022·安徽模拟）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．64π B．128π C．40π D．80π
9．（2022·焦作模拟）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点E是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江模拟）如图，在三棱锥中，，且，则三棱锥体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·河南模拟）正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为　 　．
12．（2022·湖北模拟）已知一个圆锥的母线长为3，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为　 　．
13．（2022·射洪模拟）四棱锥中，底面ABCD是矩形，面面ABCD，，，则四棱锥ABCD的外接球的表面积为　 　．
14．（2022·马鞍山模拟）三棱锥的顶点、、、均在球的球面上，且，，，则三棱锥体积的最大值为　 　．
15．（2022·河南模拟）如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球心C在线段VO上，球的半径为R，圆锥VO的底面半径为r，圆锥的表面积为，则　 　．
三、解答题
16．（2022·上海）如图，在圆柱 中，底面半径为1， 为圆柱母线.
（1）若 ，M为 中点，求直线 与底面的夹角大小；
（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
17．（2020高三上·拉萨月考）在直三棱柱 中，∠ABC=90°，AB=BC=1.
（1）求异面直线 与AC所成角的大小；
（2）若直线 与平面ABC所成角为45°，求三棱锥 —ABC的体积.
18．（2022·全国甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8（单位：cm）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直．
（1）证明： 平面 ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
19．（2022·安丘模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形， 底面ABCD， ， ， ，E为PA的中点．
（1）证明：平面 平面BCE；
（2）若二面角P-BC-E的余弦值为 ，求三棱锥P-BCE的体积．
20．（2022·徐汇模拟）如图，在正三棱住中，，异面直线与所成角的大小为．
（1）求正三棱柱的体积；
（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

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